Función de Liouville

Función aritmética

La función lambda de Liouville , denotada por λ( n ) y nombrada en honor a Joseph Liouville , es una importante función aritmética . Su valor es +1 si n es el producto de un número par de números primos y −1 si es el producto de un número impar de primos.

Explícitamente, el teorema fundamental de la aritmética establece que cualquier entero positivo n puede representarse de forma única como un producto de potencias de primos: n = p ₁ ^{a ₁} ⋯ p _k ^{a _k} , donde p ₁ < p ₂ < ... < p _k son primos y los a _j son enteros positivos. ( 1 viene dado por el producto vacío). Las funciones omega de primos cuentan el número de primos, con ( Ω ) o sin ( ω ) multiplicidad:

${\displaystyle \omega (n)=k,}$

${\displaystyle \Omega (n)=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}.}$

λ( n ) se define mediante la fórmula

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}$

(secuencia A008836 en la OEIS ).

λ es completamente multiplicativo ya que Ω( n ) es completamente aditivo , es decir: Ω( ab ) = Ω( a ) + Ω( b ) . Como 1 no tiene factores primos, Ω(1) = 0 , por lo que λ(1) = 1 .

Está relacionada con la función de Möbius μ( n ) . Escriba n como n = a ² b , donde b es libre de cuadrados , es decir, ω( b ) = Ω( b ) . Entonces

${\displaystyle \lambda (n)=\mu (b).}$

La suma de la función de Liouville sobre los divisores de n es la función característica de los cuadrados :

${\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is a perfect square,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

La inversión de Möbius de esta fórmula da como resultado

${\displaystyle \lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right).}$

La inversa de Dirichlet de la función de Liouville es el valor absoluto de la función de Möbius, λ ^–1 ( n ) = |μ( n )| = μ ² ( n ) , la función característica de los enteros libres de cuadrados. También tenemos que λ( n ) = μ ² ( n ) .

Serie

La serie de Dirichlet para la función de Liouville está relacionada con la función zeta de Riemann por

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}$

También:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)\ln n}{n}}=-\zeta (2)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

La serie de Lambert para la función de Liouville es

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right),}$

¿Dónde está la función theta de Jacobi ? ${\displaystyle \vartheta _{3}(q)}$

Conjeturas sobre funciones sumatorias ponderadas

Función de Liouville sumatoria L ( n ) hasta n  = 10 ⁴ . Las oscilaciones fácilmente visibles se deben al primer cero no trivial de la función zeta de Riemann.

Función de Liouville sumatoria L ( n ) hasta n  = 10 ⁷ . Nótese la aparente invariancia de escala de las oscilaciones.

Gráfica logarítmica del negativo de la función sumatoria de Liouville L ( n ) hasta n  = 2 × 10 ⁹ . La punta verde muestra la función misma (no su negativo) en la región estrecha donde falla la conjetura de Pólya ; la curva azul muestra la contribución oscilatoria del primer cero de Riemann.

Función de Liouville sumatoria armónica T ( n ) hasta n  = 10 ³

El problema de Pólya es una pregunta planteada por George Pólya en 1919. Definición

${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)}$(secuencia A002819 en la OEIS ),

El problema se plantea si n >  1. La respuesta es no. El contraejemplo más pequeño es n  = 906150257, hallado por Minoru Tanaka en 1980. Desde entonces se ha demostrado que L ( n ) > 0,0618672 √ n para una infinidad de enteros positivos n , ^[1] aunque también se puede demostrar a través de los mismos métodos que L ( n ) < -1,3892783 √ n para una infinidad de enteros positivos n . ^[2] ${\displaystyle L(n)\leq 0}$

Para cualquier , asumiendo la hipótesis de Riemann, tenemos que la función sumatoria está acotada por ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle L(x)\equiv L_{0}(x)}$

${\displaystyle L(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left(C\cdot \log ^{1/2}(x)\left(\log \log x\right)^{5/2+\varepsilon }\right)\right),}$

donde es una constante limitante absoluta. ^[2] ${\displaystyle C>0}$

Definir la suma relacionada

${\displaystyle T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}.}$

Durante algún tiempo estuvo abierta la cuestión de si T ( n ) ≥ 0 para valores suficientemente grandes de n ≥ n ₀ (esta conjetura se atribuye ocasionalmente, aunque incorrectamente, a Pál Turán ). Esto fue refutado por Haselgrove (1958), quien demostró que T ( n ) toma valores negativos con una frecuencia infinita. Una confirmación de esta conjetura de positividad habría llevado a una prueba de la hipótesis de Riemann , como lo demostró Pál Turán .

