función legendre

Soluciones de la ecuación diferencial de Legendre

En ciencias físicas y matemáticas, las funciones de Legendre P _λ , Q _λ y las funciones de Legendre asociadas P^µ
_λ, q^µ
_λ, y las funciones de Legendre del segundo tipo , Q _n , son todas soluciones de la ecuación diferencial de Legendre. Los polinomios de Legendre y los polinomios de Legendre asociados también son soluciones de la ecuación diferencial en casos especiales, que, por ser polinomios, tienen una gran cantidad de propiedades, estructura matemática y aplicaciones adicionales. Para estas soluciones polinómicas, consulte los artículos separados de Wikipedia.

Curvas polinómicas de Legendre asociadas para λ = l = 5 .

Ecuación diferencial de Legendre

La ecuación general de Legendre dice que los números λ y μ pueden ser complejos y se denominan grado y orden de la función relevante, respectivamente. Las soluciones polinómicas cuando λ es un número entero (denotado n ) y μ = 0 son los polinomios de Legendre P _n ; y cuando λ es un número entero (denotado n ), y μ = m también es un número entero con | metro | < n son los polinomios de Legendre asociados. Todos los demás casos de λ y μ se pueden analizar como uno solo y las soluciones se escriben P $${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+\left[\lambda (\lambda +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-x^{2}}}\right]y=0,}$$^µ
_λ, q^µ
_λ. Si μ = 0 , se omite el superíndice y se escribe simplemente P _λ , Q _λ . Sin embargo, la solución Q _λ cuando λ es un número entero a menudo se analiza por separado como función de Legendre del segundo tipo, y se denota Q _n .

Esta es una ecuación lineal de segundo orden con tres puntos singulares regulares (en 1 , −1 y ∞ ). Como todas estas ecuaciones, se puede convertir en una ecuación diferencial hipergeométrica mediante un cambio de variable y sus soluciones se pueden expresar mediante funciones hipergeométricas .

Soluciones de la ecuación diferencial.

Dado que la ecuación diferencial es lineal, homogénea (el lado derecho = cero) y de segundo orden, tiene dos soluciones linealmente independientes, las cuales pueden expresarse en términos de la función hipergeométrica . Al ser la función gamma , la primera solución es y la segunda es, ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ $${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {z+1}{z-1}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}}\right),\qquad {\text{for }}\ |1-z|<2}$$ $${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{for}}\ \ |z|>1.}$$

Gráfica de la función de Legendre de segundo tipo Q n(x) con n=0.5 en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

Estas se conocen generalmente como funciones de Legendre del primer y segundo tipo de grado no entero, con el calificador adicional "asociado" si μ no es cero. Una relación útil entre las soluciones P y Q es la fórmula de Whipple .

Orden de enteros positivos

Para números enteros positivos, la evaluación anterior implica la cancelación de términos singulares. Podemos encontrar el límite válido para como ^[1] ${\displaystyle \mu =m\in \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$

$${\displaystyle P_{\lambda }^{m}(z)=\lim _{\mu \to m}P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {(-\lambda )_{m}(\lambda +1)_{m}}{m!}}\left[{\frac {1-z}{1+z}}\right]^{m/2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1+m;{\frac {1-z}{2}}\right),}$$

con el símbolo (ascendente) de Pochhammer . ${\displaystyle (\lambda )_{n}}$

Funciones de Legendre del segundo tipo (q n)

Trama de las cinco primeras funciones de Legendre del segundo tipo.

La solución no polinómica para el caso especial de grado entero , y , a menudo se analiza por separado. esta dado por ${\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \mu =0}$ $${\displaystyle Q_{n}(x)={\frac {n!}{1\cdot 3\cdots (2n+1)}}\left(x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2\cdot 4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right)}$$

Esta solución es necesariamente singular cuando . ${\displaystyle x=\pm 1}$

Las funciones de Legendre del segundo tipo también se pueden definir de forma recursiva mediante la fórmula de recursividad de Bonnet. $${\displaystyle Q_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\log {\frac {1+x}{1-x}}&n=0\\P_{1}(x)Q_{0}(x)-1&n=1\\{\frac {2n-1}{n}}xQ_{n-1}(x)-{\frac {n-1}{n}}Q_{n-2}(x)&n\geq 2\,.\end{cases}}}$$

