Fórmula de Klein-Nishina

Distribución de Klein-Nishina de secciones transversales de ángulos de dispersión en un rango de energías comúnmente encontradas.

Sección transversal de dispersión de electrones y fotones.

En física de partículas , la fórmula de Klein-Nishina proporciona la sección transversal diferencial (es decir, la "probabilidad" y la distribución angular) de los fotones dispersados ​​por un único electrón libre , calculada en el orden más bajo de la electrodinámica cuántica . Fue derivada por primera vez en 1928 por Oskar Klein y Yoshio Nishina , constituyendo una de las primeras aplicaciones exitosas de la ecuación de Dirac . ^[1] La fórmula describe tanto la dispersión Thomson de fotones de baja energía (por ejemplo, luz visible ) como la dispersión Compton de fotones de alta energía (por ejemplo, rayos X y rayos gamma ), lo que muestra que la sección transversal total y el ángulo de deflexión esperado disminuyen con aumentando la energía de los fotones.

Fórmula

Para un fotón incidente de energía no polarizada , la sección transversal diferencial es: ^[2] ${\displaystyle E_{\gamma }}$

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {1}{2}}r_{e}^{2}\left({\frac {\lambda }{\lambda '}}\right)^{2}\left[{\frac {\lambda }{\lambda '}}+{\frac {\lambda '}{\lambda }}-\sin ^{2}(\theta )\right]}$

dónde

• ${\displaystyle r_{e}}$es el radio clásico del electrón (~2,82 fm , es aproximadamente 7,94 × 10 ⁻³⁰ m ² o 79,4 mb ) ${\displaystyle r_{e}^{2}}$
• ${\displaystyle \lambda /\lambda '}$es la relación entre las longitudes de onda de los fotones incidentes y dispersos
• ${\displaystyle \theta }$es el ángulo de dispersión (0 para un fotón no desviado).

La relación de longitud de onda (o energía o frecuencia) del fotón dependiente del ángulo es

${\displaystyle {\frac {\lambda }{\lambda '}}={\frac {E_{\gamma '}}{E_{\gamma }}}={\frac {\omega '}{\omega }}={\frac {1}{1+\epsilon (1-\cos \theta )}}}$

como lo exige la conservación de la energía y el impulso relativistas (ver dispersión de Compton ). La cantidad adimensional expresa la energía del fotón incidente en términos de la energía en reposo del electrón (~511 keV ), y también puede expresarse como , donde es la longitud de onda Compton del electrón (~2,42 pm). Observe que la relación de dispersión aumenta monótonamente con el ángulo de desviación, desde (dispersión directa, sin transferencia de energía) hasta (retrodispersión de 180 grados, máxima transferencia de energía). ${\displaystyle \epsilon =E_{\gamma }/m_{e}c^{2}}$ ${\displaystyle \epsilon =\lambda _{c}/\lambda }$ ${\displaystyle \lambda _{c}=h/m_{e}c}$ ${\displaystyle \lambda '/\lambda }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1+2\epsilon }$

En algunos casos es conveniente expresar el radio clásico del electrón en términos de la longitud de onda Compton: , donde es la constante de estructura fina (~1/137) y es la longitud de onda Compton reducida del electrón (~0,386 pm), de modo que el constante en la sección transversal se puede dar como: ${\displaystyle r_{e}=\alpha {\bar {\lambda }}_{c}=\alpha \lambda _{c}/2\pi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}_{c}=\hbar /m_{e}c}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}r_{e}^{2}={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}{\bar {\lambda }}_{c}^{2}={\frac {\alpha ^{2}\lambda _{c}^{2}}{8\pi ^{2}}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m_{e}^{2}c^{2}}}}$

Fotones polarizados

Si el fotón entrante está polarizado, el fotón disperso ya no es isotrópico con respecto al ángulo azimutal. Para un fotón polarizado linealmente disperso con un electrón libre en reposo, la sección transversal diferencial viene dada por:

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {1}{2}}r_{e}^{2}\left({\frac {\lambda }{\lambda '}}\right)^{2}\left[{\frac {\lambda }{\lambda '}}+{\frac {\lambda '}{\lambda }}-2\sin ^{2}(\theta )\cos ^{2}(\phi )\right]}$

¿Dónde está el ángulo de dispersión azimutal? Tenga en cuenta que la sección transversal diferencial no polarizada se puede obtener promediando . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \cos ^{2}(\phi )}$

Límites

Energía baja

Para fotones de baja energía, el cambio de longitud de onda se vuelve insignificante ( ) y la fórmula de Klein-Nishina se reduce a la expresión clásica de Thomson : ${\displaystyle \lambda /\lambda '\approx 1}$

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2}}r_{e}^{2}\left(1+\cos ^{2}(\theta )\right)\qquad (\epsilon \ll 1)}$

que es simétrico en el ángulo de dispersión, es decir, el fotón tiene la misma probabilidad de dispersarse hacia atrás que hacia adelante. Al aumentar la energía, esta simetría se rompe y es más probable que el fotón se disperse hacia adelante.

