Teorema del determinante de Frobenius

En matemáticas, el teorema del determinante de Frobenius fue una conjetura formulada en 1896 por el matemático Richard Dedekind , quien escribió una carta a FG Frobenius al respecto (reproducida en (Dedekind 1968), con una traducción al inglés en (Curtis 2003, p. 51)).

Si se toma la tabla de multiplicación de un grupo finito G y se reemplaza cada entrada g por la variable x _g , y posteriormente se toma el determinante , entonces el determinante se factoriza como un producto de n polinomios irreducibles, donde n es el número de clases de conjugación. Además, cada polinomio se eleva a una potencia igual a su grado. Frobenius demostró esta sorprendente conjetura, y se la conoció como el teorema del determinante de Frobenius.

Declaración formal

Sea un grupo finito con elementos , y sea asociado con cada elemento de . Defina la matriz con entradas . Luego ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{1},g_{2},\dots ,g_{n}}$ ${\displaystyle x_{g_{i}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X_{G}}$ ${\displaystyle a_{ij}=x_{g_{i}g_{j}}}$

${\displaystyle \det X_{G}=\prod _{j=1}^{r}P_{j}(x_{g_{1}},x_{g_{2}},\dots ,x_{g_{n}})^{\deg P_{j}}}$

donde los ' son polinomios irreducibles no proporcionales por pares y es el número de clases de conjugación de  G . ^[1] ${\displaystyle P_{j}}$ ${\displaystyle r}$

Referencias

1. Etingof 2005, Teorema 5.4.

• Curtis, Charles W. (2003), Pioneros de la teoría de la representación: Frobenius, Burnside, Schur y Brauer, Historia de las matemáticas, Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090/S0273-0979-00-00867-3 , ISBN 978-0-8218-2677-5, Sr.  1715145 Revisar
• Dedekind, Richard (1968) [1931], Fricke, Robert; Ningún otro, Emmy ; Ore, öystein (eds.), Gesammelte mathematische Werke. Bände I–III , Nueva York: Chelsea Publishing Co., JFM  56.0024.05, MR  0237282
• Etingof, Pavel (2005). "Conferencias sobre teoría de la representación" (PDF) .
• Frobenius, Ferdinand Georg (1968), Serre, J.-P. (ed.), Gesammelte Abhandlungen. Bände I, II, III , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-04120-7, Sr.  0235974