Fórmula de reducción de LSZ

Relación entre las funciones de correlación y la matriz S

En la teoría cuántica de campos , la fórmula de reducción de Lehmann-Symanzik-Zimmermann ( LSZ ) es un método para calcular los elementos de la matriz S (las amplitudes de dispersión ) a partir de las funciones de correlación ordenadas en el tiempo de una teoría cuántica de campos. Es un paso del camino que comienza en el lagrangiano de alguna teoría cuántica de campos y conduce a la predicción de cantidades mensurables. Lleva el nombre de los tres físicos alemanes Harry Lehmann , Kurt Symanzik y Wolfhart Zimmermann . ^[1]

Aunque la fórmula de reducción LSZ no puede manejar estados ligados , partículas sin masa y solitones topológicos , se puede generalizar para cubrir estados ligados, mediante el uso de campos compuestos que a menudo son no locales. Además, el método, o variantes del mismo, han resultado ser también fructíferos en otros campos de la física teórica. Por ejemplo, en física estadística se pueden utilizar para obtener una formulación particularmente general del teorema de fluctuación-disipación .

Campos dentro y fuera

Los elementos de la matriz S son amplitudes de transiciones entre estados de entrada yestados de salida . ^{[2] [3] [4] [5] [6]} Unestado de entrada describe el estado de un sistema de partículas que, en un pasado lejano, antes de interactuar, se movían libremente con momentos definidos { p }, y, a la inversa, unestado de salida describe el estado de un sistema de partículas que, mucho después de la interacción, se moverán libremente con momentos definidos { p }. ${\displaystyle |\{p\}\ \mathrm {in} \rangle }$ ${\displaystyle |\{p\}\ \mathrm {out} \rangle }$

Los estados de entrada y salida son estados en la imagen de Heisenberg, por lo que no se debe pensar que describan partículas en un tiempo definido, sino que describen el sistema de partículas en toda su evolución, de modo que el elemento de la matriz S:

${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\langle \{q\}\ \mathrm {out} |\{p\}\ \mathrm {in} \rangle }$

es la amplitud de probabilidad de un conjunto de partículas que fueron preparadas con momentos definidos { p } para interactuar y ser medidas posteriormente como un nuevo conjunto de partículas con momentos { q }.

La forma sencilla ^{[nota 1]} de crear estados de entrada y salida es buscar operadores de campo adecuados que proporcionen los operadores de creación y aniquilación correctos . Estos campos se denominan campos de entrada y salida respectivamente :

Sólo para fijar ideas, supongamos que tratamos con un campo de Klein-Gordon que interactúa de alguna manera que no nos concierne:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi -{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}\varphi ^{2}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$puede contener una interacción consigo misma gφ ³ o una interacción con otros campos, como una interacción de Yukawa . A partir de este lagrangiano , utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange , se obtiene la ecuación de movimiento: ${\displaystyle g\ \varphi {\bar {\psi }}\psi }$

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)}$

donde, si no contiene acoplamientos derivados: ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$

${\displaystyle j_{0}={\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}{\partial \varphi }}}$

Podemos esperar que el campo interno se asemeje al comportamiento asintótico del campo libre cuando x ⁰ → −∞ , suponiendo que en el pasado lejano la interacción descrita por la corriente j ₀ es despreciable, ya que las partículas están lejos unas de otras. Esta hipótesis se denomina hipótesis adiabática . Sin embargo, la autointeracción nunca desaparece y, además de muchos otros efectos, causa una diferencia entre la masa lagrangiana m ₀ y la masa física m del bosón φ . Este hecho debe tenerse en cuenta reescribiendo la ecuación de movimiento de la siguiente manera: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)+\left(m^{2}-m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j(x)}$

Esta ecuación se puede resolver formalmente utilizando la función de Green retardada del operador de Klein-Gordon : ${\displaystyle \partial ^{2}+m^{2}}$

