En mecánica de fluidos , el equilibrio hidrostático ( equilibrio hidrostático , hidrostasia ) es la condición de un fluido o sólido plástico en reposo, que se produce cuando las fuerzas externas, como la gravedad , se equilibran mediante una fuerza de gradiente de presión . [1] En la física planetaria de la Tierra, la fuerza del gradiente de presión evita que la gravedad colapse la atmósfera planetaria en una capa delgada y densa, mientras que la gravedad evita que la fuerza del gradiente de presión difunda la atmósfera hacia el espacio exterior . [2] [3] En general, es lo que hace que los objetos en el espacio sean esféricos.
El equilibrio hidrostático es el criterio que distingue entre los planetas enanos y los cuerpos pequeños del sistema solar , y es una característica de la astrofísica y la geología planetaria . Dicha calificación de equilibrio indica que la forma del objeto es simétricamente redondeada, principalmente debido a la rotación , en un elipsoide , donde cualquier característica superficial irregular es consecuencia de una corteza sólida relativamente delgada . Además del Sol, hay aproximadamente una docena de objetos en equilibrio cuya existencia se ha confirmado en el Sistema Solar .
Para un fluido hidrostático en la Tierra:
Las leyes del movimiento de Newton establecen que un volumen de un fluido que no está en movimiento o que está en un estado de velocidad constante debe tener una fuerza neta cero sobre él. Esto significa que a la suma de las fuerzas en una dirección dada debe oponerse una suma igual de fuerzas en la dirección opuesta. Este equilibrio de fuerzas se llama equilibrio hidrostático.
El fluido se puede dividir en una gran cantidad de elementos de volumen cuboides ; considerando un solo elemento, se puede derivar la acción del fluido.
Hay tres fuerzas: la fuerza hacia abajo sobre la parte superior del cuboide debido a la presión, P , del fluido que está encima es, según la definición de presión . De manera similar, la fuerza sobre el elemento de volumen debido a la presión del fluido que está debajo empujando hacia arriba. es
Finalmente, el peso del elemento volumétrico provoca una fuerza hacia abajo. Si la densidad es ρ , el volumen es V y g la gravedad estándar , entonces: El volumen de este cuboide es igual al área de la parte superior o inferior, multiplicada por la altura: la fórmula para encontrar el volumen de un cubo.
Al equilibrar estas fuerzas, la fuerza total sobre el fluido es. Esta suma es igual a cero si la velocidad del fluido es constante. Dividir por A, Or, P arriba − P abajo es un cambio de presión y h es la altura del elemento de volumen, un cambio en la distancia sobre el suelo. Al decir que estos cambios son infinitamente pequeños, la ecuación se puede escribir en forma diferencial . La densidad cambia con la presión y la gravedad cambia con la altura, por lo que la ecuación sería:
Obsérvese finalmente que esta última ecuación se puede derivar resolviendo las ecuaciones tridimensionales de Navier-Stokes para la situación de equilibrio donde Entonces, la única ecuación no trivial es la ecuación -, que ahora queda así: Por lo tanto, el equilibrio hidrostático puede considerarse como una ecuación particularmente simple. solución de equilibrio de las ecuaciones de Navier-Stokes.
Introduciendo el tensor de energía-momento para un fluido perfecto en las ecuaciones de campo de Einstein y usando la condición de conservación, se puede derivar la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff para la estructura de una estrella relativista estática, esféricamente simétrica en coordenadas isotrópicas: En la práctica, Ρ y ρ están relacionados por una ecuación de estado de la forma f ( Ρ , ρ ) = 0, siendo f específica de la composición de la estrella. M ( r ) es una foliación de esferas ponderadas por la densidad de masa ρ ( r ), teniendo la esfera más grande radio r : Según el procedimiento estándar al tomar el límite no relativista, dejamos c → ∞ , de modo que el factor Por lo tanto, en el El límite no relativista de la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff se reduce al equilibrio hidrostático de Newton: (hemos hecho que la notación trivial cambie h = r y hemos usado f ( Ρ , ρ ) = 0 para expresar ρ en términos de P ). [4] Se puede calcular una ecuación similar para estrellas con simetría axial en rotación, que en su forma independiente del calibre dice: A diferencia de la ecuación de equilibrio TOV, estas son dos ecuaciones (por ejemplo, si, como es habitual al tratar estrellas, se eligen coordenadas esféricas como coordenadas base , el índice i se ejecuta para las coordenadas r y ).
