Función de Hann

Función matemática utilizada en el procesamiento de señales.

Función Hann (izquierda) y su respuesta de frecuencia (derecha)

La función Hann recibe su nombre del meteorólogo austríaco Julius von Hann . Es una función de ventana que se utiliza para realizar el suavizado de Hann . ^[1] La función, con longitud y amplitud, viene dada por : ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 1/L,}$

${\displaystyle w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{L}}\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\cos \left({\frac {2\pi x}{L}}\right)\right)={\tfrac {1}{L}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi x}{L}}\right),\quad &\left|x\right|\leq L/2\\0,\quad &\left|x\right|>L/2\end{array}}\right\}.}$   ^[a]

Para el procesamiento de señales digitales , la función se muestrea simétricamente (con espaciado y amplitud ) : ${\displaystyle L/N}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}w[n]=L\cdot w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(n-N/2)\right)&={\tfrac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right)\right]\\&=\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi n}{N}}\right)\end{aligned}}\right\},\quad 0\leq n\leq N,}$

que es una secuencia de muestras, y puede ser par o impar. (ver § Ventanas de Hann y Hamming ) También se conoce como ventana de coseno elevado , filtro de Hann , ventana de von Hann , etc. ^{[2] [3]} ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle N}$

Transformada de Fourier

Arriba: 16 muestras de la ventana de Hann de la DFT par . Abajo: su transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) y los 3 valores distintos de cero de su transformada de Fourier discreta (DFT).

La transformada de Fourier de viene dada por: ${\displaystyle w_{0}(x)}$

${\displaystyle W_{0}(f)={\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {sinc} (Lf)}{(1-L^{2}f^{2})}}={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi Lf(1-L^{2}f^{2})}}}$   ^[b]

Derivación

Usando la fórmula de Euler para expandir el término coseno en podemos escribir : ${\displaystyle w_{0}(x),}$

${\displaystyle w_{0}(x)={\tfrac {1}{L}}\left({\tfrac {1}{2}}\operatorname {rect} (x/L)+{\tfrac {1}{4}}e^{i2\pi x/L}\operatorname {rect} (x/L)+{\tfrac {1}{4}}e^{-i2\pi x/L}\operatorname {rect} (x/L)\right),}$

que es una combinación lineal de ventanas rectangulares moduladas :

${\displaystyle {\tfrac {1}{L}}\operatorname {rect} (x/L)\quad {\stackrel {\text{Fourier transform}}{\longleftrightarrow }}\quad \operatorname {sinc} (Lf)\triangleq {\frac {\sin(\pi Lf)}{\pi Lf}}.}$

Transformando cada término :

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(f)&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {sinc} (Lf)+{\tfrac {1}{4}}\operatorname {sinc} (L(f-1/L))+{\tfrac {1}{4}}\operatorname {sinc} (L(f+1/L))\\&={\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{\pi Lf}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (Lf-1))}{\pi (Lf-1)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (Lf+1))}{\pi (Lf+1)}}\\&={\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf-1}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Lf)}{Lf+1}}\right)\\&={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi }}\left({\frac {1}{Lf}}+{\tfrac {1}{2}}{\frac {1}{1-Lf}}-{\tfrac {1}{2}}{\frac {1}{1+Lf}}\right)\\&={\frac {\sin(\pi Lf)}{2\pi }}\cdot {\frac {1}{Lf(1-Lf)(1+Lf)}}={\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {sinc} (Lf)}{(1-L^{2}f^{2})}}.\end{aligned}}}$

Transformaciones discretas

La transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) de la secuencia de longitud desplazada en el tiempo se define mediante una serie de Fourier, que también tiene un equivalente de 3 términos que se deriva de manera similar a la derivación de la transformada de Fourier : ${\displaystyle N+1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{w[n]\}&\triangleq \sum _{n=0}^{N}w[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\\&=e^{-i\pi fN}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi (N+1)f)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}{\frac {\sin(\pi (N+1)(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].\end{aligned}}}$

La secuencia truncada es una ventana de Hann DFT-par (también conocida como periódica ). Dado que la muestra truncada tiene valor cero, resulta claro a partir de la definición de la serie de Fourier que las DTFT son equivalentes. Sin embargo, el enfoque seguido anteriormente da como resultado una expresión de 3 términos de aspecto significativamente diferente, pero equivalente : ${\displaystyle \{w[n],\ 0\leq n\leq N-1\}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{w[n]\}=e^{-i\pi f(N-1)}\left[{\tfrac {1}{2}}{\frac {\sin(\pi Nf)}{\sin(\pi f)}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f-{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f-{\tfrac {1}{N}}))}}+{\tfrac {1}{4}}e^{i\pi /N}{\frac {\sin(\pi N(f+{\tfrac {1}{N}}))}{\sin(\pi (f+{\tfrac {1}{N}}))}}\right].}$

