Filtro que preserva la simetría

En matemáticas , los observadores que preservan la simetría , ^{[1] [2]} también conocidos como filtros invariantes , son técnicas de estimación cuya estructura y diseño aprovechan las simetrías (o invarianzas) naturales del modelo no lineal considerado . Como tal, el principal beneficio es un dominio de convergencia esperado mucho mayor que los métodos de filtrado estándar, por ejemplo, el filtro Kalman extendido (EKF) o el filtro Kalman sin aroma (UKF).

Motivación

La mayoría de los sistemas físicos poseen simetrías naturales (o invariancia), es decir, existen transformaciones (por ejemplo, rotaciones, traslaciones, escalamientos) que dejan el sistema sin cambios. Desde puntos de vista matemáticos y de ingeniería, tiene sentido que un filtro bien diseñado para el sistema que se está considerando conserve las mismas propiedades de invariancia.

Definición

Considere un grupo de Lie y grupos de transformación (locales) , donde . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi _{g},\psi _{g},\rho _{g}}$ ${\displaystyle g\in G}$

El sistema no lineal

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,u)\\y&=h(x,u)\end{aligned}}}$

se dice que es invariante si no se modifica por la acción de , es decir ${\displaystyle \varphi _{g},\psi _{g},\rho _{g}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {X}}&=f(X,U)\\Y&=h(X,U),\end{aligned}}}$

dónde . ${\displaystyle (X,U,Y)=(\varphi _{g}(x),\psi _{g}(u),\rho _{g}(y))}$

El sistema es entonces un filtro invariante si ${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=F({\hat {x}},u,y)}$

• ${\displaystyle F(x,u,h(x,u))=f(x,u)}$, es decir, que puede ser escrito , donde el término de corrección es igual a cuando ${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=f({\hat {x}},u)+C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\hat {y}}=y}$
• ${\displaystyle {\dot {\hat {X}}}=F({\hat {X}},U,Y)}$, es decir, el grupo de transformación lo deja sin cambios .

Ecuación general y resultado principal.

Se ha demostrado ^[1] que todo observador invariante lee

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=f({\hat {x}},u)+W({\hat {x}})L{\Bigl (}I({\hat {x}},u),E({\hat {x}},u,y){\Bigr )}E({\hat {x}},u,y),}$

dónde

• ${\displaystyle E({\hat {x}},u,y)}$es un error de salida invariante, que es diferente del error de salida habitual ${\displaystyle {\hat {y}}-y}$
• ${\displaystyle W({\hat {x}})={\bigl (}w_{1}({\hat {x}}),..,w_{n}({\hat {x}}){\bigr )}}$es un marco invariante
• ${\displaystyle I({\hat {x}},u)}$es un vector invariante
• ${\displaystyle L(I,E)}$es una matriz de ganancia elegida libremente.

Dado el sistema y el grupo de transformación asociado que se considera, existe un método constructivo para determinarlo , basado en el método del marco móvil. ${\displaystyle E({\hat {x}},u,y),W({\hat {x}}),I({\hat {x}},u)}$

Para analizar la convergencia del error se define un error de estado invariante, el cual es diferente del error estándar de salida , ya que el error estándar de salida generalmente no preserva las simetrías del sistema. Uno de los principales beneficios de los filtros que preservan la simetría es que el sistema de error es " autónomo ", excepto para el vector invariante conocido libre , es decir . Esta importante propiedad permite que el estimador tenga un dominio de convergencia muy grande y sea fácil de ajustar. ^{[3] [4]} ${\displaystyle \eta ({\hat {x}},x)}$ ${\displaystyle {\hat {x}}-x}$ ${\displaystyle I({\hat {x}},u)}$ ${\displaystyle {\dot {\eta }}=\Upsilon {\bigl (}\eta ,I({\hat {x}},u){\bigr )}}$

Para elegir la matriz de ganancia , existen dos posibilidades: ${\displaystyle L(I,E)}$

• un enfoque determinista , que conduce a la construcción de filtros que preservan la simetría verdaderamente no lineales (similares a los observadores tipo Luenberger)
• un enfoque estocástico , que conduce a filtros de Kalman extendidos invariantes (similares a los observadores tipo Kalman).

Aplicaciones

Ha habido numerosas aplicaciones que utilizan observadores invariantes para estimar el estado del sistema considerado. Las áreas de aplicación incluyen

• Sistemas de referencia de actitud y rumbo con ^[3] o sin ^[4] sensor de posición/velocidad (por ejemplo, GPS)
• sistemas de localización de vehículos terrestres
• reactores químicos ^[1]
• oceanografía

Referencias

1. S. Bonnabel, Ph. Martin y P. Rouchon, “Observadores que preservan la simetría”, IEEE Transactions on Automatic and Control , vol. 53, núm. 11, págs. 2514–2526, 2008.
2. S. Bonnabel, Ph. Martin y E. Salaün, "Filtro de Kalman extendido invariante: teoría y aplicación a un problema de estimación de actitud asistida por la velocidad", 48ª Conferencia IEEE sobre Decisión y Control, págs. 1297-1304, 2009.
3. Ph. Martin y E. Salaün, "Un observador invariante para sistemas de referencia de rumbo de actitud asistidos por la velocidad de la Tierra", 17º Congreso Mundial de la IFAC, págs. 9857-9864, 2008.
4. Ph. Martin y E. Salaün, "Diseño e implementación de un sistema de referencia de rumbo y actitud basado en observadores de bajo costo", Práctica de ingeniería de control , 2010.