El equilibrio hidrostático pertenece a la hidrostática y a los principios de equilibrio de fluidos . Una balanza hidrostática es una balanza particular para pesar sustancias en agua. El equilibrio hidrostático permite descubrir sus gravedades específicas . Este equilibrio es estrictamente aplicable cuando un fluido ideal está en flujo laminar horizontal estacionario y cuando cualquier fluido está en reposo o en movimiento vertical a velocidad constante. También puede ser una aproximación satisfactoria cuando las velocidades del flujo son lo suficientemente bajas como para que la aceleración sea insignificante.
Desde la época de Isaac Newton se ha trabajado mucho sobre el tema del equilibrio alcanzado cuando un fluido gira en el espacio. Esto se aplica tanto a estrellas como a objetos como planetas, que pueden haber sido fluidos en el pasado o en los que el material sólido se deforma como un fluido cuando se somete a tensiones muy altas. En cualquier capa dada de una estrella existe un equilibrio hidrostático entre el gradiente de presión que empuja hacia afuera y el peso del material que está encima y que presiona hacia adentro. También se pueden estudiar los planetas bajo el supuesto de equilibrio hidrostático. Una estrella o planeta en rotación en equilibrio hidrostático suele ser un esferoide achatado , es decir, un elipsoide en el que dos de los ejes principales son iguales y más largos que el tercero. Un ejemplo de este fenómeno es la estrella Vega , que tiene un período de rotación de 12,5 horas. En consecuencia, Vega es aproximadamente un 20% más grande en el ecuador que de polo a polo.
En su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica de 1687 , Newton afirmó correctamente que un fluido en rotación de densidad uniforme bajo la influencia de la gravedad tomaría la forma de un esferoide y que la gravedad (incluido el efecto de la fuerza centrífuga ) sería más débil en el ecuador que en el polos en una cantidad igual (al menos asintóticamente ) a cinco cuartos de la fuerza centrífuga en el ecuador. [5] En 1742, Colin Maclaurin publicó su tratado sobre fluxiones, en el que demostró que el esferoide era una solución exacta. Si designamos el radio ecuatorial por el radio polar por y la excentricidad por con
encontró que la gravedad en los polos es [6]
donde es la constante gravitacional, es la densidad (uniforme) y es la masa total. La relación entre esto y la gravedad, si el fluido no está girando, es asintótica para
cuando llega a cero, ¿dónde está el aplanamiento?
