Fibra (matemáticas)

Conjunto de todos los puntos en el dominio de una función que se asignan a un único punto dado

En matemáticas , la fibra ( inglés estadounidense ) o fibra ( inglés británico ) de un elemento bajo una función es la preimagen del conjunto singleton , ^{[1] : p.69} es decir ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{y\}}$

${\displaystyle f^{-1}(\{y\})=\{x\mathrel {:} f(x)=y\}}$

Como ejemplo de abuso de notación , este conjunto a menudo se denota como , lo cual es técnicamente incorrecto ya que la relación inversa de no es necesariamente una función. ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

Propiedades y aplicaciones

En la teoría de conjuntos ingenua

Si y son el dominio y la imagen de , respectivamente, entonces las fibras de son los conjuntos en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left\{f^{-1}(y)\mathrel {:} y\in Y\right\}\quad =\quad \left\{\left\{x\in X\mathrel {:} f(x)=y\right\}\mathrel {:} y\in Y\right\}}$

que es una partición del conjunto de dominios . Nótese que debe restringirse al conjunto de imágenes de , ya que de lo contrario sería el conjunto vacío que no está permitido en una partición. La fibra que contiene un elemento es el conjunto ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(x)).}$

Por ejemplo, sea la función de a que envía el punto a . Las fibras de 5 bajo son todos los puntos de la recta con ecuación . Las fibras de son esa recta y todas las rectas paralelas a ella, que forman una partición del plano . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a+b=5}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

De manera más general, si es una función lineal de un espacio vectorial lineal a otro espacio lineal , las fibras de son subespacios afines de , que son todas las copias traducidas del espacio nulo de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Si es una función de valor real de varias variables reales , las fibras de la función son los conjuntos de nivel de . Si también es una función continua y está en la imagen del conjunto de nivel será típicamente una curva en 2D , una superficie en 3D y, más generalmente, una hipersuperficie en el dominio de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle f.}$

Las fibras de son las clases de equivalencia de la relación de equivalencia definida en el dominio tal que si y sólo si . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \equiv _{f}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x'\equiv _{f}x''}$ ${\displaystyle f(x')=f(x'')}$

En topología

En la topología de conjuntos de puntos , generalmente se consideran funciones de espacios topológicos a espacios topológicos.

Si es una función continua y si (o más generalmente, el conjunto de imágenes ) es un espacio T 1 , entonces cada fibra es un subconjunto cerrado de En particular, si es un homeomorfismo local de a , cada fibra de es un subespacio discreto de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Una función entre espacios topológicos se llamamonótona si cada fibra es unsubespacioconexo de su dominio. Una funciónnoesnidecreciente, que es el significado habitual de "función monótona" enel análisis real. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Una función entre espacios topológicos se denomina (a veces) función propia si cada fibra es un subespacio compacto de su dominio. Sin embargo, muchos autores utilizan otras definiciones no equivalentes de "función propia", por lo que es recomendable comprobar siempre cómo define este término un autor en particular. Una función sobreyectiva cerrada continua cuyas fibras son todas compactas se denomina función perfecta .

Un haz de fibras es una función entre espacios topológicos y cuyas fibras tienen ciertas propiedades especiales relacionadas con la topología de esos espacios. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

En geometría algebraica

En geometría algebraica , si es un morfismo de esquemas , la fibra de un punto en es el producto de fibras de esquemas donde es el campo de residuos en ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle X\times _{Y}\operatorname {Spec} k(p)}$$ ${\displaystyle k(p)}$ ${\displaystyle p.}$

Véase también

• Fibración
• Haz de fibras
• Producto de fibra
• Teorema de preimagen
• Puesta a cero

Referencias

1. Lee, John M. (2011). Introducción a las variedades topológicas (2.ª ed.). Springer Verlag . ISBN 978-1-4419-7940-7.