Fórmula integral de Lobachevsky

En matemáticas, las integrales de Dirichlet desempeñan un papel importante en la teoría de distribuciones . Podemos ver la integral de Dirichlet en términos de distribuciones.

Una de ellas es la integral impropia de la función sinc sobre la recta real positiva,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}x}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

Fórmula integral de Dirichlet de Lobachevsky

Sea una función continua que satisface el supuesto periódico , y , para . Si se toma la integral como una integral de Riemann impropia , tenemos la fórmula de la integral de Dirichlet de Lobachevsky ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle f(x+\pi )=f(x)}$ ${\displaystyle f(\pi -x)=f(x)}$ ${\displaystyle 0\leq x<\infty }$ ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}f(x)\,dx}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}x}{x^{2}}}f(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}f(x)\,dx=\int _{0}^{\pi /2}f(x)\,dx}$

Además, tenemos la siguiente identidad como una extensión de la fórmula integral de Lobachevsky- Dirichlet ^[1]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{4}x}{x^{4}}}f(x)\,dx=\int _{0}^{\pi /2}f(t)\,dt-{\frac {2}{3}}\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2}tf(t)\,dt.}$

Como aplicación, tome . Luego ${\displaystyle f(x)=1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{4}x}{x^{4}}}\,dx={\frac {\pi }{3}}.}$

Referencias

1. Jolany, Hassan (2018). "Una extensión de la fórmula de Lobachevsky". Elemente der Mathematik . 73 (3): 89–94. arXiv : 1004.2653 . doi :10.4171/EM/358.

• Hardy, GH (1909). "La integral ". The Mathematical Gazette . 5 (80): 98–103. JSTOR  3602798. ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}},}$
• Dixon, Alfred Cardew (1912). "Prueba de que ". The Mathematical Gazette . 6 (96): 223–224. JSTOR  3604314. ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}},}$