Fórmulas de Newton-Cotes

Fórmulas para la integración numérica

Fórmula de Newton-Cotes para  ${\displaystyle n=2}$

En el análisis numérico , las fórmulas de Newton-Cotes , también llamadas reglas de cuadratura de Newton-Cotes o simplemente reglas de Newton-Cotes , son un grupo de fórmulas para la integración numérica (también llamada de cuadratura ) basadas en la evaluación del integrando en puntos igualmente espaciados. Reciben su nombre en honor a Isaac Newton y Roger Cotes .

Las fórmulas de Newton-Cotes pueden ser útiles si se proporciona el valor del integrando en puntos igualmente espaciados. Si es posible cambiar los puntos en los que se evalúa el integrando, entonces otros métodos como la cuadratura gaussiana y la cuadratura de Clenshaw-Curtis probablemente sean más adecuados.

Descripción

Se supone que el valor de una función f definida en se conoce en puntos igualmente espaciados: . Hay dos clases de cuadratura de Newton-Cotes: se denominan "cerradas" cuando y , es decir, utilizan los valores de la función en los puntos finales del intervalo, y "abiertas" cuando y , es decir, no utilizan los valores de la función en los puntos finales. Las fórmulas de Newton-Cotes que utilizan puntos se pueden definir (para ambas clases) como ^[1] donde ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle a\leq x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}\leq b}$ ${\displaystyle x_{0}=a}$ ${\displaystyle x_{n}=b}$ ${\displaystyle x_{0}>a}$ ${\displaystyle x_{n}<b}$ ${\displaystyle n+1}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i}),}$$

• para una fórmula cerrada, , con , ${\displaystyle x_{i}=a+ih}$ ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$
• para una fórmula abierta, , con . ${\displaystyle x_{i}=a+(i+1)h}$ ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n+2}}}$

El número h se denomina tamaño de paso y se denominan pesos . Los pesos se pueden calcular como la integral de los polinomios de base de Lagrange . Dependen solo de y no de la función f . Sea el polinomio de interpolación en la forma de Lagrange para los puntos de datos dados , entonces ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle L(x)}$ ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0})),(x_{1},f(x_{1})),\ldots ,(x_{n},f(x_{n}))}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}(x)\right)\,dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}.}$$

Inestabilidad de alto grado

Se puede construir una fórmula de Newton-Cotes de cualquier grado n . Sin embargo, para valores grandes de n, una regla de Newton-Cotes puede sufrir a veces el catastrófico fenómeno de Runge ^[2], en el que el error crece exponencialmente para valores grandes de n . Métodos como la cuadratura gaussiana y la cuadratura de Clenshaw-Curtis con puntos desigualmente espaciados (agrupados en los puntos finales del intervalo de integración) son estables y mucho más precisos, y normalmente se prefieren a la de Newton-Cotes. Si no se pueden utilizar estos métodos, porque el integrando solo se da en la cuadrícula equidistribuida fija, entonces se puede evitar el fenómeno de Runge utilizando una regla compuesta, como se explica a continuación.

Como alternativa, se pueden construir fórmulas estables de Newton-Cotes utilizando la aproximación de mínimos cuadrados en lugar de la interpolación. Esto permite construir fórmulas numéricamente estables incluso para grados altos. ^{[3] [4]}

Fórmulas de Newton-Cotes cerradas

En esta tabla se enumeran algunas de las fórmulas de Newton-Cotes del tipo cerrado. Para , sea donde , y . ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ${\displaystyle x_{i}=a+ih}$ ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$ ${\displaystyle f_{i}=f(x_{i})}$

La regla de Boole a veces se denomina erróneamente regla de Bode, como resultado de la propagación de un error tipográfico en Abramowitz y Stegun , un libro de referencia temprano. ^[5]

El exponente del tamaño del paso h en el término de error da la tasa a la que disminuye el error de aproximación. El orden de la derivada de f en el término de error da el grado más bajo de un polinomio que ya no se puede integrar exactamente (es decir, con un error igual a cero) con esta regla. El número debe tomarse del intervalo ( a , b ) , por lo tanto, el límite de error es igual al término de error cuando . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f(\xi )=\max(f(x)),a<x<b}$

Fórmulas abiertas de Newton-Cotes

En esta tabla se enumeran algunas de las fórmulas de Newton-Cotes de tipo abierto. Para , sea donde , y . ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ${\displaystyle x_{i}=a+(i+1)h}$ ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n+2}}}$ ${\displaystyle f_{i}=f(x_{i})}$

Reglas compuestas

Para que las reglas de Newton-Cotes sean precisas, el tamaño del paso h debe ser pequeño, lo que significa que el intervalo de integración debe ser pequeño, lo que no es cierto la mayoría de las veces. Por este motivo, normalmente se realiza la integración numérica dividiendo en subintervalos más pequeños, aplicando una regla de Newton-Cotes a cada subintervalo y sumando los resultados. Esto se denomina regla compuesta . Véase Integración numérica . ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Véase también

• Cuadratura (matemáticas)
• Interpolación
• Interpolación de splines

Referencias

1. Quarteroni, Alfio ; Sacco, Ricardo; Saleri, Fausto (2006). Matemáticas Numéricas (Segunda ed.). Saltador. págs. 386–387. ISBN 978-3-540-34658-6.
2. Quarteroni, Alfio ; Sacco, Ricardo; Saleri, Fausto (2006). Matemáticas Numéricas (Segunda ed.). Saltador. págs. 390–391. ISBN 978-3-540-34658-6.
3. Pavel Holoborodko (24 de marzo de 2011). «Fórmulas estables de Newton-Cotes» . Consultado el 17 de agosto de 2015 .
4. Pavel Holoborodko (20 de mayo de 2012). «Fórmulas estables de Newton-Cotes (tipo abierto)» . Consultado el 18 de agosto de 2015 .
5. Regla de Boole en Wolfram Mathworld, con error tipográfico en el año "1960" (en lugar de "1860")

• M. Abramowitz y IA Stegun, eds. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Nueva York: Dover, 1972. (Véase la sección 25.4.)
• George E. Forsythe, Michael A. Malcolm y Cleve B. Moler. Métodos informáticos para cálculos matemáticos . Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall, 1977. (Véase la sección 5.1.)
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 4.1. Fórmulas clásicas para abscisas igualmente espaciadas", Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Josef Stoer y Roland Bulirsch. Introducción al análisis numérico . Nueva York: Springer-Verlag, 1980. (Véase la sección 3.1.)

Enlaces externos

• "Fórmula de cuadratura de Newton-Cotes", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Fórmulas de Newton-Cotes en www.math-linux.com
• Weisstein, Eric W. "Fórmulas de Newton-Cotes". MathWorld .
• Integración de Newton-Cotes, numericalmathematics.com