Filtro peine integrador en cascada

Convertidor de frecuencia de muestreo de señales digitales

En el procesamiento de señales digitales , un integrador-peine en cascada (CIC) es una clase computacionalmente eficiente de filtro de respuesta de impulso finito (FIR) de paso bajo que encadena N número de pares de filtros integradores y peine (donde N es el orden del filtro) para formar un decimador o interpolador . En un CIC decimador, la señal de entrada primero se alimenta a través de N etapas de integración, seguidas de un muestreador descendente y luego N etapas de peine. Un CIC interpolador (por ejemplo, la Figura 1) tiene el orden inverso de esta arquitectura, pero con el muestreador descendente reemplazado por un relleno de ceros (muestreador ascendente). ^{[1] [2]}

Operación

Figura 1: Interpolador CIC no segmentado de Hogenauer. En el medio, un muestreador ascendente con relleno de ceros convierte la frecuencia de muestreo baja de la utilizada por las etapas de peine (mitad izquierda) a la frecuencia de muestreo alta de la utilizada por las etapas de integración (mitad derecha). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\tfrac {f_{s}}{R}}}$ ${\displaystyle f_{s}}$

Los filtros CIC fueron inventados por Eugene B. Hogenauer en 1979 ^[3] (publicados en 1981), y son una clase de filtros FIR utilizados en el procesamiento de señales digitales de múltiples velocidades .

A diferencia de la mayoría de los filtros FIR, tiene un muestreador ascendente o descendente en el medio de la estructura, que convierte entre la alta frecuencia de muestreo utilizada por las etapas del integrador y la baja frecuencia de muestreo utilizada por las etapas del peine. ^[1] ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle {\tfrac {f_{s}}{R}}}$

Función de transferencia

A la alta frecuencia de muestreo de , la función de transferencia de un CIC en el dominio z es: ${\displaystyle f_{s}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H(z)&=\left[\sum _{k=0}^{RM-1}z^{-k}\right]^{N}\\&=\left({\frac {1-z^{-RM}}{1-z^{-1}}}\right)^{N}\end{aligned}}}$

dónde:

${\displaystyle R}$es la relación de diezmado o interpolación,

${\displaystyle M}$es el número de muestras por etapa (normalmente 1, pero a veces 2), y

${\displaystyle N}$es el orden: el número de pares peine-integrador.

• El numerador proviene de la multiplicación de las etapas de peine de avance negativo (cada una es simplemente una multiplicación por en el dominio z). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 1-z^{-RM}}$
• El denominador proviene de la multiplicación de las etapas del integrador (cada una es simplemente una multiplicación por en el dominio z). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{1-z^{\text{-1}}}}}$

El peine integrador es una media móvil simple

Un filtro peine integrador es una implementación eficiente de un filtro FIR de promedio móvil de ^primer orden simple , en el que se omite la división por. ^{[nota 1]} Para ver esto, considere cómo se puede implementar un filtro de promedio móvil simple de manera recursiva agregando la muestra más nueva al resultado anterior y restando la muestra más antigua : ${\displaystyle RM}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle y[n-1]}$ ${\displaystyle x[n-RM]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=\sum _{k=0}^{RM-1}x[n-k]\\y[n]&=y[n-1]+\underbrace {x[n]-x[n-RM]} _{{\text{comb filter }}c[n]}.\end{aligned}}}$

La segunda igualdad corresponde a un filtro peine ( ) ${\displaystyle c[n]=x[n]-x[n-RM]}$ que se integra ( ). ${\displaystyle y[n]=y[n-1]+c[n]}$

El integrador-peine en cascada produce un promedio móvil de orden superior

Las estructuras CIC de orden superior se obtienen mediante la conexión en cascada de filtros de promedio móvil simples idénticos y luego reorganizando las secciones para colocar primero todos los integradores (decimadores) o los peines (interpoladores). Tal reorganización es posible porque tanto los peines como los integradores y toda la estructura son sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) . ${\displaystyle N}$

En el CIC interpolador, su muestreador ascendente (que normalmente precede a un filtro de interpolación) pasa a través de las secciones de peine utilizando una identidad Noble, lo que reduce la cantidad de elementos de retardo necesarios en un factor de . De manera similar, en el CIC decimador, su muestreador descendente (que normalmente sigue a un filtro decimador) se mueve antes de las secciones de peine. ${\displaystyle R}$

Características

Mapa de polos y ceros ^de primer orden (RM=8)

Los filtros CIC tienen algunas características atractivas:

• Respuesta de fase lineal (es decir, retardo de grupo constante ).
• Utilice únicamente retraso, suma y resta.
  • Sin multiplicaciones costosas.
• Crecimiento de bits de , debido a la equivalencia con el promedio móvil. ^[4] ${\displaystyle N\log _{2}(RM)}$
• La forma del lóbulo principal del filtro cambia muy poco cuando se modifica la relación de diezmado. ^[5]

Respuesta de frecuencia

Respuesta de frecuencia normalizada de filtros CIC de 1.º, 2.º y 3.º orden (RM=8). Gráfico superior en ganancia lineal, gráfico inferior en dB .

