En matemáticas , un factorial alterno es el valor absoluto de la suma alternada de los primeros n factoriales de números enteros positivos .
Esto es lo mismo que su suma, con los factoriales de índice impar multiplicados por −1 si n es par , y los factoriales de índice par multiplicados por −1 si n es impar, lo que da como resultado una alternancia de signos de los sumandos (o una alternancia de operadores de suma y resta, si se prefiere). Para decirlo algebraicamente,
o con la relación de recurrencia
en el que af(1) = 1.
Los primeros factoriales alternos son
Por ejemplo, el tercer factorial alterno es 1! – 2! + 3!. El cuarto factorial alterno es −1! + 2! − 3! + 4! = 19. Independientemente de la paridad de n , al último ( n º) sumando, n !, se le da un signo positivo, al ( n – 1) º sumando se le da un signo negativo y los signos de los sumandos de índice inferior se alternan en consecuencia.
Este patrón de alternancia garantiza que las sumas resultantes sean todas números enteros positivos. Si se cambia la regla de modo que los sumandos con índices pares o impares tengan signos negativos (independientemente de la paridad de n ), se cambian los signos de las sumas resultantes, pero no sus valores absolutos.
Živković (1999) demostró que solo hay un número finito de factoriales alternados que también son números primos , ya que 3612703 divide a af(3612702) y, por lo tanto, divide a af( n ) para todo n ≥ 3612702. [1] Los primos son af( n ) para
con varios números primos probables más altos que no han sido demostrados como primos.