Generalizaciones

De manera más general, podemos considerar las funciones sumatorias ponderadas sobre la función de Liouville definida para cualquier como sigue para números enteros positivos x donde (como arriba) tenemos los casos especiales y ^[2] ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L(x):=L_{0}(x)}$ ${\displaystyle T(x)=L_{1}(x)}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x):=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n^{\alpha }}}.}$

Estas funciones sumatorias ponderadas están relacionadas con la función de Mertens , o funciones sumatorias ponderadas de la función de Moebius . De hecho, tenemos que la denominada función no ponderada u ordinaria corresponde precisamente a la suma ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$ ${\displaystyle L(x)}$

${\displaystyle L(x)=\sum _{d^{2}\leq x}M\left({\frac {x}{d^{2}}}\right)=\sum _{d^{2}\leq x}\sum _{n\leq {\frac {x}{d^{2}}}}\mu (n).}$

Además, estas funciones satisfacen relaciones asintóticas de acotación similares. ^[2] Por ejemplo, siempre que , vemos que existe una constante absoluta tal que ${\displaystyle 0\leq \alpha \leq {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle C_{\alpha }>0}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)=O\left(x^{1-\alpha }\exp \left(-C_{\alpha }{\frac {(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right).}$

Mediante una aplicación de la fórmula de Perron , o equivalentemente mediante una transformada clave (inversa) de Mellin , tenemos que

${\displaystyle {\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {L_{\alpha }(x)}{x^{s+1}}}dx,}$

que luego se puede invertir mediante la transformada inversa para mostrar que para , y ${\displaystyle x>1}$ ${\displaystyle T\geq 1}$ ${\displaystyle 0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi \imath }}\int _{\sigma _{0}-\imath T}^{\sigma _{0}+\imath T}{\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{s}}ds+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T),}$

donde podemos tomar , y con los términos restantes definidos tales que y como . ${\displaystyle \sigma _{0}:=1-\alpha +1/\log(x)}$ ${\displaystyle E_{\alpha }(x)=O(x^{-\alpha })}$ ${\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\rightarrow 0}$ ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$

En particular, si asumimos que la hipótesis de Riemann (RH) es verdadera y que todos los ceros no triviales, denotados por , de la función zeta de Riemann son simples , entonces para cualquier y existe una secuencia infinita de la cual satisface que para todo v tal que ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}+\imath \gamma }$ ${\displaystyle 0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle x\geq 1}$ ${\displaystyle \{T_{v}\}_{v\geq 1}}$ ${\displaystyle v\leq T_{v}\leq v+1}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {x^{1/2-\alpha }}{(1-2\alpha )\zeta (1/2)}}+\sum _{|\gamma |<T_{v}}{\frac {\zeta (2\rho )}{\zeta ^{\prime }(\rho )}}\cdot {\frac {x^{\rho -\alpha }}{(\rho -\alpha )}}+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T_{v})+I_{\alpha }(x),}$

donde para cada vez más pequeño definimos ${\displaystyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{2}}-\alpha }$

${\displaystyle I_{\alpha }(x):={\frac {1}{2\pi \imath \cdot x^{\alpha }}}\int _{\varepsilon +\alpha -\imath \infty }^{\varepsilon +\alpha +\imath \infty }{\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{(s-\alpha )}}ds,}$

y donde el término restante

${\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\ll x^{-\alpha }+{\frac {x^{1-\alpha }\log(x)}{T}}+{\frac {x^{1-\alpha }}{T^{1-\varepsilon }\log(x)}},}$

que por supuesto tiende a 0 cuando . Estas expansiones de fórmulas analíticas exactas comparten nuevamente propiedades similares a las correspondientes a los casos de funciones de Mertens ponderadas. Además, dado que tenemos otra similitud en la forma de , en la medida en que el término principal dominante en las fórmulas anteriores predice un sesgo negativo en los valores de estas funciones sobre los números naturales positivos x . ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \zeta (1/2)<0}$ ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle M(x)}$

Referencias

1. Borwein, P.; Ferguson, R.; Mossinghoff, MJ (2008). "Cambios de signo en las sumas de la función de Liouville". Matemáticas de la computación . 77 (263): 1681–1694. doi : 10.1090/S0025-5718-08-02036-X .
2. Humphries, Peter (2013). "La distribución de las sumas ponderadas de la función de Liouville y la conjetura de Pólya". Journal of Number Theory . 133 (2): 545–582. arXiv : 1108.1524 . doi : 10.1016/j.jnt.2012.08.011 .

• Pólya, G. (1919). "Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 28 : 31–40.
• Haselgrove, C. Brian (1958). "Refutación de una conjetura de Pólya". Mathematika . 5 (2): 141–145. doi :10.1112/S0025579300001480. ISSN  0025-5793. MR  0104638. Zbl  0085.27102.
• Lehman, R. (1960). "Sobre la función de Liouville". Matemáticas de la computación . 14 (72): 311–320. doi : 10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5 . MR  0120198.
• Tanaka, Minoru (1980). "Una investigación numérica sobre la suma acumulativa de la función de Liouville". Tokyo Journal of Mathematics . 3 (1): 187–189. doi : 10.3836/tjm/1270216093 . MR  0584557.
• Weisstein, Eric W. "Función de Liouville". MundoMatemático .
• AF Lavrik (2001) [1994], "Función de Liouville", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press