Fórmula integral de Cauchy

Proporciona fórmulas integrales para todas las derivadas de una función holomorfa.

En matemáticas, la fórmula integral de Cauchy , llamada así por Augustin-Louis Cauchy , es un enunciado central en el análisis complejo . Expresa el hecho de que una función holomorfa definida en un disco está completamente determinada por sus valores en el borde del disco, y proporciona fórmulas integrales para todas las derivadas de una función holomorfa. La fórmula de Cauchy muestra que, en el análisis complejo, "la diferenciación es equivalente a la integración": la diferenciación compleja, como la integración, se comporta bien bajo límites uniformes , un resultado que no se cumple en el análisis real .

Teorema

Sea U un subconjunto abierto del plano complejo C , y supongamos que el disco cerrado D definido como está completamente contenido en U . Sea f  : U → C una función holomorfa , y sea γ el círculo , orientado en sentido antihorario , que forma el límite de D . Entonces, para cada a en el interior de D , $${\displaystyle D={\bigl \{}z:|z-z_{0}|\leq r{\bigr \}}}$$ $${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz.\,}$$

La prueba de esta afirmación utiliza el teorema integral de Cauchy y, al igual que ese teorema, solo requiere que f sea complejamente diferenciable . Dado que se puede expandir como una serie de potencias en la variable, se deduce que las funciones holomorfas son analíticas , es decir, se pueden expandir como series de potencias convergentes. En particular, f es en realidad infinitamente diferenciable, con ${\displaystyle 1/(z-a)}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1+{\frac {a}{z}}+\left({\frac {a}{z}}\right)^{2}+\cdots }{z}}}$$ $${\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{\left(z-a\right)^{n+1}}}\,dz.}$$

Esta fórmula a veces se denomina fórmula de diferenciación de Cauchy .

El teorema enunciado anteriormente se puede generalizar. El círculo γ se puede reemplazar por cualquier curva rectificable cerrada en U que tenga el devanado número uno alrededor de a . Además, en cuanto al teorema integral de Cauchy, es suficiente exigir que f sea holomorfa en la región abierta encerrada por la trayectoria y continua en su cierre .

Tenga en cuenta que no todas las funciones continuas en el límite se pueden utilizar para producir una función dentro del límite que se ajuste a la función límite dada. Por ejemplo, si ponemos la función f ( z ) = ⁠1/el⁠ , definida para | z | = 1 , en la fórmula integral de Cauchy, obtenemos cero para todos los puntos dentro del círculo. De hecho, dar solo la parte real en el límite de una función holomorfa es suficiente para determinar la función hasta una constante imaginaria — solo hay una parte imaginaria en el límite que corresponde a la parte real dada, hasta la adición de una constante. Podemos usar una combinación de una transformación de Möbius y la fórmula de inversión de Stieltjes para construir la función holomorfa a partir de la parte real en el límite. Por ejemplo, la función f ( z ) = i − iz tiene parte real Re f ( z ) = Im z . En el círculo unitario esto se puede escribir ⁠⁠i/el⁠ − es/2⁠ . Utilizando la transformación de Möbius y la fórmula de Stieltjes construimos la función dentro del círculo.i/elEl término no aporta nada y encontramos la función − iz . Esta tiene la parte real correcta en el límite y también nos da la parte imaginaria correspondiente, pero con un desfase constante, es decir, i .

Boceto de prueba

Utilizando el teorema integral de Cauchy , se puede demostrar que la integral sobre C (o la curva rectificable cerrada) es igual a la misma integral tomada sobre un círculo arbitrariamente pequeño alrededor de a . Como f ( z ) es continua, podemos elegir un círculo lo suficientemente pequeño en el que f ( z ) esté arbitrariamente cerca de f ( a ) . Por otro lado, la integral sobre cualquier círculo C centrado en a . Esto se puede calcular directamente mediante una parametrización ( integración por sustitución ) z ( t ) = a + εe ^it donde 0 ≤ t ≤ 2π y ε es el radio del círculo. $${\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{z-a}}\,dz=2\pi i,}$$

Dejando ε → 0 se obtiene la estimación deseada $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz-f(a)\right|&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}\,dz\right|\\[1ex]&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {f{\bigl (}z(t){\bigr )}-f(a)}{\varepsilon e^{it}}}\cdot \varepsilon e^{it}i\right)\,dt\right|\\[1ex]&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|f{\bigl (}z(t){\bigr )}-f(a)\right|}{\varepsilon }}\,\varepsilon \,dt\\[1ex]&\leq \max _{|z-a|=\varepsilon }\left|f(z)-f(a)\right|~~{\xrightarrow[{\varepsilon \to 0}]{}}~~0.\end{aligned}}}$$

Ejemplo

Superficie de la parte real de la función g ( z ) = ⁠el ²/z2 ⁺ 2z + 2⁠ y sus singularidades, con los contornos descritos en el texto.

