Función de tasa

Función de probabilidad

En matemáticas , específicamente en la teoría de grandes desviaciones , una función de tasa es una función que se utiliza para cuantificar las probabilidades de eventos poco frecuentes. Estas funciones se utilizan para formular principios de grandes desviaciones . Un principio de grandes desviaciones cuantifica la probabilidad asintótica de eventos poco frecuentes para una secuencia de probabilidades.

Una función de velocidad también se denomina función de Cramér , en honor al probabilista sueco Harald Cramér .

Definiciones

Función de tasa Una función de valor real extendida definida en un espacio topológico de Hausdorff se dice que es una función de tasa si no es idéntica y es semicontinua inferior, es decir, todos los conjuntos de subniveles ${\displaystyle I:X\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle +\infty }$

${\displaystyle \{x\in X\mid I(x)\leq c\}{\mbox{ for }}c\geq 0}$

están cerrados en . Si, además, son compactos , entonces se dice que es una buena función de velocidad . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$

Se dice que una familia de medidas de probabilidad satisface el principio de gran desviación con función de tasa (y tasa ) si, para cada conjunto cerrado y cada conjunto abierto , ${\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I:X\to [0,+\infty )}$ ${\displaystyle 1/\delta }$ ${\displaystyle F\subseteq X}$ ${\displaystyle G\subseteq X}$

${\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(F)\leq -\inf _{x\in F}I(x),\quad {\mbox{(U)}}}$

${\displaystyle \liminf _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(G)\geq -\inf _{x\in G}I(x).\quad {\mbox{(L)}}}$

Si el límite superior (U) se cumple solo para conjuntos compactos (en lugar de cerrados) , entonces se dice que satisface el principio de grandes desviaciones débiles (con tasa y función de tasa débil ). ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}$ ${\displaystyle 1/\delta }$ ${\displaystyle I}$

Observaciones

El papel de los conjuntos abiertos y cerrados en el principio de gran desviación es similar a su papel en la convergencia débil de las medidas de probabilidad: recordemos que se dice que converge débilmente a si, para cada conjunto cerrado y cada conjunto abierto , ${\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle F\subseteq X}$ ${\displaystyle G\subseteq X}$

${\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(F)\leq \mu (F),}$

${\displaystyle \liminf _{\delta \downarrow 0}\mu _{\delta }(G)\geq \mu (G).}$

Existen algunas variaciones en la nomenclatura utilizada en la literatura: por ejemplo, den Hollander (2000) utiliza simplemente "función de tasa", mientras que este artículo, siguiendo a Dembo y Zeitouni (1998), utiliza "función de tasa buena" y "función de tasa débil". Rassoul-Agha y Seppäläinen (2015) utilizan el término "función de tasa ajustada" en lugar de "función de tasa buena" debido a la conexión con la rigidez exponencial de una familia de medidas. Independientemente de la nomenclatura utilizada para las funciones de tasa, el examen de si se supone que la desigualdad del límite superior (U) se cumple para conjuntos cerrados o compactos indica si el principio de gran desviación en uso es fuerte o débil.

Propiedades

Unicidad

Una pregunta natural que se plantea, dada la configuración algo abstracta del marco general anterior, es si la función de tasa es única. Resulta que es así: dada una secuencia de medidas de probabilidad ( μ _δ ) _{δ >0} en X que satisfacen el principio de desviación grande para dos funciones de tasa I y J , se deduce que I ( x ) =  J ( x ) para todo x  ∈  X .

Estrechez exponencial

Es posible convertir un principio débil de gran desviación en uno fuerte si las medidas convergen con la suficiente rapidez. Si el límite superior se cumple para conjuntos compactos F y la secuencia de medidas ( μ _δ ) _{δ >0} es exponencialmente ajustada , entonces el límite superior también se cumple para conjuntos cerrados F . En otras palabras, la ajustada exponencial permite convertir un principio débil de gran desviación en uno fuerte.

