Una geometría finita es cualquier sistema geométrico que tiene sólo un número finito de puntos . La conocida geometría euclidiana no es finita, porque una recta euclidiana contiene infinitos puntos. Una geometría basada en los gráficos mostrados en la pantalla de una computadora, donde los píxeles se consideran puntos, sería una geometría finita. Si bien hay muchos sistemas que podrían denominarse geometrías finitas, se presta mayor atención a los espacios proyectivos y afines finitos debido a su regularidad y simplicidad. Otros tipos importantes de geometría finita son los planos finitos de Möbius o inversivos y los planos de Laguerre , que son ejemplos de un tipo general llamado planos de Benz , y sus análogos de dimensiones superiores, como las geometrías inversivas finitas superiores .
Las geometrías finitas se pueden construir mediante álgebra lineal , a partir de espacios vectoriales sobre un campo finito ; los planos afines y proyectivos así construidos se denominan geometrías de Galois . Las geometrías finitas también se pueden definir de forma puramente axiomática. Las geometrías finitas más comunes son las geometrías de Galois, ya que cualquier espacio proyectivo finito de dimensión tres o mayor es isomorfo a un espacio proyectivo sobre un campo finito (es decir, la proyectivización de un espacio vectorial sobre un campo finito). Sin embargo, la dimensión dos tiene planos afines y proyectivos que no son isomorfos a las geometrías de Galois, es decir, los planos no desarguesianos . Resultados similares se aplican a otros tipos de geometrías finitas.
Las siguientes observaciones se aplican sólo a planos finitos . Hay dos tipos principales de geometría plana finita: afín y proyectiva . En un plano afín , se aplica el sentido normal de líneas paralelas . En un plano proyectivo , por el contrario, dos líneas cualesquiera se cruzan en un único punto, por lo que no existen líneas paralelas. Tanto la geometría del plano afín finito como la geometría del plano proyectivo finito pueden describirse mediante axiomas bastante simples .
Una geometría plana afín es un conjunto no vacío X (cuyos elementos se denominan "puntos"), junto con una colección no vacía L de subconjuntos de X (cuyos elementos se denominan "líneas"), tal que:
El último axioma garantiza que la geometría no sea trivial (ya sea vacía o demasiado simple para ser de interés, como una sola línea con un número arbitrario de puntos), mientras que los dos primeros especifican la naturaleza de la geometría.
El plano afín más simple contiene sólo cuatro puntos; se llama plano afín de orden 2. (El orden de un plano afín es el número de puntos en cualquier línea, ver más abajo). Como no hay tres colineales, cualquier par de puntos determina una línea única, por lo que este plano contiene seis líneas. Corresponde a un tetraedro donde las aristas que no se cruzan se consideran "paralelas", o a un cuadrado donde no sólo los lados opuestos, sino también las diagonales se consideran "paralelas".
El plano afín de orden 3 se conoce como configuración de Hesse .
De manera más general, un plano afín finito de orden n tiene n 2 puntos y n 2 + n líneas; cada línea contiene n puntos y cada punto está en n + 1 líneas.
Una geometría plana proyectiva es un conjunto no vacío X (cuyos elementos se denominan "puntos"), junto con una colección no vacía L de subconjuntos de X (cuyos elementos se denominan "líneas"), tal que:
Un examen de los dos primeros axiomas muestra que son casi idénticos, excepto que se han intercambiado las funciones de los puntos y las líneas. Esto sugiere el principio de dualidad para las geometrías planas proyectivas, lo que significa que cualquier afirmación verdadera válida en todas estas geometrías sigue siendo verdadera si intercambiamos puntos por líneas y líneas por puntos. La geometría más pequeña que satisface los tres axiomas contiene siete puntos. En este plano proyectivo, el más simple, hay también siete líneas; cada punto está en tres líneas y cada línea contiene tres puntos.
