Fuerza resultante

Fuerza única que representa la combinación de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo físico.

Colocación gráfica de la fuerza resultante

En física e ingeniería , una fuerza resultante es la fuerza única y el par asociado obtenido al combinar un sistema de fuerzas y pares que actúan sobre un cuerpo rígido a través de la suma de vectores . La característica definitoria de una fuerza resultante, o fuerza-par resultante, es que tiene el mismo efecto sobre el cuerpo rígido que el sistema original de fuerzas. ^[1] El cálculo y la visualización de la fuerza resultante sobre un cuerpo se realiza a través de un análisis computacional o (en el caso de sistemas suficientemente simples) un diagrama de cuerpo libre .

El punto de aplicación de la fuerza resultante determina su par asociado. El término fuerza resultante debe entenderse como una referencia tanto a las fuerzas como a los pares que actúan sobre un cuerpo rígido, por lo que algunos utilizan el término fuerza-par resultante .

La fuerza igual en magnitud a la fuerza resultante, pero apuntada en dirección opuesta, se denomina fuerza equilibrante . ^[2]

Ilustración

El diagrama ilustra métodos gráficos simples para encontrar la línea de aplicación de la fuerza resultante de sistemas planos simples.

1. Las líneas de aplicación de las fuerzas reales y en la ilustración más a la izquierda se intersecan. Después de realizar la suma vectorial "en la ubicación de ", la fuerza neta obtenida se traslada de modo que su línea de aplicación pase por el punto de intersección común. Con respecto a ese punto, todos los pares son cero, por lo que el par de la fuerza resultante es igual a la suma de los pares de las fuerzas reales. ${\displaystyle {\scriptstyle {\vec {F}}_{1}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}_{2}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}_{1}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}_{R}}$
2. La ilustración en el centro del diagrama muestra dos fuerzas reales paralelas. Después de la suma vectorial "en el punto de ", la fuerza neta se traslada a la línea de aplicación correspondiente, de la cual se convierte en la fuerza resultante . El procedimiento se basa en una descomposición de todas las fuerzas en componentes para los cuales las líneas de aplicación (líneas de puntos pálidos) se cortan en un punto (el llamado polo, colocado arbitrariamente en el lado derecho de la ilustración). Luego, los argumentos del caso anterior se aplican a las fuerzas y sus componentes para demostrar las relaciones de torque. ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}_{2}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}_{R}}$
3. La ilustración más a la derecha muestra un par , dos fuerzas iguales pero opuestas para las cuales la cantidad de fuerza neta es cero, pero producen el par neto    donde   es la distancia entre sus líneas de aplicación. Este es un par "puro", ya que no hay fuerza resultante. ${\displaystyle \scriptstyle \tau =Fd}$ ${\displaystyle \scriptstyle d}$

Vector ligado

Una fuerza aplicada a un cuerpo tiene un punto de aplicación. El efecto de la fuerza es diferente para distintos puntos de aplicación. Por este motivo, una fuerza se denomina vector ligado , lo que significa que está ligada a su punto de aplicación.

Las fuerzas aplicadas en un mismo punto se pueden sumar para obtener el mismo efecto sobre el cuerpo. Sin embargo, las fuerzas con diferentes puntos de aplicación no se pueden sumar y mantener el mismo efecto sobre el cuerpo.

Es muy sencillo cambiar el punto de aplicación de una fuerza introduciendo fuerzas iguales y opuestas en dos puntos de aplicación diferentes que produzcan un par puro sobre el cuerpo. De esta manera, todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo pueden trasladarse al mismo punto de aplicación con pares asociados.

Un sistema de fuerzas sobre un cuerpo rígido se combina moviendo las fuerzas al mismo punto de aplicación y calculando los pares asociados. La suma de estas fuerzas y pares da como resultado la fuerza-par resultante.

