Filtro de Wiener generalizado

El filtro de Wiener, tal como lo propuso originalmente Norbert Wiener , es un filtro de procesamiento de señales que utiliza el conocimiento de las propiedades estadísticas tanto de la señal como del ruido para reconstruir una estimación óptima de la señal a partir de un flujo de datos unidimensionales ruidosos y ordenados en el tiempo. El filtro de Wiener generalizado generaliza la misma idea más allá del dominio del procesamiento de señales unidimensionales y ordenadas en el tiempo, siendo el procesamiento de imágenes bidimensionales la aplicación más común. ^[1]

Descripción

Considere un vector de datos que es la suma de vectores de señal y ruido independientes con media cero y covarianzas y . El filtro de Wiener generalizado es el operador lineal que minimiza el residuo esperado entre la señal estimada y la señal verdadera, . El que minimiza esto es , lo que da como resultado el estimador de Wiener . En el caso de señal y ruido distribuidos en Gauss , este estimador también es el estimador máximo a posteriori . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=s+n}$ ${\displaystyle \langle ss^{T}\rangle =S}$ ${\displaystyle \langle nn^{T}\rangle =N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e=\langle (Gd-s)^{T}(Gd-s)\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=S(S+N)^{-1}}$ ${\displaystyle {\hat {s}}=S(S+N)^{-1}d}$

El filtro de Wiener generalizado se acerca a 1 para las partes de los datos dominadas por la señal y a 1 para las partes dominadas por el ruido.

Una variante que se utiliza con frecuencia expresa el filtro en términos de covarianzas inversas. Esto es matemáticamente equivalente, pero evita la pérdida excesiva de precisión numérica en presencia de modos de alta varianza. En esta formulación, el filtro de Wiener generalizado se convierte en utilizando la identidad . ${\displaystyle G=(S^{-1}+N^{-1})^{-1}N^{-1}}$ ${\displaystyle A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1}}$

Un ejemplo

El fondo cósmico de microondas (CMB) es un campo aleatorio homogéneo e isótropo y, por lo tanto, su covarianza es diagonal en una base de armónicos esféricos . Cualquier observación dada del CMB será ruidosa, y el ruido normalmente tendrá propiedades estadísticas diferentes a las del CMB. Por ejemplo, podría no estar correlacionado en el espacio de píxeles. El filtro de Wiener generalizado explota esta diferencia de comportamiento para aislar la mayor parte posible de la señal del ruido.

Resultado de aplicar un filtro de Wiener generalizado a una observación ruidosa del fondo cósmico de microondas. El filtro genera una imagen dominada por la señal en todas las escalas, a costa de introducir un sesgo (que en este ejemplo se ve como desenfoque).

La estimación de la señal filtrada por Wiener (el CMB en este caso) requiere la inversión de la matriz, que suele ser enorme . Si S y N fueran diagonales en la misma base, esto sería trivial, pero a menudo, como en este caso, no es así. La solución debe encontrarse en estos casos resolviendo la ecuación equivalente , por ejemplo mediante la iteración de gradientes conjugados . En este caso, todas las multiplicaciones se pueden realizar en la base adecuada para cada matriz, evitando la necesidad de almacenar o invertir más que su diagonal. El resultado se puede ver en la figura. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle {\hat {s}}=S(S+N)^{-1}d}$ ${\displaystyle S+N}$ ${\displaystyle (S+N)S^{-1}{\hat {s}}=d}$

Véase también

• Filtro de Viena
• Norbert Wiener
• Desconvolución de Wiener
• Estimación máxima a posteriori

Referencias

1. Pratt, William K. (julio de 1972). "Generalized Wiener Filtering Computation Techniques" (PDF) . IEEE Transactions on Computers . c-21 (7). doi :10.1109/tc.1972.223567 . Consultado el 4 de octubre de 2014 .