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {ret} }(x)=i\theta \left(x^{0}\right)\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega _{k}}}\left(e^{-ik\cdot x}-e^{ik\cdot x}\right)_{k^{0}=\omega _{k}}\qquad \omega _{k}={\sqrt {\mathbf {k} ^{2}+m^{2}}}}$

lo que nos permite separar la interacción del comportamiento asintótico. La solución es:

${\displaystyle \varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)j(y)}$

El factor √ Z es un factor de normalización que será útil más adelante, el campo φ _en es una solución de la ecuación homogénea asociada a la ecuación de movimiento:

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi _{\mathrm {in} }(x)=0,}$

y por lo tanto es un campo libre que describe una onda entrante no perturbada, mientras que el último término de la solución da la perturbación de la onda debido a la interacción.

El campo φ _in es en efecto el campo in que buscábamos, ya que describe el comportamiento asintótico del campo interactuante cuando x ⁰ → −∞ , aunque esta afirmación se hará más precisa más adelante. Es un campo escalar libre, por lo que se puede expandir en ondas planas:

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }(x)=\int \mathrm {d} ^{3}k\left\{f_{k}(x)a_{\mathrm {in} }(\mathbf {k} )+f_{k}^{*}(x)a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} )\right\}}$

dónde:

${\displaystyle f_{k}(x)=\left.{\frac {e^{-ik\cdot x}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}(2\omega _{k})^{\frac {1}{2}}}}\right|_{k^{0}=\omega _{k}}}$

La función inversa de los coeficientes en términos del campo se puede obtener fácilmente y expresar en la elegante forma:

${\displaystyle a_{\mathrm {in} }(\mathbf {k} )=i\int \mathrm {d} ^{3}xf_{k}^{*}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)}$

dónde:

${\displaystyle {\mathrm {g} }{\overleftrightarrow {\partial _{0}}}f=\mathrm {g} \partial _{0}f-f\partial _{0}\mathrm {g} .}$

Los coeficientes de Fourier satisfacen el álgebra de operadores de creación y aniquilación :

${\displaystyle [a_{\mathrm {in} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )]=0;\quad [a_{\mathrm {in} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {q} )]=\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} );}$

y se pueden utilizar para construir estados de la forma habitual:

${\displaystyle \left|k_{1},\ldots ,k_{n}\ \mathrm {in} \right\rangle ={\sqrt {2\omega _{k_{1}}}}a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{1})\ldots {\sqrt {2\omega _{k_{n}}}}a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{n})|0\rangle }$

La relación entre el campo interactuante y el campo interno no es muy sencilla de utilizar, y la presencia de la función de Green retardada nos tienta a escribir algo como:

${\displaystyle \varphi (x)\sim {\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)\qquad \mathrm {as} \quad x^{0}\to -\infty }$

Suponiendo implícitamente que todas las interacciones se vuelven insignificantes cuando las partículas están muy alejadas unas de otras, la corriente j ( x ) también contiene interacciones internas como las que producen el cambio de masa de m ₀ a m . Estas interacciones no desaparecen cuando las partículas se alejan, por lo que se debe tener mucho cuidado al establecer relaciones asintóticas entre el campo que interactúa y el campo interno .

La prescripción correcta, desarrollada por Lehmann, Symanzik y Zimmermann, requiere dos estados normalizables y , y una solución normalizable f  ( x ) de la ecuación de Klein–Gordon . Con estos fragmentos se puede enunciar una relación asintótica correcta y útil, pero muy débil: ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |\beta \rangle }$  ${\displaystyle (\partial ^{2}+m^{2})f(x)=0}$

${\displaystyle \lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)|\beta \rangle }$

El segundo miembro es de hecho independiente del tiempo , como se puede demostrar diferenciando y recordando que tanto φ _como f satisfacen la ecuación de Klein-Gordon.  