Energia alta

Para fotones de alta energía es útil distinguir entre dispersión de ángulo pequeño y grande. Para ángulos grandes, donde , la relación de dispersión es grande y ${\displaystyle \epsilon (1-\cos \theta )\gg 1}$ ${\displaystyle \lambda '/\lambda }$

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2}}r_{e}^{2}{\frac {\lambda }{\lambda '}}\approx {\frac {1}{2}}r_{e}^{2}{\frac {1}{1+\epsilon (1-\cos \theta )}}\qquad (\epsilon \gg 1,\theta \gg \epsilon ^{-1/2})}$

mostrando que la sección transversal diferencial (ángulo grande) es inversamente proporcional a la energía del fotón.

La sección transversal diferencial tiene un pico constante en la dirección de avance:

${\displaystyle \left({\frac {d\sigma }{d\Omega }}\right)_{\theta =0}=r_{e}^{2}}$

independiente de . Del análisis de ángulo grande se deduce que este pico sólo puede extenderse hasta aproximadamente . Por lo tanto, el pico delantero está confinado a un pequeño ángulo sólido de aproximadamente , y podemos concluir que la sección transversal total de ángulo pequeño disminuye con . ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \theta _{c}\approx \epsilon ^{-1/2}}$ ${\displaystyle \pi \theta _{c}^{2}}$ ${\displaystyle \epsilon ^{-1}}$

Sección transversal total

La sección transversal diferencial se puede integrar para encontrar la sección transversal total .

En el límite bajo de energía no hay dependencia energética y recuperamos la sección transversal de Thomson (~66,5 fm ² ):

${\displaystyle \sigma \approx {\frac {8}{3}}\pi r_{e}^{2}\qquad (E_{\gamma }\ll m_{e}c^{2})}$

Historia

La fórmula de Klein-Nishina fue derivada en 1928 por Oskar Klein y Yoshio Nishina , y fue uno de los primeros resultados obtenidos del estudio de la electrodinámica cuántica . La consideración de los efectos de la mecánica cuántica y relativista permitió desarrollar una ecuación precisa para la dispersión de la radiación de un electrón objetivo. Antes de esta derivación, la sección transversal del electrón había sido derivada clásicamente por el físico británico y descubridor del electrón , JJ Thomson . Sin embargo, los experimentos de dispersión mostraron desviaciones significativas de los resultados predichos por la sección transversal de Thomson. Otros experimentos de dispersión coincidieron perfectamente con las predicciones de la fórmula de Klein-Nishina. ^{[ cita necesaria ]}

Ver también

• Radiación sincrotrón
• Yoshio Nishina
• Oscar Klein

Referencias

1. Klein, O; Nishina, Y (1929). "Über die Streuung von Strahlung durch freie Elektronen nach der neuen relativistischen Quantendynamik von Dirac". Z. Física . 52 (11–12): 853 y 869. Bibcode : 1929ZPhy...52..853K. doi :10.1007/BF01366453. S2CID  123905506.
2. Weinberg, Steven (1995). La teoría cuántica de campos . vol. Yo págs. 362–9.

Otras lecturas

• Evans, RD (1955). El núcleo atómico . Nueva York: McGraw-Hill. págs. 674–676. OCLC  542611.
• Melissinos, AC (1966). Experimentos en Física Moderna . Nueva York: Academic Press. págs. 252–265. ISBN 0-12-489850-5.
• Klein, O.; Nishina, Y. (1994). "Sobre la dispersión de la radiación por electrones libres según la nueva dinámica cuántica relativista de Dirac". En Ekspong, Gösta (ed.). Las conferencias en memoria de Oskar Klein, vol. 2: Conferencias de Hans A. Bethe y Alan H. Guth con reimpresiones traducidas de Oskar Klein . Singapur: World Scientific. págs. 113-139. Código Bib : 1994okml.book.......E.