Sea y C el contorno descrito por | z | = 2 (el círculo de radio 2). $${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}},}$$

Para hallar la integral de g ( z ) alrededor del contorno C , necesitamos conocer las singularidades de g ( z ) . Observemos que podemos reescribir g de la siguiente manera: donde z ₁ = − 1 + i y z ₂ = − 1 − i . $${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}}$$

Por lo tanto, g tiene polos en z ₁ y z ₂ . Los módulos de estos puntos son menores que 2 y, por lo tanto, se encuentran dentro del contorno. Esta integral se puede dividir en dos integrales más pequeñas mediante el teorema de Cauchy-Goursat ; es decir, podemos expresar la integral alrededor del contorno como la suma de la integral alrededor de z ₁ y z ₂ donde el contorno es un pequeño círculo alrededor de cada polo. Llamemos a estos contornos C ₁ alrededor de z ₁ y C ₂ alrededor de z ₂ .

Ahora bien, cada una de estas integrales más pequeñas se puede evaluar mediante la fórmula integral de Cauchy, pero primero se deben reescribir para aplicar el teorema. Para la integral alrededor de C ₁ , defina f ₁ como f ₁ ( z ) = ( z − z ₁ ) g ( z ) . Esto es analítico (ya que el contorno no contiene la otra singularidad). Podemos simplificar f ₁ como: y ahora $${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}}$$ $${\displaystyle g(z)={\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}.}$$

Dado que la fórmula integral de Cauchy dice que: podemos evaluar la integral de la siguiente manera: $${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f_{1}(z)}{z-a}}\,dz=2\pi i\cdot f_{1}(a),}$$ $${\displaystyle \oint _{C_{1}}g(z)\,dz=\oint _{C_{1}}{\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}.}$$

Haciendo lo mismo para el otro contorno: evaluamos $${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{1}}},}$$ $${\displaystyle \oint _{C_{2}}g(z)\,dz=\oint _{C_{2}}{\frac {f_{2}(z)}{z-z_{2}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}.}$$

La integral alrededor del contorno original C es entonces la suma de estas dos integrales: $${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&{}=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz\\[.5em]&{}=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[.5em]&{}=2\pi i(-2)\\[.3em]&{}=-4\pi i.\end{aligned}}}$$

Un truco elemental que utiliza la descomposición en fracciones parciales : $${\displaystyle \oint _{C}g(z)\,dz=\oint _{C}\left(1-{\frac {1}{z-z_{1}}}-{\frac {1}{z-z_{2}}}\right)\,dz=0-2\pi i-2\pi i=-4\pi i}$$

Consecuencias

La fórmula integral tiene amplias aplicaciones. En primer lugar, implica que una función que es holomorfa en un conjunto abierto es de hecho infinitamente diferenciable allí. Además, es una función analítica , lo que significa que puede representarse como una serie de potencias . La prueba de esto utiliza el teorema de convergencia dominada y la serie geométrica aplicada a

$${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-\zeta }}\,dz.}$$

La fórmula también se utiliza para demostrar el teorema del residuo , que es un resultado para funciones meromórficas , y un resultado relacionado, el principio del argumento . Se sabe por el teorema de Morera que el límite uniforme de las funciones holomorfas es holomorfo. Esto también se puede deducir de la fórmula integral de Cauchy: de hecho, la fórmula también se cumple en el límite y el integrando, y por lo tanto la integral, se puede desarrollar como una serie de potencias. Además, las fórmulas de Cauchy para las derivadas de orden superior muestran que todas estas derivadas también convergen uniformemente.

El análogo de la fórmula integral de Cauchy en el análisis real es la fórmula integral de Poisson para funciones armónicas ; muchos de los resultados para funciones holomorfas se trasladan a este contexto. Sin embargo, ninguno de estos resultados es válido para clases más generales de funciones analíticas diferenciables o reales. Por ejemplo, la existencia de la primera derivada de una función real no implica necesariamente la existencia de derivadas de orden superior, ni en particular la analiticidad de la función. De la misma manera, el límite uniforme de una secuencia de funciones diferenciables (reales) puede no ser diferenciable, o puede ser diferenciable pero con una derivada que no es el límite de las derivadas de los miembros de la secuencia.

