Teoría de Picard-Lefschetz

Estudio de la topología de una variedad compleja

En matemáticas, la teoría de Picard-Lefschetz estudia la topología de una variedad compleja observando los puntos críticos de una función holomorfa en la variedad. Fue introducida por Émile Picard para superficies complejas en su libro Picard & Simart (1897), y extendida a dimensiones superiores por Solomon Lefschetz  (1924). Es un análogo complejo de la teoría de Morse que estudia la topología de una variedad real observando los puntos críticos de una función real. Pierre Deligne y Nicholas Katz  (1973) extendieron la teoría de Picard-Lefschetz a variedades sobre campos más generales, y Deligne utilizó esta generalización en su prueba de las conjeturas de Weil .

Fórmula de Picard-Lefschetz

La fórmula de Picard-Lefschetz describe la monodromía en un punto crítico.

Supóngase que f es una función holomorfa de una variedad proyectiva compleja de dimensión (k+1) a la línea proyectiva P ¹ . Supóngase también que todos los puntos críticos no son degenerados y se encuentran en fibras diferentes, y tienen imágenes x ₁ ,..., x _n en P ¹ . Escojamos cualquier otro punto x en P ¹ . El grupo fundamental π ₁ ( P ¹  – { x ₁ , ...,  x _n },  x ) se genera mediante bucles w _i que rodean los puntos x _i , y hasta cada punto x _i hay un ciclo que se desvanece en la homología H _k ( Y _x ) de la fibra en  x . Nótese que esta es la homología media, ya que la fibra tiene dimensión compleja k , por lo tanto dimensión real 2k . La acción monodromía de π ₁ ( P ¹  – { x ₁ , ...,  x _n },  x ) sobre H _k ( Y _x ) se describe de la siguiente manera mediante la fórmula de Picard–Lefschetz. (La acción monodromía sobre otros grupos de homología es trivial). La acción monodromía de un generador w _i del grupo fundamental sobre  ∈  H _k ( Y _x ) se da mediante ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle w_{i}(\gamma )=\gamma +(-1)^{(k+1)(k+2)/2}\langle \gamma ,\delta _{i}\rangle \delta _{i}}$

donde δ _i es el ciclo de desaparición de x _i . Esta fórmula aparece implícitamente para k  = 2 (sin los coeficientes explícitos de los ciclos de desaparición δ _i ) en Picard y Simart (1897, p.95). Lefschetz (1924, capítulos II, V) dio la fórmula explícita en todas las dimensiones.

Ejemplo

Considérese la familia proyectiva de curvas hiperelípticas de género definidas por ${\displaystyle g}$

${\displaystyle y^{2}=(x-t)(x-a_{1})\cdots (x-a_{k})}$

donde es el parámetro y . Entonces, esta familia tiene degeneraciones de doble punto siempre que . Dado que la curva es una suma conectada de toros, la forma de intersección de una curva genérica es la matriz ${\displaystyle t\in \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle k=2g+1}$ ${\displaystyle t=a_{i}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle H_{1}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}^{\oplus g}={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&1&\cdots &0&0\\0&0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&1\\0&0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

Podemos calcular fácilmente la fórmula de Picard-Lefschetz en torno a una degeneración en . Supongamos que son los ciclos del toro -ésimo. Entonces, la fórmula de Picard-Lefschetz se lee ${\displaystyle \mathbb {A} _{t}^{1}}$ ${\displaystyle \gamma ,\delta }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle w_{j}(\gamma )=\gamma -\delta }$

Si el toro -ésimo contiene el ciclo evanescente. En caso contrario, es la función identidad. ${\displaystyle j}$

Véase también

• Lápiz Lefschetz

Referencias

• Deligne, Pierre ; Katz, Nicholas (1973), Groupes de monodromie en géométrie algébrique. II , Apuntes de conferencias de matemáticas, vol. 340, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0060505, ISBN 978-3-540-06433-6, Sr.  0354657
• Lamotke, Klaus (1981), "La topología de variedades proyectivas complejas según S. Lefschetz", Topología , 20 (1): 15–51, doi : 10.1016/0040-9383(81)90013-6 , ISSN  0040-9383, MR  0592569
• Lefschetz, S. (1924), L'analysis situs et la géométrie algébrique , Gauthier-Villars, MR  0033557
• Lefschetz, Solomon (1975), Aplicaciones de la topología algebraica. Grafos y redes, la teoría de Picard-Lefschetz y las integrales de Feynman, Applied Mathematical Sciences, vol. 16, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90137-4, Sr.  0494126
• Picard, É.; Simart, G. (1897), Teoría de las funciones algébriques de dos variables independientes. Tomo I (en francés), París: Gauthier-Villars et Fils.
• Vassiliev, VA (2002), Teoría aplicada de Picard-Lefschetz , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 97, Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090/surv/097, ISBN 978-0-8218-2948-6, Sr.  1930577