Funciones de Legendre asociadas del segundo tipo

La solución no polinómica para el caso especial de grado entero , y viene dada por ${\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \mu =m\in \mathbb {N} _{0}}$ $${\displaystyle Q_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}Q_{n}(x)\,.}$$

Representaciones integrales

Las funciones de Legendre se pueden escribir como integrales de contorno. Por ejemplo, donde el contorno gira alrededor de los puntos 1 y z en la dirección positiva y no alrededor de −1 . Para x real , tenemos $${\displaystyle P_{\lambda }(z)=P_{\lambda }^{0}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{1,z}{\frac {(t^{2}-1)^{\lambda }}{2^{\lambda }(t-z)^{\lambda +1}}}dt}$$ $${\displaystyle P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C} }$$

Legendre funciona como personajes.

La representación integral real de es muy útil en el estudio del análisis armónico sobre dónde está el espacio lateral doble de (ver Función esférica zonal ). En realidad, la transformada de Fourier está dada por donde ${\displaystyle P_{s}}$ ${\displaystyle L^{1}(G//K)}$ ${\displaystyle G//K}$ ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{1}(G//K)}$ $${\displaystyle L^{1}(G//K)\ni f\mapsto {\hat {f}}}$$ $${\displaystyle {\hat {f}}(s)=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{s}(x)dx,\qquad -1\leq \Re (s)\leq 0}$$

Singularidades de las funciones de Legendre del primer tipo (PAG λ) como consecuencia de la simetría

Las funciones de Legendre P _λ de grado no entero no están acotadas en el intervalo [-1, 1]. En aplicaciones de física, esto constituye a menudo un criterio de selección. De hecho, debido a que las funciones de Legendre Q _λ del segundo tipo siempre son ilimitadas, para tener una solución acotada de la ecuación de Legendre, el grado debe tener un valor entero: solo para grados enteros, las funciones de Legendre del primer tipo se reducen a polinomios de Legendre , que están acotados en [-1, 1] . Se puede demostrar ^[2] que la singularidad de las funciones de Legendre P _λ para grados no enteros es consecuencia de la simetría especular de la ecuación de Legendre. Por tanto, existe una simetría bajo la regla de selección que acabamos de mencionar.

Ver también

• Función Ferrer

Referencias

1. Creasey, Peter E.; Lang, Annika (2018). "Generación rápida de campos aleatorios gaussianos isotrópicos en la esfera". Métodos y aplicaciones de Montecarlo . 24 (1): 1–11. arXiv : 1709.10314 . Código Bib : 2018MCMA...24....1C. doi :10.1515/mcma-2018-0001. S2CID  4657044.
2. van der Toorn, Ramsés (4 de abril de 2022). "La singularidad de las funciones de Legendre de primer tipo como consecuencia de la simetría de la ecuación de Legendre". Simetría . 14 (4): 741. Bibcode : 2022Symm...14..741V. doi : 10.3390/sym14040741 . ISSN  2073-8994.

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 8". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 332.ISBN​ 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253.
• Courant, Ricardo ; Hilbert, David (1953), Métodos de física matemática, volumen 1 , Nueva York: Interscience Publisher, Inc..
• Dunster, TM (2010), "Legendre y funciones relacionadas", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.
• Ivanov, AB (2001) [1994], "Función Legendre", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Snow, Chester (1952) [1942], Funciones hipergeométricas y de Legendre con aplicaciones a ecuaciones integrales de teoría potencial, Serie de Matemáticas Aplicadas de la Oficina Nacional de Estándares, No. 19, Washington, DC: Imprenta del Gobierno de EE. UU., hdl : 2027/mdp. 39015011416826 , señor  0048145
• Whittaker, et al ; Watson, GN (1963), Un curso de análisis moderno , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58807-2

enlaces externos

• Función P de Legendre en el sitio de funciones de Wolfram.
• Función Q de Legendre en el sitio de funciones de Wolfram.
• Función P de Legendre asociada en el sitio de funciones de Wolfram.
• Función Q de Legendre asociada en el sitio de funciones de Wolfram.