Otra consecuencia es que si f ( z ) = Σ a _n z ⁿ es holomorfo en | z | < R y 0 < r < R entonces los coeficientes a _n satisfacen la desigualdad de Cauchy ^[1] $${\displaystyle |a_{n}|\leq r^{-n}\sup _{|z|=r}|f(z)|.}$$

De la desigualdad de Cauchy se puede deducir fácilmente que toda función entera acotada debe ser constante (lo que constituye el teorema de Liouville ).

La fórmula también se puede utilizar para derivar el Teorema del valor medio de Gauss , que establece ^[2] $${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z+re^{i\theta })\,d\theta .}$$

En otras palabras, el valor medio de f sobre el círculo centrado en z con radio r es f ( z ) . Esto se puede calcular directamente mediante una parametrización del círculo.

Generalizaciones

Funciones suaves

Una versión de la fórmula integral de Cauchy es la fórmula de Cauchy- Pompeiu ^[3], y se aplica también a funciones suaves , ya que se basa en el teorema de Stokes . Sea D un disco en C y supongamos que f es una función C 1 de valor complejo en el cierre de D . Entonces ^{[4] [5] [6]} $${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(z)\,dz}{z-\zeta }}-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z){\frac {dx\wedge dy}{z-\zeta }}.}$$

Se puede utilizar esta fórmula de representación para resolver las ecuaciones de Cauchy-Riemann no homogéneas en D . De hecho, si φ es una función en D , entonces una solución particular f de la ecuación es una función holomorfa fuera del soporte de μ . Además, si en un conjunto abierto D , para algún φ ∈ C ^k ( D ) (donde k  ≥ 1 ), entonces f ( ζ , ζ ) también está en C ^k ( D ) y satisface la ecuación $${\displaystyle d\mu ={\frac {1}{2\pi i}}\varphi \,dz\wedge d{\bar {z}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\varphi (z,{\bar {z}}).}$$

La primera conclusión es, sucintamente, que la convolución μ ∗ k ( z ) de una medida con soporte compacto con el núcleo de Cauchy es una función holomorfa fuera del soporte de μ . Aquí pv denota el valor principal . La segunda conclusión afirma que el núcleo de Cauchy es una solución fundamental de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Nótese que para funciones complejas suaves f con soporte compacto en C la fórmula integral de Cauchy generalizada se simplifica a y es una reformulación del hecho de que, considerada como una distribución , (π z ) ⁻¹ es una solución fundamental del operador de Cauchy-Riemann ⁠ $${\displaystyle k(z)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{z}}}$$ $${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\iint {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }},}$$ ∂/∂ z̄⁠ . ^[7]

La fórmula integral de Cauchy generalizada se puede deducir para cualquier región abierta acotada X con límite C ¹ ∂ X a partir de este resultado y la fórmula para la derivada distribucional de la función característica χ _X de X : donde la distribución en el lado derecho denota la integración del contorno a lo largo de ∂ X . ^[8] $${\displaystyle {\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz,}$$

Prueba

Para calcular: ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {D}}(X)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right),\varphi \right\rangle &=-\int _{X}{\frac {\partial \varphi }{\partial {\bar {z}}}}\mathrm {~d} (x,y)\\&=-{\frac {1}{2}}\int _{X}\left(\partial _{x}\varphi +\mathrm {i} \partial _{y}\varphi \right)\mathrm {d} (x,y).\end{aligned}}}$

