En teoría de sistemas dinámicos y teoría de control , un espacio de fases o espacio de estados es un espacio en el que todos los "estados" posibles de un sistema dinámico o un sistema de control están representados, correspondiendo cada estado posible a un punto único en el espacio de fases. Para los sistemas mecánicos , el espacio de fase generalmente consta de todos los valores posibles de las variables de posición y momento . Es el producto directo del espacio directo y el espacio recíproco . [ se necesita aclaración ] El concepto de espacio de fases fue desarrollado a finales del siglo XIX por Ludwig Boltzmann , Henri Poincaré y Josiah Willard Gibbs . [1]
En un espacio de fases, cada grado de libertad o parámetro del sistema se representa como un eje de un espacio multidimensional; un sistema unidimensional se llama línea de fase , mientras que un sistema bidimensional se llama plano de fase . Para cada estado posible del sistema o combinación permitida de valores de los parámetros del sistema, se incluye un punto en el espacio multidimensional. El estado de evolución del sistema a lo largo del tiempo traza un camino (una trayectoria de espacio de fase para el sistema) a través del espacio de alta dimensión. La trayectoria del espacio de fase representa el conjunto de estados compatibles con partir de una condición inicial particular , ubicada en el espacio de fase completo que representa el conjunto de estados compatibles con partir de cualquier condición inicial. En conjunto, el diagrama de fases representa todo lo que el sistema puede ser, y su forma puede dilucidar fácilmente cualidades del sistema que de otro modo no serían obvias. Un espacio de fase puede contener una gran cantidad de dimensiones. Por ejemplo, un gas que contiene muchas moléculas puede requerir una dimensión separada para las posiciones x , y y z de cada partícula (6 dimensiones para un gas monoatómico idealizado), y para sistemas moleculares más complejos se requieren dimensiones adicionales para describir los modos vibratorios del enlaces moleculares, así como girar alrededor de 3 ejes. Los espacios de fase son más fáciles de usar cuando se analiza el comportamiento de sistemas mecánicos restringidos al movimiento alrededor y a lo largo de varios ejes de rotación o traslación, por ejemplo, en robótica, como analizar el rango de movimiento de un brazo robótico o determinar la ruta óptima para alcanzar una posición particular. /resultado de impulso.
En mecánica clásica, cualquier elección de coordenadas generalizadas q i para la posición (es decir, coordenadas en el espacio de configuración ) define momentos generalizados conjugados pi , que juntos definen coordenadas en el espacio de fase. De manera más abstracta, en la mecánica clásica el espacio de fases es el paquete cotangente del espacio de configuración, y en esta interpretación el procedimiento anterior expresa que una elección de coordenadas locales en el espacio de configuración induce una elección de coordenadas locales naturales de Darboux para la estructura simpléctica estándar en un espacio cotangente. .
El movimiento de un conjunto de sistemas en este espacio se estudia mediante la mecánica estadística clásica . La densidad local de puntos en tales sistemas obedece al teorema de Liouville y, por tanto, puede considerarse constante. Dentro del contexto de un sistema modelo en mecánica clásica, las coordenadas del espacio de fases del sistema en un momento dado están compuestas por todas las variables dinámicas del sistema. Debido a esto, es posible calcular el estado del sistema en cualquier momento dado en el futuro o en el pasado, mediante la integración de las ecuaciones de movimiento de Hamilton o Lagrange.
Para sistemas simples, puede haber tan solo uno o dos grados de libertad. Un grado de libertad ocurre cuando uno tiene una ecuación diferencial ordinaria autónoma en una sola variable, con el sistema unidimensional resultante llamado línea de fase , y el comportamiento cualitativo del sistema es inmediatamente visible desde la línea de fase. Los ejemplos no triviales más simples son el modelo de crecimiento exponencial /decaimiento (un equilibrio inestable/estable) y el modelo de crecimiento logístico (dos equilibrios, uno estable, otro inestable).
El espacio de fases de un sistema bidimensional se llama plano de fases , lo que ocurre en la mecánica clásica para una sola partícula que se mueve en una dimensión, y donde las dos variables son la posición y la velocidad. En este caso, un boceto del retrato de fase puede proporcionar información cualitativa sobre la dinámica del sistema, como el ciclo límite del oscilador de Van der Pol que se muestra en el diagrama.
Aquí el eje horizontal da la posición y el eje vertical la velocidad. A medida que el sistema evoluciona, su estado sigue una de las líneas (trayectorias) del diagrama de fases.
Un gráfico de variables de posición y momento en función del tiempo a veces se denomina gráfico de fase o diagrama de fase . Sin embargo, la última expresión, " diagrama de fases ", suele reservarse en las ciencias físicas para un diagrama que muestra las diversas regiones de estabilidad de las fases termodinámicas de un sistema químico, que consta de presión , temperatura y composición.
En matemáticas , un retrato de fase es una representación geométrica de las órbitas de un sistema dinámico en el plano de fase . Cada conjunto de condiciones iniciales está representado por un punto o curva diferente .
Los retratos de fase son una herramienta invaluable en el estudio de sistemas dinámicos. Consisten en un gráfico de trayectorias típicas en el espacio de fases. Esto revela información como si hay un atractor , un repelente o un ciclo límite para el valor del parámetro elegido. El concepto de equivalencia topológica es importante para clasificar el comportamiento de sistemas al especificar cuándo dos retratos de fases diferentes representan el mismo comportamiento dinámico cualitativo. Un atractor es un punto estable que también se llama "sumidero". El repelente se considera un punto inestable, que también se conoce como "fuente".