En el dominio z, cada integrador aporta un polo en DC ( ) y un cero en el origen ( ). Cada peine aporta polos en el origen y ceros que están espaciados de manera uniforme alrededor del círculo unitario del dominio z , pero su primer cero en DC se cancela con el polo de cada integrador. Los filtros CIC de orden N ^tienen N veces más polos y ceros en las mismas ubicaciones que los de primer ^orden . ${\displaystyle z{=}1}$ ${\displaystyle z{=}0}$ ${\displaystyle RM}$ ${\displaystyle RM}$

Por lo tanto, la respuesta de frecuencia del CIC de primer orden es un filtro paso bajo rudimentario ^. Normalmente, la ganancia se normaliza dividiendo por de modo que DC tenga el pico de ganancia unitaria. Los lóbulos principales caen a medida que alcanza el siguiente cero, y son seguidos por una serie de lóbulos sucesivos que tienen picos cada vez más pequeños, separados por los ceros posteriores. Esto se aproxima en gran medida a una sinc-in-frequency . ${\displaystyle (RM)^{N}}$ ${\displaystyle R}$

La forma de un CIC de orden N corresponde a multiplicar esa forma sinc sobre sí misma N veces, lo que da como resultado una atenuación sucesivamente mayor. Por lo tanto, los filtros CIC de orden N ^{se denominan} filtros sinc ^N. El primer lóbulo lateral se atenúa ~13N dB.

El rango posible de respuestas del filtro CIC está limitado por esta forma. Se pueden lograr mayores cantidades de rechazo de banda de rechazo aumentando el orden, pero eso aumenta la atenuación en la banda de paso y requiere un mayor ancho de bits para las secciones de integrador y peine. Por este motivo, muchos requisitos de filtrado del mundo real no se pueden satisfacer con un filtro CIC solo.

Compensación de forma

Un filtro FIR de longitud corta a moderada o un filtro de respuesta de impulso infinito (IIR) pueden compensar la pendiente descendente de la forma de un filtro CIC. ^[5] Múltiples tasas de interpolación y decimación pueden reutilizar el mismo conjunto de coeficientes FIR de compensación, ya que la forma del lóbulo principal del CIC cambia muy poco cuando se modifica la tasa de decimación. ^{[5] Figura 11(b)}

Comparación con otros filtros FIR

• Los filtros CIC se utilizan principalmente en el procesamiento multifrecuencia. Por su parte, los filtros FIR se utilizan en general en una amplia gama de aplicaciones y se pueden utilizar en el procesamiento multifrecuencia junto con un interpolador o un decimador.
• Los filtros CIC tienen características de frecuencia de paso bajo, ^[1] mientras que los filtros FIR pueden tener características de frecuencia de paso bajo , paso alto o paso de banda .
• Los filtros CIC utilizan únicamente suma y resta. ^[1] Los filtros FIR utilizan suma y resta, pero la mayoría de los filtros FIR también requieren multiplicación.
• Los filtros CIC tienen una caída de frecuencia específica , ^[1] mientras que los filtros FIR de paso bajo pueden tener una caída de frecuencia arbitrariamente aguda.
• Los filtros CIC son en general mucho más económicos que los filtros FIR generales, ^[1] pero implican ciertas desventajas.
  • En los casos en los que solo se necesita una pequeña cantidad de interpolación o diezmado, los filtros FIR suelen tener la ventaja. Sin embargo, cuando las tasas cambian en un factor de 10 o más, lograr una banda de supresión de antialiasing del filtro FIR útil requiere muchas derivaciones FIR.
  • Para grandes cambios de velocidad, un CIC tiene una ventaja significativa sobre un filtro FIR con respecto a la eficiencia arquitectónica y computacional . ^[1]
  • Además, los filtros CIC generalmente se pueden reconfigurar para diferentes velocidades cambiando únicamente la sección de diezmado/interpolación, asumiendo que el ancho de bits de los integradores y las secciones de peine cumplen con ciertos criterios matemáticos basados ​​en el cambio de velocidad máximo posible.
• El filtro CIC utiliza únicamente matemáticas de punto fijo, mientras que los filtros FIR pueden utilizar matemáticas de punto fijo o flotante . ^[1]
  • Esto es necesario porque, como filtro FIR implementado de forma recursiva, un filtro CIC se basa en la cancelación exacta de polos de las secciones de integración mediante ceros de las secciones de peine. Si bien las razones son poco intuitivas, una característica inherente de la arquitectura CIC es que si se producen desbordamientos de longitud de bits fijos en los integradores, se corrigen en las secciones de peine. ^[1]

Notas

1. Se puede agregar una división por la constante antes o después del filtro para convertirla en un promedio. Si es una potencia de dos, esa división se puede implementar fácilmente con un desplazamiento binario a la derecha económico o simplemente tratando los números de entrada o salida como binarios de punto fijo . ${\displaystyle RM}$ ${\displaystyle RM}$

Referencias

1. Hogenauer, Eugene B. (abril de 1981). "Una clase económica de filtros digitales para diezmado e interpolación". IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 29 (2): 155–162. doi :10.1109/TASSP.1981.1163535.
2. Donadio, Matthew (2000) Introducción al filtro CIC "Hogenauer introdujo una clase importante de filtros digitales llamados 'Peine integrador en cascada', o 'CIC' para abreviar (también llamados a veces 'filtros Hogenauer').
3. Lyons, Richard G. (20 de febrero de 2012). "La historia de los filtros CIC: la historia no contada". DSPRelated.com . Archivado desde el original el 29 de marzo de 2023. Consultado el 24 de agosto de 2023 .
4. Hogenauer 1981, ecuación 11
5. Richard, Lyons (26 de marzo de 2020). "Guía para principiantes sobre filtros de peine integrador en cascada (CIC)". DSPRelated.com . Archivado desde el original el 28 de junio de 2023. Consultado el 25 de agosto de 2023 .

Véase también

• Ejecución
• Modulación delta-sigma : técnica ADC que puede utilizar CIC para diezmar

Enlaces externos

• Introducción al filtro CIC
• Comprensión de los filtros peine integradores en cascada
• Una mirada intuitiva a los filtros de promedio móvil y CIC
• Filtros de peine integrador en cascada (CIC): una escalera de procesamiento digital de señal (DSP)