En teoría de categorías , las categorías filtradas generalizan la noción de conjunto dirigido entendido como categoría (de ahí que se llame categoría dirigida; mientras que algunos utilizan categoría dirigida como sinónimo de categoría filtrada). Existe una noción dual de categoría cofiltrada , que recordaremos más adelante.
Categorías filtradas
Una categoría se filtra cuando
- no está vacío,
- por cada dos objetos y en existe un objeto y dos flechas y en ,
- por cada dos flechas paralelas en , existe un objeto y una flecha tal que .
Un colimit filtrado es un colimit de un functor donde hay una categoría filtrada.
Categorías cofiltradas
Una categoría se cofiltra si se filtra la categoría opuesta . En detalle, una categoría se cofiltra cuando
- no está vacío,
- por cada dos objetos y en existe un objeto y dos flechas y en ,
- por cada dos flechas paralelas en , existe un objeto y una flecha tal que .
Un límite cofiltrado es un límite de un functor donde hay una categoría cofiltrada.
Objetos ind y proobjetos
Dada una categoría pequeña , un conjunto previo de conjuntos que es un pequeño colimit filtrado de conjuntos previos representables se denomina objeto ind de la categoría . Los objetos Ind de una categoría forman una subcategoría completa en la categoría de functores (presheaves) . La categoría de proobjetos en es lo opuesto a la categoría de objetos ind en la categoría opuesta .
categorías filtradas κ
Existe una variante de "categoría filtrada" conocida como "categoría filtrada κ", definida de la siguiente manera. Esto comienza con la siguiente observación: las tres condiciones en la definición de categoría filtrada anterior dicen respectivamente que existe un cocono sobre cualquier diagrama de la forma , o . La existencia de coconos para estas tres formas de diagramas resulta implicar que existen coconos para cualquier diagrama finito; en otras palabras, una categoría se filtra (según la definición anterior) si y sólo si hay un cocono sobre cualquier diagrama finito .
Ampliando esto, dado un cardinal regular κ, se define una categoría para ser filtrada con κ si hay un cocono sobre cada diagrama de cardinalidad menor que κ. (Un diagrama pequeño es de cardinalidad κ si el conjunto de morfismos de su dominio es de cardinalidad κ.)
Un colimit filtrado por κ es un colimit de un functor donde hay una categoría filtrada por κ.
Referencias
- Artin, M. , Grothendieck, A. y Verdier, J.-L. Séminario de Geometría Algébrique du Bois Marie ( SGA 4 ). Apuntes de conferencias de matemáticas 269, Springer Verlag, 1972. Exposé I, 2.7.
- Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático trabajador (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98403-2, apartado IX.1.