La atracción gravitacional sobre el ecuador (sin incluir la fuerza centrífuga) es
Asintóticamente tenemos:
Maclaurin demostró (aún en el caso de densidad uniforme) que la componente de la gravedad hacia el eje de rotación dependía sólo de la distancia al eje y era proporcional a esa distancia, y la componente en dirección hacia el plano del ecuador dependía sólo en la distancia desde ese plano y era proporcional a esa distancia. Newton ya había señalado que la gravedad que se siente en el ecuador (incluido el rayo debido a la fuerza centrífuga) tiene que ser para tener la misma presión en el fondo de los canales desde el polo o desde el ecuador hacia el centro, por lo que la fuerza centrífuga La fuerza en el ecuador debe ser
Al definir la latitud como el ángulo entre una tangente al meridiano y el eje de rotación, la gravedad total que se siente en la latitud (incluido el efecto de la fuerza centrífuga) es
Esta solución esferoide es estable hasta un cierto momento angular (crítico) (normalizado por ), pero en 1834 Carl Jacobi demostró que se vuelve inestable una vez que la excentricidad alcanza 0,81267 (o alcanza 0,3302). Por encima del valor crítico, la solución se convierte en un elipsoide de Jacobi o escaleno (uno con los tres ejes diferentes). Henri Poincaré en 1885 descubrió que con un momento angular aún mayor ya no será elipsoidal sino piriforme u oviforme . La simetría cae del grupo de puntos D 2h de 8 veces al C 2v de 4 veces , con su eje perpendicular al eje de rotación. [7] Otras formas satisfacen las ecuaciones más allá de eso, pero no son estables, al menos no cerca del punto de bifurcación . [7] [8] Poincaré no estaba seguro de qué sucedería con un momento angular mayor, pero concluyó que eventualmente la masa se dividiría en dos.
La suposición de densidad uniforme puede aplicarse más o menos a un planeta fundido o a un planeta rocoso, pero no se aplica a una estrella o a un planeta como la Tierra que tiene un núcleo metálico denso. En 1737, Alexis Clairaut estudió el caso de la densidad que varía con la profundidad. [9] El teorema de Clairaut establece que la variación de la gravedad (incluida la fuerza centrífuga) es proporcional al cuadrado del seno de la latitud, y la proporcionalidad depende linealmente del aplanamiento ( ) y de la relación en el ecuador entre la fuerza centrífuga y la gravitacional. atracción. (Compárese con la relación exacta anterior para el caso de densidad uniforme.) El teorema de Clairaut es un caso especial, para un esferoide achatado, de una conexión encontrada más tarde por Pierre-Simon Laplace entre la forma y la variación de la gravedad. [10]
Si la estrella tiene un objeto compañero masivo cercano, entonces las fuerzas de marea también entran en juego, distorsionando la estrella en una forma escalena cuando la rotación por sí sola la convertiría en un esferoide. Un ejemplo de ello es Beta Lyrae .
El equilibrio hidrostático también es importante para el medio intracúmulo , donde restringe la cantidad de fluido que puede estar presente en el núcleo de un cúmulo de galaxias .
También podemos utilizar el principio del equilibrio hidrostático para estimar la velocidad de dispersión de la materia oscura en cúmulos de galaxias. Sólo la materia bariónica (o, mejor dicho, sus colisiones) emite radiación de rayos X. La luminosidad absoluta de los rayos X por unidad de volumen toma la forma donde y son la temperatura y la densidad de la materia bariónica, y es función de la temperatura y las constantes fundamentales. La densidad bariónica satisface la ecuación anterior : la integral es una medida de la masa total del cúmulo, siendo la distancia adecuada al centro del cúmulo. Usando la ley de los gases ideales ( es la constante de Boltzmann y es una masa característica de las partículas de gas bariónico) y reordenando, llegamos a Multiplicar y diferenciar con respecto a los rendimientos Si asumimos que las partículas frías de materia oscura tienen una distribución de velocidad isotrópica , entonces la misma derivación se aplica a estas partículas, y su densidad satisface la ecuación diferencial no lineal. Con datos de distancia y rayos X perfectos, podríamos calcular la densidad bariónica en cada punto del cúmulo y, por tanto, la densidad de materia oscura. Luego podríamos calcular la dispersión de la velocidad de la materia oscura, que viene dada por La relación de densidad central depende del corrimiento al rojo del cúmulo y está dada por dónde está el ancho angular del cúmulo y la distancia adecuada al cúmulo. Los valores de la relación oscilan entre 0,11 y 0,14 para varias encuestas. [11]
El concepto de equilibrio hidrostático también se ha vuelto importante para determinar si un objeto astronómico es un planeta , un planeta enano o un cuerpo pequeño del Sistema Solar . Según la definición de planeta adoptada por la Unión Astronómica Internacional en 2006, una característica definitoria de los planetas y los planetas enanos es que son objetos que tienen suficiente gravedad para superar su propia rigidez y asumir el equilibrio hidrostático. Tal cuerpo a menudo tendrá el interior y la geología diferenciados de un mundo (un planemo ), aunque cuerpos casi hidrostáticos o anteriormente hidrostáticos como el protoplaneta 4 Vesta también pueden diferenciarse y algunos cuerpos hidrostáticos (en particular Calisto ) no se han diferenciado completamente. diferenciados desde su formación. A menudo la forma de equilibrio es un esferoide achatado , como es el caso de la Tierra. Sin embargo, en el caso de lunas en órbita sincrónica, las fuerzas de marea casi unidireccionales crean un elipsoide escaleno . Además, el supuesto planeta enano Haumea es escaleno debido a su rápida rotación, aunque es posible que actualmente no esté en equilibrio.
