Extensión normal

Extensión de campo algebraico

En álgebra abstracta , una extensión normal es una extensión de campo algebraico L / K para la cual todo polinomio irreducible sobre K que tiene una raíz en L se descompone en factores lineales en L. ^{[1] [2]} Esta es una de las condiciones para que una extensión algebraica sea una extensión de Galois . Bourbaki llama a dicha extensión una extensión cuasi-Galois . Para extensiones finitas , una extensión normal es idéntica a un campo de descomposición .

Definición

Sea una extensión algebraica (es decir, L es una extensión algebraica de K ), tal que (es decir, L está contenido en una clausura algebraica de K ). Entonces las siguientes condiciones, cualquiera de las cuales puede considerarse como una definición de extensión normal , son equivalentes: ^[3] ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L\subseteq {\overline {K}}}$

• Cada incrustación de L sobre K induce un automorfismo de L . ${\displaystyle {\overline {K}}}$
• L es el campo de descomposición de una familia de polinomios en . ${\displaystyle K[X]}$
• Todo polinomio irreducible que tiene raíz en L se descompone en factores lineales en L. ${\displaystyle K[X]}$

Otras propiedades

Sea L una extensión de un campo K. Entonces:

• Si L es una extensión normal de K y si E es una extensión intermedia (es decir, L  ⊇  E  ⊇  K ), entonces L es una extensión normal de E . ^[4]
• Si E y F son extensiones normales de K contenidas en L , entonces el compuesto EF y E  ∩  F también son extensiones normales de K . ^[4]

Condiciones equivalentes para la normalidad

Sea algebraico. El campo L es una extensión normal si y solo si se cumple alguna de las condiciones equivalentes que se indican a continuación. ${\displaystyle L/K}$

• El polinomio mínimo sobre K de cada elemento de L se divide en L ;
• Hay un conjunto de polinomios que se dividen en L , de modo que si son campos, entonces S tiene un polinomio que no se divide en F ; ${\displaystyle S\subseteq K[x]}$ ${\displaystyle K\subseteq F\subsetneq L}$
• Todos los homomorfismos que fijan todos los elementos de K tienen la misma imagen; ${\displaystyle L\to {\bar {K}}}$
• El grupo de automorfismos, de L , que fijan todos los elementos de K , actúa transitivamente sobre el conjunto de homomorfismos que fijan todos los elementos de K . ${\displaystyle {\text{Aut}}(L/K),}$ ${\displaystyle L\to {\bar {K}}}$

Ejemplos y contraejemplos

Por ejemplo, es una extensión normal de ya que es un cuerpo de descomposición de Por otro lado, no es una extensión normal de ya que el polinomio irreducible tiene una raíz en él (a saber, ), pero no todas (no tiene las raíces cúbicas no reales de 2). Recordemos que el cuerpo de números algebraicos es la clausura algebraica de y por lo tanto contiene Sea una raíz cúbica primitiva de la unidad. Entonces, dado que, la función es una incrustación de en cuya restricción a es la identidad. Sin embargo, no es un automorfismo de ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle x^{2}-2.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x^{3}-2}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\left.\left\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in {\overline {\mathbb {Q} }}\,\,\right|\,\,a,b,c\in \mathbb {Q} \right\}}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}\sigma :\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})\longrightarrow {\overline {\mathbb {Q} }}\\a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\longmapsto a+b\omega {\sqrt[{3}]{2}}+c\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{4}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$

Para cualquier primo la extensión es normal de grado Es un cuerpo desdoblable de Aquí denota cualquier raíz primitiva de la unidad . El cuerpo es la clausura normal (ver abajo) de ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})}$ ${\displaystyle p(p-1).}$ ${\displaystyle x^{p}-2.}$ ${\displaystyle \zeta _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$

Cierre normal

Si K es un cuerpo y L es una extensión algebraica de K , entonces existe alguna extensión algebraica M de L tal que M es una extensión normal de K . Además, hasta el isomorfismo solo hay una extensión de este tipo que es mínima, es decir, el único subcuerpo de M que contiene a L y que es una extensión normal de K es el propio M. Esta extensión se llama clausura normal de la extensión L de K .

Si L es una extensión finita de K , entonces su cierre normal también es una extensión finita.

Véase también

• Extensión de Galois
• Base normal

Citas

1. Lang 2002, pág. 237, Teorema 3.3, NOR 3.
2. Jacobson 1989, pág. 489, Sección 8.7.
3. Lang 2002, pág. 237, Teorema 3.3.
4. Lang 2002, pág. 238, Teorema 3.4.

Referencias

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Sr.  1878556
• Jacobson, Nathan (1989), Álgebra básica II (2ª ed.), W. H. Freeman, ISBN 0-7167-1933-9, Sr.  1009787