Con los cambios apropiados, se pueden seguir los mismos pasos para construir un campo de salida que genere estados de salida . En particular, la definición del campo de salida es:

${\displaystyle \varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {out} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {adv} }(x-y)j(y)}$

donde Δ _adv ( x − y ) es la función de Green avanzada del operador de Klein–Gordon. La relación asintótica débil entre el campo externo y el campo interactuante es:

${\displaystyle \lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {out} }(x)|\beta \rangle }$

La fórmula de reducción para escalares

Las relaciones asintóticas son todo lo que se necesita para obtener la fórmula de reducción de LSZ. Para mayor comodidad, comenzamos con el elemento de matriz:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$

que es ligeramente más general que un elemento de matriz S. De hecho, es el valor esperado del producto ordenado en el tiempo de una cantidad de campos entre un estado de salida y un estado de entrada . El estado de salida puede contener cualquier cosa, desde el vacío hasta una cantidad indefinida de partículas, cuyos momentos se resumen en el índice β . El estado de entrada contiene al menos una partícula de momento p , y posiblemente muchas otras, cuyos momentos se resumen en el índice α . Si no hay campos en el producto ordenado en el tiempo, entonces es obviamente un elemento de matriz S. La partícula con momento p se puede 'extraer' del estado de entrada mediante el uso de un operador de creación: ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \varphi (y_{1})\cdots \varphi (y_{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} ){\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

donde la prima on indica que se ha sacado una partícula. Suponiendo que no hay ninguna partícula con momento p presente en el estado de salida , es decir, ignoramos la dispersión hacia delante, podemos escribir: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\left\{\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} )-a_{\mathrm {out} }^{\dagger }(\mathbf {p} )\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\right\}{\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

porque actuando por la izquierda se obtiene cero. Expresando los operadores de construcción en términos de campos de entrada y salida , tenemos: ${\displaystyle a_{\mathrm {out} }^{\dagger }}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {2\omega _{p}}}\ \int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\left\{\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi _{\mathrm {in} }(x)-\varphi _{\mathrm {out} }(x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\right\}{\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

Ahora podemos usar la condición asintótica para escribir:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left\{\lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi (x)|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle -\lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\varphi (x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle \right\}}$

Luego observamos que el campo φ ( x ) puede llevarse dentro del producto ordenado en el tiempo, ya que aparece a la derecha cuando x ⁰ → −∞ y a la izquierda cuando x ⁰ → ∞ :

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left(\lim _{x^{0}\to -\infty }-\lim _{x^{0}\to \infty }\right)\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$

A continuación, lo que importa es la dependencia de x en el producto ordenado en el tiempo, por lo que establecemos:

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle =\eta (x)}$

Se puede demostrar realizando explícitamente la integración temporal que: ^{[nota 2]}

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} (x^{0})\partial _{0}\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\eta (x)}$

De modo que, por derivación explícita del tiempo, tenemos:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}x\left\{f_{p}(x)\partial _{0}^{2}\eta (x)-\eta (x)\partial _{0}^{2}f_{p}(x)\right\}}$

Por su definición vemos que f _p  ( x ) es una solución de la ecuación de Klein–Gordon, que puede escribirse como: 

${\displaystyle \partial _{0}^{2}f_{p}(x)=\left(\Delta -m^{2}\right)f_{p}(x)}$

Sustituyendo en la expresión e integrando por partes, llegamos a: ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}xf_{p}(x)\left(\partial _{0}^{2}-\Delta +m^{2}\right)\eta (x)}$

Eso es:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\int \mathrm {d} ^{4}xe^{-ip\cdot x}\left(\Box +m^{2}\right)\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$

Partiendo de este resultado y siguiendo el mismo camino, se puede extraer otra partícula del estado de entrada , lo que lleva a la inserción de otro campo en el producto ordenado en el tiempo. Una rutina muy similar puede extraer partículas del estado de salida , y se pueden iterar las dos para obtener el vacío tanto a la derecha como a la izquierda del producto ordenado en el tiempo, lo que lleva a la fórmula general:

${\displaystyle \langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {out} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {in} \rangle =\int \prod _{i=1}^{m}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}{\frac {ie^{-iq_{i}\cdot x_{i}}\left(\Box _{x_{i}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}y_{j}{\frac {ie^{ip_{j}\cdot y_{j}}\left(\Box _{y_{j}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\langle \Omega |\mathrm {T} \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{m})\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|\Omega \rangle }$

¿Cuál es la fórmula de reducción LSZ para los escalares de Klein-Gordon? Tiene un aspecto mucho más atractivo si se escribe utilizando la transformada de Fourier de la función de correlación:

${\displaystyle \Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)=\int \prod _{i=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}e^{ip_{i}\cdot x_{i}}\right\}\langle \Omega |\mathrm {T} \ \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{n})|\Omega \rangle }$

Utilizando la transformada inversa para sustituir en la fórmula de reducción LSZ, con algo de esfuerzo, se puede obtener el siguiente resultado:

${\displaystyle \langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {out} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {in} \rangle =\prod _{i=1}^{m}\left\{-{\frac {i\left(p_{i}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{-{\frac {i\left(q_{j}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n};-q_{1},\ldots ,-q_{m}\right)}$

Dejando de lado los factores de normalización, esta fórmula afirma que los elementos de la matriz S son los residuos de los polos que surgen en la transformada de Fourier de las funciones de correlación a medida que los cuatro momentos se colocan en las capas.

Fórmula de reducción para fermiones

Recordemos que las soluciones de la ecuación de Dirac de campo libre cuantificada pueden escribirse como

${\displaystyle \Psi (x)=\sum _{s=\pm }\int \!\mathrm {d} {\tilde {p}}{\big (}b_{\textbf {p}}^{s}u_{\textbf {p}}^{s}\mathrm {e} ^{ip\cdot x}+d_{\textbf {p}}^{\dagger s}v_{\textbf {p}}^{s}\mathrm {e} ^{-ip\cdot x}{\big )},}$

donde la firma métrica es mayoritariamente más, es un operador de aniquilación para partículas de tipo b con momento y espín , es un operador de creación para partículas de tipo d con espín , y los espinores y satisfacen y . La medida invariante de Lorentz se escribe como , con . Consideremos ahora un evento de dispersión que consiste en un estado de entrada de partículas que no interactúan que se acercan a una región de interacción en el origen, donde se produce la dispersión, seguido de un estado de salida de partículas que no interactúan. La amplitud de probabilidad para este proceso está dada por ${\displaystyle b_{\textbf {p}}^{s}}$ ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ ${\displaystyle s=\pm }$ ${\displaystyle d_{\textbf {p}}^{\dagger s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle u_{\textbf {p}}^{s}}$ ${\displaystyle v_{\textbf {p}}^{s}}$ ${\displaystyle (p\!\!\!/+m)u_{\textbf {p}}^{s}=0}$ ${\displaystyle (p\!\!\!/-m)v_{\textbf {p}}^{s}=0}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\tilde {p}}:=\mathrm {d} ^{3}p/(2\pi )^{3}2\omega _{\textbf {p}}}$ ${\displaystyle \omega _{\textbf {p}}={\sqrt {{\textbf {p}}^{2}+m^{2}}}}$ ${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$ ${\displaystyle |\beta \ \mathrm {out} \rangle }$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |\alpha \ \mathrm {in} \rangle ,}$

donde no se ha insertado ningún producto ordenado en el tiempo adicional de operadores de campo, por simplicidad. La situación considerada será la dispersión de partículas de tipo b a partículas de tipo b. Supóngase que el estado de entrada consiste en partículas con momentos y espines , mientras que el estado de salida contiene partículas de momentos y espines . Los estados de entrada y salida están dados por ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n'}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{{\textbf {p}}_{1},...,{\textbf {p}}_{n}\}}$ ${\displaystyle \{s_{1},...,s_{n}\}}$ ${\displaystyle \{{\textbf {k}}_{1},...,{\textbf {k}}_{n'}\}}$ ${\displaystyle \{\sigma _{1},...,\sigma _{n'}\}}$

