Método de flexibilidad

Técnica para calcular las fuerzas y desplazamientos de los miembros en una estructura.

En ingeniería estructural , el método de la flexibilidad , también llamado método de deformaciones consistentes , es el método tradicional para calcular las fuerzas y desplazamientos de los miembros en sistemas estructurales. Su versión moderna formulada en términos de las matrices de flexibilidad de los miembros también tiene el nombre de método de fuerza matricial debido a su uso de las fuerzas de los miembros como principales incógnitas. ^[1]

Flexibilidad de los miembros

La flexibilidad es la inversa de la rigidez . Por ejemplo, considere un resorte que tiene Q y q como, respectivamente, su fuerza y ​​deformación:

• La relación de rigidez del resorte es Q = kq donde k es la rigidez del resorte.
• Su relación de flexibilidad es q = f Q , donde f es la flexibilidad del resorte.
• Por tanto, f = 1/ k .

Una relación típica de flexibilidad de miembros tiene la siguiente forma general:

dónde

m = número de miembro m .

${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$= vector de deformaciones características del miembro.

${\displaystyle \mathbf {f} ^{m}}$= matriz de flexibilidad del miembro que caracteriza la susceptibilidad del miembro a deformarse bajo fuerzas.

${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}$= vector de fuerzas características independientes del miembro, que son fuerzas internas desconocidas. Estas fuerzas independientes dan lugar a todas las fuerzas en los extremos de los miembros mediante el equilibrio del miembro.

${\displaystyle \mathbf {q} ^{om}}$= vector de deformaciones características del miembro causadas por efectos externos (como fuerzas conocidas y cambios de temperatura) aplicados al miembro aislado y desconectado (es decir, con ). ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}=0}$

Para un sistema compuesto por muchos miembros interconectados en puntos llamados nodos, las relaciones de flexibilidad de los miembros se pueden juntar en una única ecuación matricial, eliminando el superíndice m:

donde M es el número total de deformaciones o fuerzas características de los miembros en el sistema.

A diferencia del método de rigidez de la matriz , donde las relaciones de rigidez de los miembros pueden integrarse fácilmente mediante condiciones de equilibrio nodal y compatibilidad, la forma actual de flexibilidad de la ecuación ( 2 ) plantea serias dificultades. Con las fuerzas en los miembros como principales incógnitas, el número de ecuaciones de equilibrio nodal es insuficiente para la solución, en general, a menos que el sistema esté estáticamente determinado . ${\displaystyle \mathbf {Q} _{M\times 1}}$

Ecuaciones de equilibrio nodal

Para resolver esta dificultad, primero utilizamos las ecuaciones de equilibrio nodal para reducir el número de fuerzas independientes desconocidas en los miembros. La ecuación de equilibrio nodal del sistema tiene la forma:

dónde

${\displaystyle \mathbf {R} _{N\times 1}}$: Vector de fuerzas nodales en todos los N grados de libertad del sistema.

${\displaystyle \mathbf {b} _{N\times M}}$: La matriz de equilibrio nodal resultante

${\displaystyle \mathbf {W} _{N\times 1}}$: El vector de fuerzas que surgen de las cargas sobre los miembros.

En el caso de sistemas determinados, la matriz b es cuadrada y la solución para Q se puede encontrar inmediatamente a partir de ( 3 ) siempre que el sistema sea estable.

El sistema primario

Para sistemas estáticamente indeterminados , M > N y, por tanto, podemos aumentar ( 3 ) con I = M − N ecuaciones de la forma:

El vector X es el llamado vector de fuerzas redundantes y I es el grado de indeterminación estática del sistema. Generalmente se elige j , k , …, , y tal que sea una reacción en el apoyo o una fuerza interna en el extremo del miembro. Con elecciones adecuadas de fuerzas redundantes, el sistema de ecuaciones ( 3 ) aumentado por ( 4 ) ahora se puede resolver para obtener: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle X_{i}}$

La sustitución en ( 2 ) da:

Las ecuaciones ( 5 ) y ( 6 ) son la solución para el sistema primario , que es el sistema original que se ha vuelto estáticamente determinado mediante cortes que exponen las fuerzas redundantes . La ecuación ( 5 ) reduce efectivamente el conjunto de fuerzas desconocidas a . ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

Ecuación de compatibilidad y solución.

