Tiempo de caída libre

El tiempo de caída libre es el tiempo característico que tardaría un cuerpo en colapsar bajo su propia atracción gravitatoria , si no existieran otras fuerzas que se opusiesen al colapso. Como tal, desempeña un papel fundamental en la determinación de la escala temporal para una amplia variedad de procesos astrofísicos (desde la formación de estrellas hasta la heliosismología y las supernovas ) en los que la gravedad desempeña un papel dominante.

Derivación

Caída hacia una fuente puntual de gravedad

Es relativamente sencillo derivar el tiempo de caída libre aplicando la Tercera Ley de Kepler del movimiento planetario a una órbita elíptica degenerada . Consideremos una masa puntual a distancia de una fuente puntual de masa que cae radialmente hacia adentro de ella. (Es fundamental que la Tercera Ley de Kepler dependa solo del semieje mayor de la órbita y no de la excentricidad ). Una trayectoria puramente radial es un ejemplo de una elipse degenerada con una excentricidad de 1 y un semieje mayor . Por lo tanto, el tiempo que tardaría un cuerpo en caer hacia adentro, dar la vuelta y regresar a su posición original es el mismo que el período de una órbita circular de radio , según la Tercera Ley de Kepler: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R/2}$ ${\displaystyle R/2}$ $${\displaystyle t_{\text{orbit}}={\frac {2\pi }{\sqrt {G(M+m)}}}\left({\frac {R}{2}}\right)^{3/2}={\frac {\pi R^{3/2}}{\sqrt {2G(M+m)}}}.}$$

Para ver que el semieje mayor es , debemos examinar las propiedades de las órbitas a medida que se vuelven cada vez más elípticas. La primera ley de Kepler establece que una órbita es una elipse con el centro de masa como un foco. En el caso de una masa muy pequeña que cae hacia una masa muy grande , el centro de masa está dentro de la masa más grande. El foco de una elipse está cada vez más descentrado a medida que aumenta la elipticidad. En el caso límite de una elipse degenerada con una excentricidad de 1, el diámetro más grande de la órbita se extiende desde la posición inicial del objeto que cae hasta la fuente puntual de masa . En otras palabras, la elipse se convierte en una línea de longitud . El semieje mayor es la mitad del ancho de la elipse a lo largo del eje largo, que en el caso degenerado se convierte en . ${\displaystyle R/2}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/2}$

Si el cuerpo en caída libre completara una órbita completa, comenzaría a una distancia de la masa de la fuente puntual , caería hacia adentro hasta alcanzar esa fuente puntual y luego regresaría a su posición original. En sistemas reales, la masa de la fuente puntual no es realmente una fuente puntual y el cuerpo que cae finalmente choca con alguna superficie. Por lo tanto, solo completa la mitad de la órbita. Pero la órbita es simétrica, por lo que el tiempo de caída libre es la mitad del período. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle t_{\text{ff}}=t_{\text{orbit}}/2={\frac {\pi }{2}}{\frac {R^{3/2}}{\sqrt {2G(M+m)}}}}$$

(Esta fórmula también se desprende de la fórmula del tiempo de caída en función de la posición ).

Por ejemplo, el tiempo que tardaría un objeto en la órbita de la Tierra alrededor del Sol con un período de un año en caer en el Sol si se detuviera repentinamente en su órbita, sería ${\displaystyle P=1}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {P}{2^{3/2}}}={\frac {P}{\sqrt {32}}}.}$$

Esto es aproximadamente 64,6 días.

Caída de una distribución de masa esféricamente simétrica

Ahora, consideremos un caso donde la masa no es una masa puntual, sino que se distribuye en una distribución esféricamente simétrica alrededor del centro, con una densidad de masa promedio de , donde el volumen de una esfera es: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle \rho ={\frac {3M}{4\pi R^{3}}},}$$ ${\textstyle {{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}.}$

Supongamos que la única fuerza que actúa es la gravedad. Entonces, como demostró por primera vez Newton y puede demostrarse fácilmente utilizando el teorema de divergencia , la aceleración de la gravedad a cualquier distancia dada desde el centro de la esfera depende solo de la masa total contenida dentro de . La consecuencia de este resultado es que si uno imaginara romper la esfera en una serie de capas concéntricas, cada capa colapsaría solo después de las capas interiores a ella, y ninguna capa se cruzaría durante el colapso. Como resultado, el tiempo de caída libre de una partícula de prueba en puede expresarse únicamente en términos de la masa total interior a ella. En términos de la densidad promedio interior a , el tiempo de caída libre es ^[1] donde este último está en unidades del SI . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle t_{\text{ff}}={\sqrt {\frac {3\pi }{32G\rho }}}\simeq 0.5427{\frac {1}{\sqrt {G\rho }}}\simeq 66430\,{\frac {1}{\sqrt {\rho }}}}$$

Este resultado es exactamente el mismo que el de la sección anterior cuando . ${\displaystyle M\gg m}$

Aplicaciones

El tiempo de caída libre es una estimación muy útil de la escala de tiempo relevante para varios procesos astrofísicos. Para tener una idea de su aplicación, podemos escribir $${\displaystyle t_{\text{ff}}\simeq {\frac {35\,{\mbox{min}}}{\sqrt {\rho \ ({\mbox{g}}\cdot {\mbox{cm}}^{-3})}}}}$$

Aquí hemos estimado el valor numérico del tiempo de caída libre en aproximadamente 35 minutos para un cuerpo con una densidad media de 1 g/cm ³ .

Comparación

Para un objeto que cae desde el infinito en una órbita de captura , el tiempo que tarda desde una posición dada en caer hasta la masa del punto central es el mismo que el tiempo de caída libre, excepto por una constante . ${\displaystyle {\frac {4}{3\pi }}\approx 0.42}$

Referencias

1. Estructura estelar y evolución Kippenhahn, Rudolf; Weigert, Alfred. Springer-Verlag, 1994, 3ª ed. página 257 ISBN  3-540-58013-1

• Dinámica galáctica Binney, James; Tremaine, Scott. Princeton University Press, 1987.