Continuidad

Ingenuamente, se podría intentar reemplazar las dos desigualdades (U) y (L) por el único requisito de que, para todos los conjuntos de Borel S  ⊆  X ,

${\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(S)=-\inf _{x\in S}I(x).\quad {\mbox{(E)}}}$

La igualdad (E) es demasiado restrictiva, ya que muchos ejemplos interesantes satisfacen (U) y (L) pero no (E). Por ejemplo, la medida μ _δ podría no ser atómica para todo δ , por lo que la igualdad (E) podría cumplirse para S  = { x } solo si I fuera idénticamente +∞, lo que no está permitido en la definición. Sin embargo, las desigualdades (U) y (L) sí implican la igualdad (E) para los llamados conjuntos I -continuos S  ⊆  X , aquellos para los que

${\displaystyle I{\big (}{\stackrel {\circ }{S}}{\big )}=I{\big (}{\bar {S}}{\big )},}$

donde y denotan el interior y el cierre de S en X respectivamente. En muchos ejemplos, muchos conjuntos/eventos de interés son I -continuos. Por ejemplo, si I es una función continua , entonces todos los conjuntos S tales que ${\displaystyle {\stackrel {\circ }{S}}}$ ${\displaystyle {\bar {S}}}$

${\displaystyle S\subseteq {\bar {\stackrel {\circ }{S}}}}$

son I -continuos; todos los conjuntos abiertos, por ejemplo, satisfacen esta contención.

Transformación de principios de grandes desviaciones

Dado un principio de gran desviación en un espacio, a menudo resulta interesante poder construir un principio de gran desviación en otro espacio. Existen varios resultados en esta área:

• el principio de contracción nos dice cómo un principio de gran desviación en un espacio "empuja hacia adelante" (a través del empuje hacia adelante de una medida de probabilidad) hacia un principio de gran desviación en otro espacio a través de una función continua ;
• El teorema de Dawson-Gärtner explica cómo una secuencia de principios de gran desviación en una secuencia de espacios pasa al límite proyectivo .
• El principio de gran desviación inclinada proporciona un principio de gran desviación para integrales de funcionales exponenciales .
• Las medidas exponencialmente equivalentes tienen los mismos principios de gran desviación.

Historia y desarrollo básico

La noción de función de tasa surgió en la década de 1930 con el estudio del matemático sueco Harald Cramér de una secuencia de variables aleatorias iid ( Z _i ) _{i∈ ${\displaystyle \mathbb {N} }$} . Es decir, entre algunas consideraciones de escala, Cramér estudió el comportamiento de la distribución del promedio como n →∞. ^[1] Encontró que las colas de la distribución de X _n decaen exponencialmente como e ^{− nλ ( x )} donde el factor λ ( x ) en el exponente es la transformada de Legendre-Fenchel (también conocida como el conjugado convexo ) de la función generadora de cumulantes . Por esta razón, esta función particular λ ( x ) a veces se denomina función de Cramér . La función de tasa definida anteriormente en este artículo es una generalización amplia de esta noción de Cramér, definida de manera más abstracta en un espacio de probabilidad , en lugar del espacio de estados de una variable aleatoria. ${\textstyle X_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}$ ${\displaystyle \Psi _{Z}(t)=\log \operatorname {E} e^{tZ}.}$

Véase también

• Teoría del valor extremo
• Principio de desviación moderada

Referencias

1. Cramér, Harald (1938). "Sur un nouveau théorème-limite de la théorie des probabilités". Colloque consacré à la théorie des probabilités, Parte 3, Actualités scientifiques et industrielles (en francés). 731 : 5–23.

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Grandes desviaciones, técnicas y aplicaciones . Aplicaciones de las matemáticas (Nueva York) 38 (segunda edición). Nueva York: Springer-Verlag. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2. Señor 1619036
• den Hollander, Frank (2000). Grandes desviaciones . Fields Institute Monographs 14. Providence, RI: American Mathematical Society . pág. x+143. ISBN. 0-8218-1989-5. Señor 1739680
• Rassoul-Agha, Firas; Seppäläinen, Timo (2015). Un curso sobre grandes desviaciones con introducción a las medidas de Gibbs . Estudios de Posgrado en Matemáticas 162. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. xiv+318. ISBN 978-0-8218-7578-0. Señor 3309619