Este plano proyectivo particular a veces se llama plano de Fano . Si cualquiera de las líneas se elimina del plano, junto con los puntos de esa línea, la geometría resultante es el plano afín de orden 2. El plano de Fano se llama plano proyectivo de orden 2 porque es único (hasta el isomorfismo) . En general, el plano proyectivo de orden n tiene n 2 + n + 1 puntos y el mismo número de rectas; cada línea contiene n + 1 puntos y cada punto está en n + 1 líneas.
Una permutación de los siete puntos del plano de Fano que lleva puntos colineales (puntos en la misma línea) a puntos colineales se llama colineación del plano. El grupo de colineación completo es de orden 168 y es isomorfo al grupo PSL(2,7) ≈ PSL(3,2), que en este caso especial también es isomorfo al grupo lineal general GL(3,2) ≈ PGL( 3,2) .
Un plano finito de orden n es aquel en el que cada recta tiene n puntos (para un plano afín), o en el que cada recta tiene n + 1 puntos (para un plano proyectivo). Una pregunta abierta importante en geometría finita es:
Se conjetura que esto es cierto.
Los planos afines y proyectivos de orden n existen siempre que n es una potencia prima (un número primo elevado a un exponente entero positivo ), mediante el uso de planos afines y proyectivos sobre el campo finito con n = pk elementos . También existen planos que no se derivan de campos finitos (por ejemplo, para ), pero todos los ejemplos conocidos tienen orden de potencia prima. [1]
El mejor resultado general hasta la fecha es el teorema de Bruck-Ryser de 1949, que establece:
El entero más pequeño que no es una potencia prima y no está cubierto por el teorema de Bruck-Ryser es 10; 10 tiene la forma 4 k + 2 , pero es igual a la suma de los cuadrados 1 2 + 3 2 . La inexistencia de un plano finito de orden 10 se demostró en una prueba asistida por computadora que finalizó en 1989; ver (Lam 1991) para más detalles.
El siguiente número más pequeño a considerar es 12, para el cual no se ha demostrado ni resultado positivo ni negativo.
Se pueden encontrar ejemplos individuales en el trabajo de Thomas Penyngton Kirkman (1847) y el desarrollo sistemático de la geometría proyectiva finita propuesto por von Staudt (1856).
El primer tratamiento axiomático de la geometría proyectiva finita fue desarrollado por el matemático italiano Gino Fano . En su trabajo [2] sobre la demostración de la independencia del conjunto de axiomas para el espacio n proyectivo que desarrolló, [3] consideró un espacio tridimensional finito con 15 puntos, 35 líneas y 15 planos (ver diagrama), en el que cada línea tenía sólo tres puntos. [4]
En 1906 Oswald Veblen y WH Bussey describieron la geometría proyectiva utilizando coordenadas homogéneas con entradas del campo de Galois GF( q ). Cuando se utilizan n + 1 coordenadas, la geometría finita de n dimensiones se denota PG( n, q ). [5] Surge en la geometría sintética y tiene un grupo de transformación asociado .
Para conocer algunas diferencias importantes entre la geometría del plano finito y la geometría de espacios finitos de dimensiones superiores, consulte espacio proyectivo axiomático . Para una discusión sobre espacios finitos de dimensiones superiores en general, véanse, por ejemplo, los trabajos de JWP Hirschfeld . El estudio de estos espacios de dimensiones superiores ( n ≥ 3 ) tiene muchas aplicaciones importantes en teorías matemáticas avanzadas.
Un espacio proyectivo S puede definirse axiomáticamente como un conjunto P (el conjunto de puntos), junto con un conjunto L de subconjuntos de P (el conjunto de líneas), que satisfacen estos axiomas: [6]
El último axioma elimina los casos reducibles que pueden escribirse como una unión disjunta de espacios proyectivos junto con líneas de 2 puntos que unen dos puntos cualesquiera en espacios proyectivos distintos. De manera más abstracta, se puede definir como una estructura de incidencia ( P , L , I ) que consta de un conjunto P de puntos, un conjunto L de líneas y una relación de incidencia I que indica qué puntos se encuentran en qué líneas.