${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle =|{\textbf {p}}_{1}^{s_{1}},...,{\textbf {p}}_{n}^{s_{n}}\rangle \quad {\text{and}}\quad |\beta \ \mathrm {out} \rangle =|{\textbf {k}}_{1}^{\sigma _{1}},...,{\textbf {k}}_{n'}^{\sigma _{n'}}\rangle .}$

Extraer una partícula entrante de produce un operador de creación de campo libre que actúa sobre el estado con una partícula menos. Suponiendo que ninguna partícula saliente tiene el mismo momento, podemos escribir ${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$ ${\displaystyle b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {in} }^{\dagger s_{1}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {in} }^{\dagger s_{1}}-b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {out} }^{\dagger s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ,}$

donde la prima sobre denota que se ha extraído una partícula. Ahora recordemos que en la teoría libre, los operadores de partículas de tipo b se pueden escribir en términos del campo utilizando la relación inversa ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle b_{\textbf {p}}^{\dagger s}=\int \!\mathrm {d} ^{3}x\;\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s},}$

donde . Denotando los campos libres asintóticos por y , encontramos ${\displaystyle {\bar {\Psi }}(x)=\Psi ^{\dagger }(x)\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \Psi _{\text{in}}}$ ${\displaystyle \Psi _{\text{out}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\int \!\mathrm {d} ^{3}x_{1}\;\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\text{in}}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}-{\bar {\Psi }}_{\text{out}}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

La condición asintótica débil necesaria para un campo de Dirac, análoga a la de los campos escalares, se lee

${\displaystyle \lim _{x^{0}\rightarrow -\infty }\int \!\mathrm {d} ^{3}x\langle \beta |\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s}|\alpha \rangle ={\sqrt {Z}}\int \!\mathrm {d} ^{3}x\langle \beta |\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}_{\text{in}}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s}|\alpha \rangle ,}$

y lo mismo ocurre con el campo exterior . La amplitud de dispersión es entonces

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {1}{\sqrt {Z}}}{\Big (}\lim _{x_{1}^{0}\rightarrow -\infty }-\lim _{x_{1}^{0}\rightarrow +\infty }{\Big )}\int \!\mathrm {d} ^{3}x_{1}\;\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ,}$

donde ahora el campo interactuante aparece en el producto interno. Reescribiendo los límites en términos de la integral de una derivada temporal, tenemos

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-{\frac {1}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\partial _{0}{\big (}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle {\big )}}$

${\displaystyle =-{\frac {1}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}(\partial _{0}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\eta (x_{1})+\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\partial _{0}\eta (x_{1}){\big )}\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}},}$

donde el vector fila de los elementos de la matriz del cuerpo de Dirac barrado se escribe como . Ahora, recordemos que es una solución de la ecuación de Dirac: ${\displaystyle \eta (x_{1}):=\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}}$

${\displaystyle (-i\partial \!\!\!/+m)\mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}=0.}$

Resolviendo para , sustituyéndolo en el primer término de la integral y realizando una integración por partes, obtenemos ${\displaystyle \gamma ^{0}\partial _{0}\mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}{\big (}i\partial _{\mu }\eta (x_{1})\gamma ^{\mu }+\eta (x_{1})m{\big )}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}.}$

El cambio a la notación de índice de Dirac (con sumas sobre índices repetidos) permite una expresión más clara, en la que la cantidad entre corchetes debe considerarse un operador diferencial:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}[(i{\partial \!\!\!/}_{x_{1}}+m)u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}]_{\alpha _{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

Consideremos a continuación el elemento de matriz que aparece en la integral. Extrayendo un operador de creación de estado de salida y restando el operador de estado de entrada correspondiente, con la suposición de que ninguna partícula entrante tiene el mismo momento, tenemos