Un gráfico de retrato de fase de un sistema dinámico representa las trayectorias del sistema (con flechas) y los estados estables estables (con puntos) y los estados estables inestables (con círculos) en un espacio de fase. Los ejes son de variables de estado .En la mecánica estadística clásica (energías continuas), el concepto de espacio de fase proporciona un análogo clásico de la función de partición (suma de estados) conocida como integral de fase. [2] En lugar de sumar el factor de Boltzmann sobre estados de energía discretamente espaciados (definidos por números cuánticos enteros apropiados para cada grado de libertad), se puede integrar sobre un espacio de fase continuo. Dicha integración consta esencialmente de dos partes: integración del componente de impulso de todos los grados de libertad (espacio de impulso) e integración del componente de posición de todos los grados de libertad (espacio de configuración). Una vez que se conoce la integral de fase, se puede relacionar con la función de partición clásica mediante la multiplicación de una constante de normalización que representa el número de estados de energía cuántica por unidad de espacio de fase. Esta constante de normalización es simplemente la inversa de la constante de Planck elevada a una potencia igual al número de grados de libertad del sistema. [3]
Ejemplos clásicos de diagramas de fases de la teoría del caos son:
En mecánica cuántica , las coordenadas p y q del espacio de fase normalmente se convierten en operadores hermitianos en un espacio de Hilbert .
Pero, alternativamente, pueden conservar su interpretación clásica, siempre que sus funciones se compongan de formas algebraicas novedosas (a través del producto estrella de Groenewold de 1946 ). Esto es consistente con el principio de incertidumbre de la mecánica cuántica. Cada observable de la mecánica cuántica corresponde a una función o distribución única en el espacio de fases y, a la inversa, como lo especifica Hermann Weyl (1927) y complementado por John von Neumann (1931); Eugenio Wigner (1932); y, en una gran síntesis, por H. J. Groenewold (1946). Con J. E. Moyal (1949), estos completaron los fundamentos de la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica , una reformulación completa y lógicamente autónoma de la mecánica cuántica. [4] (Sus abstracciones modernas incluyen la cuantificación de deformaciones y la cuantificación geométrica ).
Los valores esperados en la cuantificación del espacio de fase se obtienen isomórficamente para rastrear los observables del operador con la matriz de densidad en el espacio de Hilbert: se obtienen mediante integrales de observables en el espacio de fase, con la distribución de cuasi probabilidad de Wigner que sirve efectivamente como medida.
Así, al expresar la mecánica cuántica en el espacio de fases (el mismo ámbito que para la mecánica clásica), el mapa de Weyl facilita el reconocimiento de la mecánica cuántica como una deformación (generalización) de la mecánica clásica, con parámetro de deformación ħ / S , donde S es la acción de el proceso correspondiente. (Otras deformaciones familiares en física implican la deformación de la gravedad newtoniana en la mecánica relativista , con el parámetro de deformación v / c ; [ cita necesaria ] o la deformación de la gravedad newtoniana en la relatividad general , con el parámetro de deformación radio de Schwarzschild / dimensión característica ). ]
Las expresiones, observables y operaciones clásicas (como los corchetes de Poisson ) se modifican mediante correcciones cuánticas dependientes de ħ , ya que la multiplicación conmutativa convencional que se aplica en la mecánica clásica se generaliza a la multiplicación de estrellas no conmutativa que caracteriza a la mecánica cuántica y subyace a su principio de incertidumbre.
En contextos de termodinámica y mecánica estadística , el término "espacio de fases" tiene dos significados: por un lado, se usa en el mismo sentido que en la mecánica clásica. Si un sistema termodinámico consta de N partículas, entonces un punto en el espacio de fase de 6 N dimensiones describe el estado dinámico de cada partícula en ese sistema, ya que cada partícula está asociada con 3 variables de posición y 3 variables de momento. En este sentido, mientras las partículas sean distinguibles , se dice que un punto en el espacio de fases es un microestado del sistema. (Para partículas indistinguibles, un microestado consta de un conjunto de N ! puntos, correspondientes a todos los posibles intercambios de las N partículas). N suele ser del orden del número de Avogadro , por lo que describir el sistema a nivel microscópico suele ser poco práctico. Esto lleva al uso del espacio de fases en un sentido diferente.
El espacio de fase también puede referirse al espacio que está parametrizado por los estados macroscópicos del sistema, como presión, temperatura, etc. Por ejemplo, se puede ver el diagrama de presión-volumen o el diagrama de temperatura-entropía como una descripción de parte de esta fase. espacio. Un punto en este espacio de fases se denomina correspondientemente macroestado. Es fácil que haya más de un microestado con el mismo macroestado. Por ejemplo, para una temperatura fija, el sistema podría tener muchas configuraciones dinámicas a nivel microscópico. Cuando se usa en este sentido, una fase es una región del espacio de fases donde el sistema en cuestión se encuentra, por ejemplo, en fase líquida o fase sólida , etc.
Dado que hay muchos más microestados que macroestados, el espacio de fases en el primer sentido suele ser una variedad de dimensiones mucho mayores que en el segundo sentido. Claramente, se requieren muchos más parámetros para registrar cada detalle del sistema hasta la escala molecular o atómica que simplemente especificar, digamos, la temperatura o la presión del sistema.
El espacio de fase se utiliza ampliamente en la óptica sin imágenes , [5] la rama de la óptica dedicada a la iluminación. También es un concepto importante en la óptica hamiltoniana .
En medicina y bioingeniería , el método del espacio de fases se utiliza para visualizar respuestas fisiológicas multidimensionales . [6] [7]
