En matemáticas , los ordinales pares e impares extienden el concepto de paridad de los números naturales a los números ordinales . Son útiles en algunas pruebas de inducción transfinitas .
La literatura contiene algunas definiciones equivalentes de la paridad de un ordinal α:
- Todo ordinal límite (incluido el 0) es par. El sucesor de un ordinal par es impar y viceversa. [1] [2]
- Sea α = λ + n , donde λ es un ordinal límite y n es un número natural. La paridad de α es la paridad de n . [3]
- Sea n el término finito de la forma normal de Cantor de α. La paridad de α es la paridad de n . [4]
- Sea α = ωβ + n , donde n es un número natural. La paridad de α es la paridad de n . [5]
- Si α = 2β, entonces α es par. En caso contrario α = 2β + 1 y α es impar. [5] [6]
A diferencia del caso de los números enteros pares , no se puede pasar a caracterizar los ordinales pares como números ordinales de la forma β2 = β + β. La multiplicación ordinal no es conmutativa, por lo que en general 2β ≠ β2. De hecho, el ordinal par ω + 4 no se puede expresar como β + β, y el número ordinal
- (ω + 3)2 = (ω + 3) + (ω + 3) = ω + (3 + ω) + 3 = ω + ω + 3 = ω2 + 3
ni siquiera es.
Una aplicación simple de la paridad ordinal es la ley de idempotencia para la suma cardinal (dado el teorema del buen orden ). Dado un cardinal infinito κ, o generalmente cualquier ordinal límite κ, κ es de orden isomorfo tanto para su subconjunto de ordinales pares como para su subconjunto de ordinales impares. Por tanto se tiene la suma cardinal κ + κ = κ. [2] [7]
Referencias
- ^ Bruckner, Andrew M.; Judith B. Bruckner y Brian S. Thomson (1997). Análisis reales . págs.37. ISBN 0-13-458886-X.
- ^ ab Salzmann, H., T. Grundhöfer, H. Hähl y R. Löwen (2007). Los campos clásicos: características estructurales de los números reales y racionales. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs.168. ISBN 978-0-521-86516-6.
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: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace ) - ^ Foran, James (1991). Fundamentos del análisis real. Prensa CRC. págs.110. ISBN 0-8247-8453-7.
- ^ Harzheim, Egbert (2005). Conjuntos ordenados . Saltador. págs.296. ISBN 0-387-24219-8.
- ^ ab Kamke, Erich (1950). Teoría de Conjuntos . Mensajero Dover. pag. 96.ISBN 0-486-60141-2.
- ^ Hausdorff, Félix (1978). Teoría de conjuntos . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 99.ISBN 0-8284-0119-5.
- ^ Roitman, Judith (1990). Introducción a la teoría de conjuntos moderna . Wiley-IEEE. págs.88. ISBN 0-471-63519-7.