Obtener un espacio proyectivo finito requiere un axioma más:
En cualquier espacio proyectivo finito, cada línea contiene el mismo número de puntos y el orden del espacio se define como uno menos que este número común.
Un subespacio del espacio proyectivo es un subconjunto X , de modo que cualquier línea que contenga dos puntos de X es un subconjunto de X (es decir, completamente contenida en X ). El espacio lleno y el espacio vacío son siempre subespacios.
La dimensión geométrica del espacio se dice que es n si ese es el número mayor para el cual existe una cadena estrictamente ascendente de subespacios de esta forma:
Una construcción algebraica estándar de sistemas satisface estos axiomas. Para un anillo de división D , construya un espacio vectorial ( n + 1) dimensional sobre D (la dimensión del espacio vectorial es el número de elementos en una base). Sean P los subespacios unidimensionales (generador único) y L los subespacios bidimensionales (dos generadores independientes) (cerrados bajo suma vectorial) de este espacio vectorial. La incidencia es la contención. Si D es finito entonces debe ser un campo finito GF( q ), ya que según el pequeño teorema de Wedderburn todos los anillos de división finitos son campos. En este caso, esta construcción produce un espacio proyectivo finito. Además, si la dimensión geométrica de un espacio proyectivo es al menos tres, entonces existe un anillo divisorio a partir del cual se puede construir el espacio de esta manera. En consecuencia, todos los espacios proyectivos finitos de dimensión geométrica al menos tres están definidos sobre campos finitos. Un espacio proyectivo finito definido sobre dicho campo finito tiene q + 1 puntos en una recta, por lo que los dos conceptos de orden coinciden. Dicho espacio proyectivo finito se denota por PG( n , q ) , donde PG representa geometría proyectiva, n es la dimensión geométrica de la geometría y q es el tamaño (orden) del campo finito utilizado para construir la geometría.
En general, el número de subespacios k -dimensionales de PG( n , q ) viene dado por el producto: [8]
que es un coeficiente binomial gaussiano , un q análogo de un coeficiente binomial .
El espacio proyectivo tridimensional más pequeño está sobre el campo GF(2) y se denota por PG(3,2) . Tiene 15 puntos, 35 líneas y 15 planos. Cada plano contiene 7 puntos y 7 líneas. Cada línea contiene 3 puntos. Como geometrías, estos planos son isomorfos al plano de Fano .
Cada punto está contenido en 7 líneas. Cada par de puntos distintos están contenidos exactamente en una línea y cada par de planos distintos se cruzan exactamente en una línea.
En 1892, Gino Fano fue el primero en considerar una geometría tan finita.
PG(3,2) surge como base para una solución del problema de las colegialas de Kirkman , que establece: "Quince colegialas caminan cada día en cinco grupos de tres. Organice el paseo de las niñas durante una semana de manera que en ese tiempo, cada par de "Las chicas caminan juntas en grupo sólo una vez". Hay 35 combinaciones diferentes para que las niñas caminen juntas. También hay 7 días de la semana y 3 niñas en cada grupo. Dos de las siete soluciones no isomorfas a este problema se pueden expresar en términos de estructuras en el espacio 3 de Fano, PG(3,2), conocidas como empaquetamientos . Una extensión de un espacio proyectivo es una partición de sus puntos en líneas disjuntas, y un empaquetamiento es una partición de las líneas en líneas disjuntas. En PG(3,2), una extensión sería una partición de los 15 puntos en 5 líneas disjuntas (con 3 puntos en cada línea), correspondiente a la disposición de las colegialas en un día particular. Un paquete de PG(3,2) consta de siete extensiones disjuntas y, por lo tanto, corresponde a una semana completa de arreglos.
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