Par asociado

Si se selecciona un punto R como punto de aplicación de la fuerza resultante F de un sistema de n fuerzas F _i, entonces el par asociado T se determina a partir de las fórmulas

${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i},}$

y

${\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i}.}$

Es útil observar que el punto de aplicación R de la fuerza resultante puede estar en cualquier lugar a lo largo de la línea de acción de F sin cambiar el valor del par asociado. Para ver esto, agregue el vector k F al punto de aplicación R en el cálculo del par asociado.

${\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {R} _{i}-(\mathbf {R} +k\mathbf {F} ))\times \mathbf {F} _{i}.}$

El lado derecho de esta ecuación se puede separar en la fórmula original para T más el término adicional que incluye k F ,

${\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i}-\sum _{i=1}^{n}k\mathbf {F} \times \mathbf {F} _{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i},}$

porque el segundo término es cero. Para ver esto, observe que F es la suma de los vectores F _i, lo que da

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}k\mathbf {F} \times \mathbf {F} _{i}=k\mathbf {F} \times (\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i})=0,}$

Por lo tanto, el valor del par asociado no cambia.

Resultante sin par

Es útil considerar si existe un punto de aplicación R tal que el par asociado sea cero. Este punto está definido por la propiedad

${\displaystyle \mathbf {R} \times \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {R} _{i}\times \mathbf {F} _{i},}$

donde F es la fuerza resultante y F _i forma el sistema de fuerzas.

Nótese que esta ecuación para R tiene una solución solo si la suma de los pares individuales en el lado derecho da como resultado un vector que es perpendicular a F. Por lo tanto, la condición de que un sistema de fuerzas tenga una resultante sin pares se puede escribir como

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot (\sum _{i=1}^{n}\mathbf {R} _{i}\times \mathbf {F} _{i})=0.}$

Si se cumple esta condición, entonces existe un punto de aplicación de la resultante que da como resultado una fuerza pura. Si no se cumple esta condición, entonces el sistema de fuerzas incluye un torque puro para cada punto de aplicación.

Llave inglesa

Las fuerzas y los pares que actúan sobre un cuerpo rígido se pueden ensamblar en el par de vectores llamado llave . ^[3] Si un sistema de fuerzas y pares tiene una fuerza resultante neta F y un par resultante neto T , entonces todo el sistema puede ser reemplazado por una fuerza F y un par ubicado arbitrariamente que produce un par de T . En general, si F y T son ortogonales, es posible derivar un vector radial R tal que , lo que significa que la única fuerza F , que actúa en el desplazamiento R , puede reemplazar al sistema. Si el sistema es de fuerza cero (solo par), se denomina tornillo y se formula matemáticamente como teoría del tornillo . ^{[4] [5]} ${\displaystyle \mathbf {R} \times \mathbf {F} =\mathbf {T} }$

La fuerza y ​​el par resultantes sobre un cuerpo rígido obtenidos a partir de un sistema de fuerzas F _i i=1,...,n, es simplemente la suma de las llaves individuales W _i , es decir

${\displaystyle {\mathsf {W}}=\sum _{i=1}^{n}{\mathsf {W}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i},\mathbf {R} _{i}\times \mathbf {F} _{i}).}$

Obsérvese que el caso de dos fuerzas iguales pero opuestas F y -F que actúan en los puntos A y B respectivamente, produce la resultante W=( F - F , A × F - B × F ) = (0, ( A - B )× F ). Esto demuestra que las llaves de la forma W=(0, T ) pueden interpretarse como pares puros.

Referencias

• Portal de física

1. H. Dadourian, Mecánica analítica para estudiantes de física e ingeniería, Van Nostrand Co., Boston, MA 1913
2. Hardy 1904, pág. 23.
3. RM Murray, Z. Li y S. Sastry, Introducción matemática a la manipulación robótica, CRC Press, 1994
4. RS Ball, La teoría de los tornillos: un estudio sobre la dinámica de un cuerpo rígido, Hodges, Foster & Co., 1876
5. JM McCarthy y GS Soh, Diseño geométrico de vínculos. 2.ª edición, Springer 2010

Fuentes

• Hardy, E. (1904). Los principios elementales de la estática gráfica. BT Batsford . Consultado el 2 de febrero de 2024 .