Anteriormente se creía que los objetos helados necesitaban menos masa para alcanzar el equilibrio hidrostático que los objetos rocosos. El objeto más pequeño que parece tener una forma de equilibrio es la luna helada Mimas a 396 km, mientras que el objeto helado más grande que se sabe que tiene una forma obviamente no equilibrada es la luna helada Proteus a 420 km, y los cuerpos rocosos más grandes en una forma obviamente no equilibrada es la luna helada Proteus a 420 km. La forma de no equilibrio son los asteroides Palas y Vesta a unos 520 km. Sin embargo, Mimas en realidad no se encuentra en equilibrio hidrostático para su rotación actual. El cuerpo más pequeño que se ha confirmado que se encuentra en equilibrio hidrostático es el planeta enano Ceres , que está helado, a 945 km, mientras que el cuerpo más grande conocido que tiene una desviación notable del equilibrio hidrostático es Jápeto, que está formado principalmente por hielo permeable y casi sin roca. [12] A 1.469 km, Jápeto no es ni esférico ni elipsoide. En cambio, tiene una extraña forma parecida a una nuez debido a su cresta ecuatorial única . [13] Algunos cuerpos helados pueden estar en equilibrio, al menos en parte, debido a un océano subterráneo, que no es la definición de equilibrio utilizada por la IAU (gravedad que supera las fuerzas internas de los cuerpos rígidos). Incluso los cuerpos más grandes se desvían del equilibrio hidrostático, aunque son elipsoidales: ejemplos son la Luna de la Tierra a 3.474 km (principalmente roca), [14] y el planeta Mercurio a 4.880 km (principalmente metal). [15]
En 2024, Kiss et al. descubrió que Quaoar tiene una forma elipsoidal incompatible con el equilibrio hidrostático para su giro actual. Plantearon la hipótesis de que Quaoar originalmente tenía una rotación rápida y estaba en equilibrio hidrostático, pero que su forma se "congelaba" y no cambiaba a medida que giraba hacia abajo debido a las fuerzas de marea de su luna Weywot . [16] Si es así, esto se parecería a la situación de Jápeto, que es demasiado achatado para su giro actual. [17] [18] Jápeto generalmente todavía se considera una luna de masa planetaria , [19] aunque no siempre. [20]
Los cuerpos sólidos tienen superficies irregulares, pero las irregularidades locales pueden ser consistentes con el equilibrio global. Por ejemplo, la enorme base de la montaña más alta de la Tierra, Mauna Kea , ha deformado y deprimido el nivel de la corteza circundante, de modo que la distribución general de la masa se acerca al equilibrio.
En la atmósfera, la presión del aire disminuye al aumentar la altitud. Esta diferencia de presión provoca una fuerza hacia arriba llamada fuerza de gradiente de presión . La fuerza de gravedad equilibra esto, manteniendo la atmósfera unida a la Tierra y manteniendo las diferencias de presión con la altitud.