Luego recorra en sentido antihorario. Fije un punto y denote la longitud del arco en medida desde el sentido antihorario. Entonces, si es la longitud de es una parametrización de . La derivada es una tangente unitaria a y es la normal externa unitaria en . Estamos preparados para usar el teorema de divergencia : póngalo de modo que y obtenemos ${\displaystyle \partial X}$ ${\displaystyle p\in \partial X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \partial X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \partial X,[0,\ell ]\ni s\mapsto (x(s),y(s))}$ ${\displaystyle \partial X}$ ${\displaystyle \tau =\left(x'(s),y'(s)\right)}$ ${\displaystyle \partial X}$ ${\displaystyle \nu :=\left(-y'(s),x'(s)\right)}$ ${\displaystyle \partial X}$ ${\displaystyle V=(\varphi ,\mathrm {i} \varphi )\in {\mathcal {D}}(X)^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {div} V=\partial _{x}\varphi +\mathrm {i} \partial _{y}\varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{2}}\int _{X}\left(\partial _{x}\varphi +\mathrm {i} \partial _{y}\varphi \right)\mathrm {d} (x,y)&=-{\frac {1}{2}}\int _{\partial X}V\cdot \nu \mathrm {d} S\\&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ell }\left(\varphi \nu _{1}+\mathrm {i} \varphi \nu _{2}\right)\mathrm {d} s\\&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ell }\varphi (x(s),y(s))\left(y'(s)-\mathrm {i} x'(s)\right)\mathrm {d} s\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ell }\mathrm {i} \varphi (x(s),y(s))\left(x'(s)+\mathrm {i} y'(s)\right)\mathrm {d} s\\&={\frac {\mathrm {i} }{2}}\int _{\partial X}\varphi \mathrm {d} z\end{aligned}}}$

Por lo tanto demostramos . ${\displaystyle {\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz}$

Ahora podemos deducir la fórmula integral de Cauchy generalizada:

Prueba

Dado que esta distribución tiene localmente la forma "distribución por C ^∞ función", podemos aplicar la regla de Leibniz para calcular sus derivadas: ${\displaystyle u={\frac {\chi _{X}}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\in \mathrm {L} _{\text{loc}}^{1}(X)}$ ${\displaystyle z_{0}\in X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left({\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\right)\chi _{X}+{\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right)}$

Usando que (π z ) ⁻¹ es una solución fundamental del operador de Cauchy-Riemann ⁠∂/∂ z̄⁠ , obtenemos: ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left({\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\right)=\delta _{z_{0}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}=\delta _{z_{0}}+{\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right)}$

Aplicando a : ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(X)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left({\frac {\chi _{X}}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\right),\phi \right\rangle &=\phi \left(z_{0}\right)+\left\langle {\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right),\phi \right\rangle \\&=\phi \left(z_{0}\right)+\left\langle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right),{\frac {\phi }{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\right\rangle \\&=\phi \left(z_{0}\right)+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\int _{\partial X}{\frac {\phi (z)}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\mathrm {d} z\end{aligned}}}$

donde se utiliza en la última línea. ${\displaystyle {\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz}$

Reordenando, obtenemos

${\displaystyle \phi (z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial X}{\frac {\phi (z)\,dz}{z-z_{0}}}-{\frac {1}{\pi }}\iint _{X}{\frac {\partial \phi }{\partial {\bar {z}}}}(z){\frac {dx\wedge dy}{z-z_{0}}}.}$

como desees.

Varias variables

En varias variables complejas , la fórmula integral de Cauchy se puede generalizar a polidiscos . ^[9] Sea D el polidisco dado como el producto cartesiano de n discos abiertos D ₁ , ..., D _n : $${\displaystyle D=\prod _{i=1}^{n}D_{i}.}$$

Supóngase que f es una función holomorfa en D continua en el cierre de D . Entonces donde ζ = ( ζ ₁ ,..., ζ _n ) ∈ D . $${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{\left(2\pi i\right)^{n}}}\int \cdots \iint _{\partial D_{1}\times \cdots \times \partial D_{n}}{\frac {f(z_{1},\ldots ,z_{n})}{(z_{1}-\zeta _{1})\cdots (z_{n}-\zeta _{n})}}\,dz_{1}\cdots dz_{n}}$$

En álgebras reales

La fórmula integral de Cauchy es generalizable a espacios vectoriales reales de dos o más dimensiones. La comprensión de esta propiedad proviene del álgebra geométrica , donde se consideran objetos más allá de los escalares y los vectores (como los bivectores planares y los trivectores volumétricos ), y una generalización adecuada del teorema de Stokes .

