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q-exponencial


En matemáticas combinatorias , una q -exponencial es un q -análogo de la función exponencial , es decir, la función propia de una q -derivada. Hay muchas q -derivadas, por ejemplo, la q -derivada clásica , el operador de Askey-Wilson , etc. Por lo tanto, a diferencia de las exponenciales clásicas, las q -exponenciales no son únicas. Por ejemplo, es la q -exponencial correspondiente a la q -derivada clásica mientras que son funciones propias de los operadores de Askey-Wilson.

La q -exponencial también se conoce como dilogaritmo cuántico . [1] [2]

Definición

La función q -exponencial se define como

¿Dónde está el q -factorial y

es el símbolo q -Pochhammer . Que éste es el análogo q de la exponencial se deduce de la propiedad

donde la derivada de la izquierda es la derivada q . Lo anterior se verifica fácilmente considerando la derivada q del monomio

Aquí está el corchete q . Para otras definiciones de la función exponencial q , véase Exton (1983), Ismail & Zhang (1994) y Cieśliński (2011).

Propiedades

En realidad , la función es una función completa de . Porque , es regular en el disco .

Nótese la inversa, .

Fórmula de adición

El análogo de no se cumple para los números reales y . Sin embargo, si estos son operadores que satisfacen la relación de conmutación , entonces es cierto. [3]

Relaciones

Para , una función que está estrechamente relacionada es Es un caso especial de la serie hipergeométrica básica ,

Claramente,

Relación con el dilogaritmo

tiene la siguiente representación de producto infinito:

Por otra parte, se sostiene. Cuando ,

Al tomar el límite ,

¿Dónde está el dilogaritmo ?

Referencias

  1. ^ Zudilin, Wadim (14 de marzo de 2006). "Dilogaritmo cuántico" (PDF) . wain.miras.ru . Consultado el 16 de julio de 2021 .
  2. ^ Faddeev, Ld; Kashaev, Rm (20 de febrero de 1994). "Dilogaritmo cuántico". Modern Physics Letters A . 09 (5): 427–434. arXiv : hep-th/9310070 . Código Bibliográfico :1994MPLA....9..427F. doi :10.1142/S0217732394000447. ISSN  0217-7323. S2CID  119124642.
  3. ^ Kac, V.; Cheung, P. (2011). Cálculo Cuántico . Saltador. pag. 31.ISBN 978-1461300724.