Mónada fuerte

En la teoría de categorías , una mónada fuerte es una mónada en una categoría monoidal con una transformación natural adicional, llamada fuerza , que gobierna cómo la mónada interactúa con el producto monoidal.

Las mónadas fuertes juegan un papel importante en la informática teórica , donde se utilizan para modelar el cálculo con efectos secundarios ^[1] .

Definición

Una mónada fuerte (izquierda) es una mónada ( T , η, μ) sobre una categoría monoidal ( C , ⊗, I) junto con una transformación natural t _A,B  : A ⊗ TB → T ( A ⊗ B ), llamada fuerza izquierda ( tensorial ) , tal que los diagramas

,,

, y

conmutar para cada objeto A , B y C.

Mónadas fuertes conmutativas

Para cada mónada fuerte T en una categoría monoidal simétrica , una transformación natural de fuerza correcta se puede definir por

$${\displaystyle t'_{A,B}=T(\gamma _{B,A})\circ t_{B,A}\circ \gamma _{TA,B}:TA\otimes B\to T(A\otimes B).}$$

Se dice que una mónada fuerte T es conmutativa cuando el diagrama

desplazamientos para todos los objetos y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Propiedades

La categoría de Kleisli de una mónada conmutativa es monoidal simétrica de manera canónica, véase el corolario 7 en Guitart ^[2] y el corolario 4.3 en Power & Robison ^[3] . Cuando una mónada es fuerte pero no necesariamente conmutativa, su categoría de Kleisli es una categoría premonoidal .

Un hecho interesante sobre las mónadas fuertes conmutativas es que son "lo mismo que" las mónadas monoidales simétricas . ^[4] Más explícitamente,

• Una mónada fuerte conmutativa define una mónada monoidal simétrica por ${\displaystyle (T,\eta ,\mu ,t)}$ ${\displaystyle (T,\eta ,\mu ,m)}$ $${\displaystyle m_{A,B}=\mu _{A\otimes B}\circ Tt'_{A,B}\circ t_{TA,B}:TA\otimes TB\to T(A\otimes B)}$$
• y a la inversa, una mónada monoidal simétrica define una mónada fuerte conmutativa por ${\displaystyle (T,\eta ,\mu ,m)}$ ${\displaystyle (T,\eta ,\mu ,t)}$ $${\displaystyle t_{A,B}=m_{A,B}\circ (\eta _{A}\otimes 1_{TB}):A\otimes TB\to T(A\otimes B)}$$

y la conversión entre una y otra presentación es biyectiva.

Referencias

1. Moggi, Eugenio (julio de 1991). "Nociones de computación y mónadas" (PDF) . Información y Computación . 93 (1): 55–92. doi : 10.1016/0890-5401(91)90052-4 .
2. Guitart, René (1980). "Tensores y máquinas". Cahiers de topologie et géométrie différentielle . 21 (1): 5–62. ISSN  2681-2398.
3. Power, John; Robinson, Edmund (octubre de 1997). "Categorías premonoidales y nociones de computación". Estructuras matemáticas en informática . 7 (5): 453–468. doi :10.1017/S0960129597002375. ISSN  0960-1295.
4. Kock, Anders (1972-12-01). "Functores fuertes y mónadas monoidales". Archiv der Mathematik . 23 (1): 113–120. doi :10.1007/BF01304852. ISSN  1420-8938.

Enlaces externos

• Mónada fuerte en el nLab