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle =\langle \beta '\ \mathrm {out} |b_{{\textbf {k}}_{1},\mathrm {out} }^{\sigma _{1}}{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})-{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})b_{{\textbf {k}}_{1},\mathrm {in} }^{\sigma _{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

Recordando que , donde , podemos reemplazar los operadores de aniquilación con en los campos utilizando el adjunto de la relación inversa. Aplicando la relación asintótica, encontramos ${\displaystyle ({\bar {\Psi }}\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s})^{\dagger }={\bar {u}}_{\textbf {p}}^{s}\gamma ^{0}\Psi }$ ${\displaystyle {\bar {u}}_{\textbf {p}}^{s}:=u_{\textbf {p}}^{\dagger s}\beta }$

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {Z}}}{\Big (}\lim _{y_{1}^{0}\rightarrow \infty }-\lim _{y_{1}^{0}\rightarrow -\infty }{\Big )}\int \!\mathrm {d} ^{3}y_{1}\mathrm {e} ^{-ik_{1}\cdot y_{1}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{1}}^{\sigma _{1}}\gamma ^{0}]_{\beta _{1}}\langle \beta '\ \mathrm {out} |\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

Nótese que ha aparecido un símbolo de ordenación temporal, ya que el primer término requiere estar a la izquierda, mientras que el segundo término requiere estar a la derecha. Siguiendo los mismos pasos que antes, esta expresión se reduce a ${\displaystyle \Psi _{\beta _{1}}(y_{1})}$

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}y_{1}\mathrm {e} ^{-ik_{1}\cdot y_{1}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{1}}^{\sigma _{1}}(-i\partial \!\!\!/_{y_{1}}+m)]_{\beta _{1}}\langle \beta '\ \mathrm {out} |\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

El resto de los estados de entrada y salida se pueden extraer y reducir de la misma manera, lo que finalmente da como resultado

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |\alpha \ \mathrm {in} \rangle =\int \!\prod _{j=1}^{n}\mathrm {d} ^{4}x_{j}{\frac {i\mathrm {e} ^{-ip_{j}x_{j}}}{\sqrt {Z}}}[(i{\partial \!\!\!/}_{x_{j}}+m)u_{{\textbf {p}}_{j}}^{s_{j}}]_{\alpha _{j}}\prod _{l=1}^{n'}\mathrm {d} ^{4}y_{l}{\frac {i\mathrm {e} ^{ik_{l}y_{l}}}{\sqrt {Z}}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{l}}^{\sigma _{l}}(-i{\partial \!\!\!/}_{y_{l}}+m)]_{\beta _{l}}\langle 0|\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1})...\Psi _{\beta _{n'}}(y_{n'}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})...{\bar {\Psi }}_{\alpha _{n}}(x_{n})]|0\rangle .}$

El mismo procedimiento se puede realizar para la dispersión de partículas de tipo d, para lo cual se reemplazan ' s por ' s, y se intercambian ' s y ' s. ${\displaystyle u_{\textbf {p}}^{s}}$ ${\displaystyle v_{\textbf {p}}^{s}}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\bar {\Psi }}}$

Normalización de la intensidad de campo

La razón del factor de normalización Z en la definición de los campos de entrada y salida se puede entender tomando la relación entre el vacío y un estado de partícula única con cuatro momentos en la capa: ${\displaystyle |p\rangle }$

${\displaystyle \langle 0|\varphi (x)|p\rangle ={\sqrt {Z}}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle +\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle }$

Recordando que tanto φ como φ _en son campos escalares con su transformada de Lorentz según:

${\displaystyle \varphi (x)=e^{iP\cdot x}\varphi (0)e^{-iP\cdot x}}$

donde P ^μ es el operador de cuatro momentos, podemos escribir:

${\displaystyle e^{-ip\cdot x}\langle 0|\varphi (0)|p\rangle ={\sqrt {Z}}e^{-ip\cdot x}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(0)|p\rangle +\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle }$

