Ordinales pares e impares

En matemáticas , los ordinales pares e impares extienden el concepto de paridad de los números naturales a los números ordinales . Son útiles en algunas pruebas de inducción transfinitas .

La literatura contiene algunas definiciones equivalentes de la paridad de un ordinal α:

• Todo ordinal límite (incluido el 0) es par. El sucesor de un ordinal par es impar y viceversa. ^{[1] [2]}
• Sea α = λ + n , donde λ es un ordinal límite y n es un número natural. La paridad de α es la paridad de n . ^[3]
• Sea n el término finito de la forma normal de Cantor de α. La paridad de α es la paridad de n . ^[4]
• Sea α = ωβ + n , donde n es un número natural. La paridad de α es la paridad de n . ^[5]
• Si α = 2β, entonces α es par. En caso contrario α = 2β + 1 y α es impar. ^{[5] [6]}

A diferencia del caso de los números enteros pares , no se puede pasar a caracterizar los ordinales pares como números ordinales de la forma β2 = β + β. La multiplicación ordinal no es conmutativa, por lo que en general 2β ≠ β2. De hecho, el ordinal par ω + 4 no se puede expresar como β + β, y el número ordinal

(ω + 3)2 = (ω + 3) + (ω + 3) = ω + (3 + ω) + 3 = ω + ω + 3 = ω2 + 3

ni siquiera es.

Una aplicación simple de la paridad ordinal es la ley de idempotencia para la suma cardinal (dado el teorema del buen orden ). Dado un cardinal infinito κ, o generalmente cualquier ordinal límite κ, κ es de orden isomorfo tanto para su subconjunto de ordinales pares como para su subconjunto de ordinales impares. Por tanto se tiene la suma cardinal κ + κ = κ. ^{[2] [7]}

Referencias

1. Bruckner, Andrew M.; Judith B. Bruckner y Brian S. Thomson (1997). Análisis reales . págs.37. ISBN 0-13-458886-X.
2. Salzmann, H., T. Grundhöfer, H. Hähl y R. Löwen (2007). Los campos clásicos: características estructurales de los números reales y racionales. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs.168. ISBN 978-0-521-86516-6.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
3. Foran, James (1991). Fundamentos del análisis real. Prensa CRC. págs.110. ISBN 0-8247-8453-7.
4. Harzheim, Egbert (2005). Conjuntos ordenados . Saltador. págs.296. ISBN 0-387-24219-8.
5. Kamke, Erich (1950). Teoría de Conjuntos . Mensajero Dover. pag. 96.ISBN​ 0-486-60141-2.
6. Hausdorff, Félix (1978). Teoría de conjuntos . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 99.ISBN​ 0-8284-0119-5.
7. Roitman, Judith (1990). Introducción a la teoría de conjuntos moderna . Wiley-IEEE. págs.88. ISBN 0-471-63519-7.