A continuación, necesitamos configurar ecuaciones de compatibilidad para encontrar . Las ecuaciones de compatibilidad restablecen la continuidad requerida en las secciones cortadas estableciendo los desplazamientos relativos en las redundantes X a cero. Es decir, utilizando el método de fuerza ficticia unitaria : ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{X}}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {F} _{XX}=\mathbf {B} _{X}^{T}\mathbf {f} \mathbf {B} _{X}}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{X}^{o}=\mathbf {B} _{X}^{T}{\Big [}\mathbf {f} {\Big (}\mathbf {B} _{R}\mathbf {R} +\mathbf {Q} _{v}{\Big )}+\mathbf {q} ^{o}{\Big ]}}$

La ecuación ( 7b ) se puede resolver para X , y las fuerzas en los miembros se encuentran a continuación a partir de ( 5 ), mientras que los desplazamientos nodales se pueden encontrar mediante

${\displaystyle \mathbf {r} _{R}=\mathbf {B} _{R}^{T}\mathbf {q} =\mathbf {F} _{RR}\mathbf {R} +\mathbf {r} _{R}^{o}}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {F} _{RR}=\mathbf {B} _{R}^{T}\mathbf {f} \mathbf {B} _{R}}$es la matriz de flexibilidad del sistema .

${\displaystyle \mathbf {r} _{R}^{o}=\mathbf {B} _{R}^{T}{\Big [}\mathbf {f} {\Big (}\mathbf {B} _{X}\mathbf {X} +\mathbf {Q} _{v}{\Big )}+\mathbf {q} ^{o}{\Big ]}}$

Los movimientos de los soportes que tienen lugar en los redundantes se pueden incluir en el lado derecho de la ecuación ( 7 ), mientras que los movimientos de los soportes en otros lugares deben incluirse en y también. ${\displaystyle \mathbf {r} _{X}^{o}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{R}^{o}}$

Ventajas y desventajas

Si bien la elección de fuerzas redundantes en ( 4 ) parece arbitraria y problemática para el cálculo automático, esta objeción puede superarse pasando de ( 3 ) directamente a ( 5 ) utilizando un proceso de eliminación de Gauss-Jordan modificado . Este es un procedimiento robusto que selecciona automáticamente un buen conjunto de fuerzas redundantes para garantizar la estabilidad numérica.

Del proceso anterior se desprende que el método de rigidez de la matriz es más fácil de comprender e implementar para el cálculo automático. También es más fácil de ampliar para aplicaciones avanzadas como análisis no lineal, estabilidad, vibraciones, etc. Por estas razones, el método de rigidez de la matriz es el método de elección para su uso en paquetes de software de análisis estructural de propósito general. Por otro lado, para sistemas lineales con un bajo grado de indeterminación estática, el método de flexibilidad tiene la ventaja de ser menos intensivo desde el punto de vista computacional. Esta ventaja, sin embargo, es discutible ya que las computadoras personales están ampliamente disponibles y son más potentes. El principal factor redentor al aprender este método hoy en día es su valor educativo al impartir los conceptos de equilibrio y compatibilidad, además de su valor histórico. Por el contrario, el procedimiento del método de rigidez directa es tan mecánico que se corre el riesgo de utilizarlo sin una gran comprensión de los comportamientos estructurales.

Los argumentos anteriores fueron válidos hasta finales de los años 1990. Sin embargo, los avances recientes en computación numérica han mostrado un regreso del método de la fuerza, especialmente en el caso de sistemas no lineales. Se han desarrollado nuevos marcos que permiten formulaciones "exactas" independientemente del tipo o naturaleza de las no linealidades del sistema. Las principales ventajas del método de flexibilidad es que el error del resultado es independiente de la discretización del modelo y que efectivamente es un método muy rápido. Por ejemplo, la solución elástico-plástica de una viga continua utilizando el método de fuerza requiere sólo 4 elementos de viga, mientras que un código FEM comercial "basado en rigidez" requiere 500 elementos para dar resultados con la misma precisión. Para concluir, se puede decir que en el caso en que la solución del problema requiera evaluaciones recursivas del campo de fuerzas como en el caso de la optimización estructural o la identificación del sistema , la eficiencia del método de flexibilidad es indiscutible.

Ver también

• Método de elementos finitos en mecánica estructural.
• Análisis estructural
• Método de rigidez

Referencias

1. "Método Matrix Force" (PDF) . IUST . Consultado el 29 de diciembre de 2012 .

Enlaces externos

• Deformaciones consistentes: método de fuerza Archivado el 10 de agosto de 2008 en la Wayback Machine.