El cálculo geométrico define un operador de derivada ∇ = ê _i ∂ _i bajo su producto geométrico —es decir, para un campo de k vectores ψ ( r ) , la derivada ∇ ψ generalmente contiene términos de grado k + 1 y k − 1 . Por ejemplo, un campo vectorial ( k = 1 ) generalmente tiene en su derivada una parte escalar, la divergencia ( k = 0 ), y una parte bivectorial, el rotacional ( k = 2 ). Este operador de derivada particular tiene una función de Green : donde S _n es el área de superficie de una unidad n - bola en el espacio (es decir, S ₂ = 2π , la circunferencia de un círculo con radio 1, y S ₃ = 4π , el área de superficie de una esfera con radio 1). Por definición de una función de Green, $${\displaystyle G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)={\frac {1}{S_{n}}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{n}}}}$$ $${\displaystyle \nabla G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)=\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right).}$$

Esta propiedad es útil y puede utilizarse junto con el teorema de Stokes generalizado: donde, para un espacio vectorial de dimensión n , d S es un ( n − 1) -vector y d V es un n -vector. La función f ( r ) puede, en principio, estar compuesta por cualquier combinación de multivectores. La demostración del teorema integral de Cauchy para espacios de dimensión superior se basa en el uso del teorema de Stokes generalizado sobre la cantidad G ( r , r ′) f ( r ′) y el uso de la regla del producto: $${\displaystyle \oint _{\partial V}d\mathbf {S} \;f(\mathbf {r} )=\int _{V}d\mathbf {V} \;\nabla f(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \oint _{\partial V'}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} '\;f\left(\mathbf {r} '\right)=\int _{V}\left(\left[\nabla 'G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\right]f\left(\mathbf {r} '\right)+G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\nabla 'f\left(\mathbf {r} '\right)\right)\;d\mathbf {V} }$$

Cuando ∇ f = 0 , f ( r ) se denomina función monogénica , la generalización de funciones holomorfas a espacios de dimensiones superiores —de hecho, se puede demostrar que la condición de Cauchy–Riemann es simplemente la expresión bidimensional de la condición monogénica. Cuando se cumple esa condición, el segundo término en la integral de la derecha se desvanece, dejando solo donde i _n es el vector unitario n de esa álgebra , el pseudoescalar . El resultado es $${\displaystyle \oint _{\partial V'}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} '\;f\left(\mathbf {r} '\right)=\int _{V}\left[\nabla 'G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\right]f\left(\mathbf {r} '\right)=-\int _{V}\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)f\left(\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {V} =-i_{n}f(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle f(\mathbf {r} )=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} \;f\left(\mathbf {r} '\right)=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{S_{n}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{n}}}\;d\mathbf {S} \;f\left(\mathbf {r} '\right)}$$

Así, como en el caso bidimensional (análisis complejo), el valor de una función analítica (monogénica) en un punto se puede encontrar mediante una integral sobre la superficie que rodea el punto, y esto es válido no sólo para funciones escalares sino también para funciones vectoriales y multivectoriales generales.

Véase también

• Ecuaciones de Cauchy-Riemann
• Métodos de integración de contornos
• Teorema de Nachbin
• Teorema de Morera
• Teorema de Mittag-Leffler
• La función de Green generaliza esta idea a la configuración no lineal.
• Fórmula integral de Schwarz
• Fórmula de Parseval-Gutzmer
• Fórmula de Bochner-Martinelli
• Fórmula de Helffer-Sjöstrand

Notas

1. Titchmarsh 1939, pág. 84
2. "Teorema del valor medio de Gauss". Sitio web de Wolfram Alpha .
3. Pompeya 1905
4. "§2. Formas complejas de 2 elementos: Fórmula de Cauchy-Pompeiu" (PDF) .
5. Hörmander 1966, Teorema 1.2.1
6. "Teorema 4.1.1 (Cauchy-Pompeiu)" (PDF) .
7. Hörmander 1983, págs. 63, 81
8. Hörmander 1983, págs. 62-63
9. Hörmander 1966, Teorema 2.2.1

Referencias

• Ahlfors, Lars (1979). Análisis complejo (3.ª ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
• Pompeyo, D. (1905). "Sur la continuité des fonctions de variables complexes" (PDF) . Annales de la Facultad de Ciencias de Toulouse . Serie 2. 7 (3): 265–315.
• Titchmarsh, EC (1939). Teoría de funciones (2.ª ed.). Oxford University Press .
• Hörmander, Lars (1966). Introducción al análisis complejo en varias variables . Van Nostrand.
• Hörmander, Lars (1983). El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I. Springer. ISBN 3-540-12104-8.
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003). Álgebra geométrica para físicos . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71595-9.

Enlaces externos

• "Integral de Cauchy", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Fórmula integral de Cauchy". MathWorld .