Forma normal de Howell

En álgebra lineal y teoría de anillos, la forma normal de Howell es una generalización de la forma escalonada por filas de una matriz sobre , el anillo de números enteros módulo N . Las extensiones por filas de dos matrices concuerdan si, y solo si, sus formas normales de Howell concuerdan. La forma normal de Howell generaliza la forma normal de Hermite , que se define para matrices sobre . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Definición

Se dice que una matriz está en forma escalonada si tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle A\in \mathbb {Z} _{N}^{n\times m}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}}$

• Sea el número de filas distintas de cero de . Entonces las filas superiores de la matriz son distintas de cero, ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$
• Para , sea el índice del elemento distinto de cero más a la izquierda en la fila . Entonces . ${\displaystyle 1\leq i\leq r}$ ${\displaystyle j_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j_{1}<j_{2}<\dots <j_{r}}$

Con transformaciones elementales , cada matriz en forma escalonada se puede reducir de manera que se mantengan las siguientes propiedades:

• Para cada , el elemento principal es un divisor de , ${\displaystyle 1\leq i\leq r}$ ${\displaystyle A_{ij_{i}}}$ ${\displaystyle N}$
• Para cada uno se cumple que . ${\displaystyle 1\leq k<i\leq r}$ ${\displaystyle 0\leq A_{kj_{i}}<A_{ij_{i}}}$

Si se cumplen ambas propiedades anteriores, se dice que está en forma de escalón reducido . ${\displaystyle A}$

Si se adhiere a la siguiente propiedad adicional, se dice que está en forma normal de Howell ( denota el lapso de filas de ): ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S(A)}$ ${\displaystyle A}$

• sea ​​un elemento del intervalo de filas de , tal que para cada . Entonces , donde es la matriz obtenida de filas desde la -ésima hasta la -ésima de la matriz . ${\displaystyle v\in S(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle v_{k}=0}$ ${\displaystyle 1\leq k<j_{i}}$ ${\displaystyle v\in S(A_{i\dots m})}$ ${\displaystyle A_{i\dots m}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle A}$

Propiedades

Para cada matriz sobre , existe una única matriz en la forma normal de Howell, tal que . La matriz se puede obtener a partir de matriz mediante una secuencia de transformaciones elementales. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S(A)=S(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$

De esto se deduce que para dos matrices sobre , sus intervalos de filas son iguales si y sólo si sus formas normales de Howell son iguales. ^[2] ${\displaystyle A,B\in \mathbb {Z} _{N}^{n\times m}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}}$

Por ejemplo, las matrices

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}4&1&0\\0&0&5\\0&0&0\end{bmatrix}},\;\;\;B={\begin{bmatrix}8&5&5\\0&9&8\\0&0&10\end{bmatrix}}}$

tienen la misma forma normal de Howell sobre : ${\displaystyle \mathbb {Z} _{12}}$

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}4&1&0\\0&3&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Nótese que y son dos matrices distintas en la forma escalonada por filas, lo que significaría que su amplitud es la misma si se las trata como matrices sobre algún cuerpo. Además, están en la forma normal de Hermite , lo que significa que su amplitud por filas también es la misma si se las considera sobre , el anillo de números enteros . ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Sin embargo, no es un campo y, en anillos generales, a veces es posible anular el pivote de una fila multiplicando la fila por un escalar sin anular toda la fila. En este caso particular, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{12}}$

${\displaystyle 3\cdot {\begin{bmatrix}4&1&0\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}0&3&0\end{bmatrix}}{\pmod {12}}.}$

Esto implica , lo que no sería cierto sobre ningún campo ni sobre números enteros. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&3&0\end{bmatrix}}\in S(A)}$

Referencias

1. Biasse, Fieker, Hofmann (2017), págs. 589
2. Storjohann, Mulders (1998), págs. 139-140

Bibliografía

• John A. Howell (abril de 1986). «Intervalos en el módulo (Z_m)^S». Álgebra lineal y multilineal . 19 (1): 67–77. doi :10.1080/03081088608817705. ISSN  0308-1087. Zbl  0596.15013. Wikidata  Q110879587.
• Arne Storjohann; Thom Mulders (24 de agosto de 1998). "Algoritmos rápidos para álgebra lineal módulo N". Lecture Notes in Computer Science : 139–150. doi :10.1007/3-540-68530-8_12. ISSN  0302-9743. Wikidata  Q110879586.
• Jean-François Biasse; Claus Fieker; Tommy Hofmann (mayo de 2017). "Sobre el cálculo de la HNF de un módulo sobre el anillo de números enteros de un cuerpo numérico". Journal of Symbolic Computation . 80 : 581–615. arXiv : 1612.09428 . doi :10.1016/J.JSC.2016.07.027. ISSN  0747-7171. Zbl  1403.11084. Wikidata  Q110883424.