Una DFT de longitud N de la función ventana muestrea la DTFT en frecuencias para valores enteros de A partir de la expresión inmediatamente anterior, es fácil ver que solo 3 de los coeficientes N de la DFT son distintos de cero. Y a partir de la otra expresión, es evidente que todos tienen valores reales. Estas propiedades son atractivas para aplicaciones en tiempo real que requieren transformadas con y sin ventana (con ventana rectangular), porque las transformadas con ventana se pueden derivar de manera eficiente de las transformadas sin ventana mediante convolución . ^{[4] [c] [d]} ${\displaystyle f=k/N,}$ ${\displaystyle k.}$

Nombre

La función recibe su nombre en honor a von Hann, quien utilizó la técnica de suavizado de promedio ponderado de tres términos en datos meteorológicos. ^{[5] [2]} Sin embargo, el término función de Hanning también se utiliza convencionalmente, ^[6] derivado del artículo en el que se utilizó el término hanning de una señal para significar aplicarle la ventana de Hann. ^{[7] [8]} La confusión surgió de la función de Hamming similar , llamada así en honor a Richard Hamming .

Véase también

• Función de ventana
• Apodización
• Distribución de coseno elevado
• Filtro de coseno elevado

Citas de páginas

1. Nuttall 1981, pág. 84 (3)
2. Nuttall 1981, pág. 86 (17)
3. Nuttall 1981, pág. 85
4. Harris 1978, pág. 62

Referencias

1. Essenwanger, OM (Oskar M.) (1986). Elementos de análisis estadístico . Elsevier. ISBN 0444424261.OCLC 152410575  .
2. Kahlig, Peter (1993), "Algunos aspectos de la contribución de Julius von Hann a la climatología moderna", en McBean, GA; Hantel, M. (eds.), Interacciones entre subsistemas climáticos globales: el legado de Hann , Geophysical Monograph Series, vol. 75, American Geophysical Union, págs. 1–7, doi :10.1029/gm075p0001, ISBN 9780875904665, recuperado el 1 de julio de 2019 , Hann parece ser el inventor de un determinado procedimiento de suavizado de datos, ahora llamado "hanning" ... o "suavizado de Hann" ... Básicamente, es un promedio móvil de tres términos (media móvil) con pesos desiguales (1/4, 1/2, 1/4).
3. Smith, Julius O. (Julius Orion) (2011). Procesamiento de señales de audio espectrales. Universidad de Stanford. Centro de Investigación Informática en Música y Acústica. Universidad de Stanford. Departamento de Música. [Stanford, California?]: W3K. ISBN 9780974560731.OCLC 776892709  .
4. Patente estadounidense 6898235, Carlin, Joe; Collins, Terry y Hays, Peter et al., "Dispositivo de intercepción y búsqueda de dirección de comunicaciones de banda ancha mediante hipercanalización", publicada el 10 de diciembre de 1999, expedida el 24 de mayo de 2005 , también disponible en https://patentimages.storage.googleapis.com/4d/39/2a/cec2ae6f33c1e7/US6898235.pdf 
5. von Hann, Julius (1903). Handbook of Climatology. Macmillan. p. 199. Las cifras que aparecen en b se determinan teniendo en cuenta los paralelos que se encuentran a 5° de distancia a cada lado. Así, por ejemplo, para una latitud de 60° tenemos ½[60 + (65 + 55)÷2].
6. Harris, Fredric J. (enero de 1978). "Sobre el uso de ventanas para el análisis armónico con la transformada discreta de Fourier" (PDF) . Actas del IEEE . 66 (1): 51–83. CiteSeerX 10.1.1.649.9880 . doi :10.1109/PROC.1978.10837. El nombre correcto de esta ventana es 'Hann'. El término 'Hanning' se utiliza en este informe para reflejar el uso convencional. El término derivado 'Hann'd' también se utiliza ampliamente. 
7. Blackman, RB ; Tukey, JW (1958). "La medición de espectros de potencia desde el punto de vista de la ingeniería de comunicaciones — Parte I". The Bell System Technical Journal . 37 (1): 273. doi :10.1002/j.1538-7305.1958.tb03874.x. ISSN  0005-8580.
8. Blackman, RB (Ralph Beebe) ; Tukey, John W. (John Wilder) (1959). La medición de espectros de potencia desde el punto de vista de la ingeniería de comunicaciones. Nueva York : Dover Publications. págs. 98. LCCN  59-10185.

9. Nuttall, Albert H. (febrero de 1981). "Algunas ventanas con muy buen comportamiento de lóbulos laterales". IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 29 (1): 84–91. doi :10.1109/TASSP.1981.1163506.

Enlaces externos

• Función de Hann en MathWorld