Filtro que preserva la simetría

En matemáticas , los observadores que preservan la simetría , ^{[1] [2]} también conocidos como filtros invariantes , son técnicas de estimación cuya estructura y diseño aprovechan las simetrías naturales (o invariancias) del modelo no lineal considerado . Como tal, el principal beneficio es un dominio de convergencia esperado mucho más grande que los métodos de filtrado estándar, por ejemplo, el filtro de Kalman extendido (EKF) o el filtro de Kalman sin aroma (UKF).

Motivación

La mayoría de los sistemas físicos poseen simetrías naturales (o invariancia), es decir, existen transformaciones (por ejemplo, rotaciones, traslaciones, escalas) que dejan el sistema inalterado. Desde puntos de vista matemáticos y de ingeniería, tiene sentido que un filtro bien diseñado para el sistema en cuestión conserve las mismas propiedades de invariancia.

Definición

Consideremos un grupo de Lie y grupos de transformación (locales) , donde . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi _{g},\psi _{g},\rho _{g}}$ ${\displaystyle g\in G}$

El sistema no lineal

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,u)\\y&=h(x,u)\end{aligned}}}$

se dice que es invariante si no se modifica por la acción de , es decir ${\displaystyle \varphi _{g},\psi _{g},\rho _{g}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {X}}&=f(X,U)\\Y&=h(X,U),\end{aligned}}}$

dónde . ${\displaystyle (X,U,Y)=(\varphi _{g}(x),\psi _{g}(u),\rho _{g}(y))}$

El sistema es entonces un filtro invariante si ${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=F({\hat {x}},u,y)}$

• ${\displaystyle F(x,u,h(x,u))=f(x,u)}$, es decir, que se puede escribir , donde el término de corrección es igual a cuando ${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=f({\hat {x}},u)+C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\hat {y}}=y}$
• ${\displaystyle {\dot {\hat {X}}}=F({\hat {X}},U,Y)}$, es decir, no es modificado por el grupo de transformación .

Ecuación general y resultado principal

Se ha demostrado ^[1] que todo observador invariante lee

${\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=f({\hat {x}},u)+W({\hat {x}})L{\Bigl (}I({\hat {x}},u),E({\hat {x}},u,y){\Bigr )}E({\hat {x}},u,y),}$

dónde

• ${\displaystyle E({\hat {x}},u,y)}$es un error de salida invariante, que es diferente del error de salida habitual ${\displaystyle {\hat {y}}-y}$
• ${\displaystyle W({\hat {x}})={\bigl (}w_{1}({\hat {x}}),..,w_{n}({\hat {x}}){\bigr )}}$es un marco invariante
• ${\displaystyle I({\hat {x}},u)}$es un vector invariante
• ${\displaystyle L(I,E)}$es una matriz de ganancia elegida libremente.

Dado el sistema y el grupo de transformación asociado que se considera, existe un método constructivo para determinar , basado en el método del marco móvil. ${\displaystyle E({\hat {x}},u,y),W({\hat {x}}),I({\hat {x}},u)}$

Para analizar la convergencia del error, se define un error de estado invariante , que es diferente del error de salida estándar , ya que el error de salida estándar generalmente no preserva las simetrías del sistema. Uno de los principales beneficios de los filtros que preservan la simetría es que el sistema de error es " autónomo ", pero para el vector invariante libre conocido , es decir , . Esta importante propiedad permite que el estimador tenga un dominio de convergencia muy grande y sea fácil de ajustar. ^{[3] [4]} ${\displaystyle \eta ({\hat {x}},x)}$ ${\displaystyle {\hat {x}}-x}$ ${\displaystyle I({\hat {x}},u)}$ ${\displaystyle {\dot {\eta }}=\Upsilon {\bigl (}\eta ,I({\hat {x}},u){\bigr )}}$

Para elegir la matriz de ganancia , existen dos posibilidades: ${\displaystyle L(I,E)}$

• un enfoque determinista que conduce a la construcción de filtros que preservan la simetría verdaderamente no lineales (similares a los observadores de tipo Luenberger)
• un enfoque estocástico , que conduce a filtros de Kalman extendidos invariantes (similares a los observadores de tipo Kalman).

Aplicaciones

Existen numerosas aplicaciones que utilizan estos observadores invariantes para estimar el estado del sistema en cuestión. Las áreas de aplicación incluyen:

• Sistemas de referencia de actitud y rumbo con ^[3] o sin ^[4] sensor de posición/velocidad (por ejemplo, GPS)
• sistemas de localización de vehículos terrestres
• reactores químicos ^[1]
• oceanografía

Referencias

1. S. Bonnabel, Ph. Martin y P. Rouchon, “Observadores que preservan la simetría”, IEEE Transactions on Automatic and Control , vol. 53, núm. 11, págs. 2514–2526, 2008.
2. S. Bonnabel, Ph. Martin y E. Salaün, "Filtro de Kalman extendido invariante: teoría y aplicación a un problema de estimación de actitud asistida por velocidad", 48.ª Conferencia IEEE sobre decisiones y control, págs. 1297-1304, 2009.
3. Ph. Martin y E. Salaün, "Un observador invariante para sistemas de referencia de actitud y rumbo asistidos por velocidad de la Tierra", 17º Congreso Mundial de la IFAC, págs. 9857-9864, 2008.
4. Ph. Martin y E. Salaün, "Diseño e implementación de un sistema de referencia de actitud y rumbo basado en observadores de bajo costo", Control Engineering Practice , 2010.