Aplicando el operador de Klein–Gordon ∂ ² + m ² en ambos lados, recordando que el cuatrimomento p está en la capa y que Δ _ret es la función de Green del operador, obtenemos:

${\displaystyle 0=0+\int \mathrm {d} ^{4}y\delta ^{4}(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle ;\quad \Leftrightarrow \quad \langle 0|j(x)|p\rangle =0}$

Así llegamos a la relación:

${\displaystyle \langle 0|\varphi (x)|p\rangle ={\sqrt {Z}}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle }$

lo que explica la necesidad del factor Z . El campo in es un campo libre, por lo que solo puede conectar estados de una partícula con el vacío. Es decir, su valor esperado entre el vacío y un estado de muchas partículas es nulo. Por otro lado, el campo interactuante también puede conectar estados de muchas partículas al vacío, gracias a la interacción, por lo que los valores esperados en los dos lados de la última ecuación son diferentes y necesitan un factor de normalización intermedio. El lado derecho se puede calcular explícitamente, expandiendo el campo in en operadores de creación y aniquilación:

${\displaystyle \langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}q}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}(2\omega _{q})^{\frac {1}{2}}}}e^{-iq\cdot x}\langle 0|a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )|p\rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}q}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}e^{-iq\cdot x}\langle 0|a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} )|0\rangle }$

Utilizando la relación de conmutación entre a _en y obtenemos: ${\displaystyle a_{\mathrm {in} }^{\dagger }}$

${\displaystyle \langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle ={\frac {e^{-ip\cdot x}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}}$

conduciendo a la relación:

${\displaystyle \langle 0|\varphi (0)|p\rangle ={\sqrt {\frac {Z}{(2\pi )^{3}}}}}$

por el cual se puede calcular el valor de Z , siempre que se sepa cómo calcular . ${\displaystyle \langle 0|\varphi (0)|p\rangle }$

Notas

1. Se puede encontrar una derivación pedagógica de la fórmula de reducción LSZ en Peskin y Schroeder, Sección 7.2, ^[2] también en Srednicki, Sección I.5, ^[3] en Weinberg, pp. 436-438, ^[4] en Ticciati, sección 10.5 (usando para denotar operadores de creación), ^[5] o en notas de clase de Skaar, Universidad de Oslo. ^[6] ${\displaystyle \varphi ^{\prime }(f,t)}$
2. Extraer los operadores del ordenamiento temporal no es del todo trivial, ya que ni ni conmuta con el ordenamiento temporal . Sin embargo, cuando aplicamos tanto los operadores diferenciales como los integrales, los problemas se cancelan y el operador combinado conmuta con el ordenamiento temporal. ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {\Box }}+m^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\int }}dx^{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {T} }$

Referencias

1. Lehmann, H.; Symanzik, K.; Zimmermann, W. (enero de 1955). "Zur Formulierung quantisierter Feldtheorien". Il Nuovo Cimento (en alemán). 1 (1). Sociedad Italiana de Física: 205–225. Código Bib : 1955NCimS...1..205L. doi :10.1007/BF02731765. S2CID  121373082.
2. Peskin; Schroeder (4 de mayo de 2018). Introducción a la teoría cuántica de campos. CRC Press. doi :10.1201/9780429503559. ISBN 978-0-429-50355-9.
3. Srednicki, Mark (2007). Teoría cuántica de campos. Cambridge: Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9780511813917. ISBN 978-0-511-81391-7.
4. Weinberg, Steven (1995). La teoría cuántica de campos: volumen 1: Fundamentos. Vol. 1. Cambridge: Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9781139644167. ISBN 978-0-521-67053-1.
5. Ticciati, Robin (1999). Teoría cuántica de campos para matemáticos. Cambridge: Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511526428. ISBN 9780511526428.
6. Skaar, Johannes (2023). "La matriz S y la fórmula de reducción LSZ" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2023-10-09.