Extensión algebraica

Extensión de un campo matemático con raíces polinómicas

En matemáticas , una extensión algebraica es una extensión de campo L / K tal que cada elemento del campo mayor L es algebraico sobre el campo menor K ; es decir, cada elemento de L es una raíz de un polinomio distinto de cero con coeficientes en K. [ ^{1] [2]} Una extensión de campo que no es algebraica se dice que es trascendental y debe contener elementos trascendentales , es decir, elementos que no son algebraicos. ^{[3] [4]}

Las extensiones algebraicas del cuerpo de los números racionales se denominan cuerpos de números algebraicos y son los principales objetos de estudio de la teoría algebraica de números . Otro ejemplo de extensión algebraica común es la extensión de los números reales por los números complejos . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$

Algunas propiedades

Todas las extensiones trascendentales son de grado infinito . Esto a su vez implica que todas las extensiones finitas son algebraicas. ^[5] Sin embargo, la inversa no es cierta: hay infinitas extensiones que son algebraicas. ^[6] Por ejemplo, el cuerpo de todos los números algebraicos es una extensión algebraica infinita de los números racionales. ^[7]

Sea E un cuerpo de extensión de K , y a ∈ E . El subcuerpo más pequeño de E que contiene a K y a se denota comúnmente Si a es algebraico sobre K , entonces los elementos de K ( a ) pueden expresarse como polinomios en a con coeficientes en K ; es decir, K ( a ) es también el anillo más pequeño que contiene a K y a . En este caso, es una extensión finita de K (es un espacio vectorial K de dimensión finita ), y todos sus elementos son algebraicos sobre K . ^[8] Estas propiedades no se cumplen si a no es algebraico. Por ejemplo, y ambos son espacios vectoriales de dimensión infinita sobre ^[9] ${\displaystyle K(a).}$ ${\displaystyle K(a)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\pi )\neq \mathbb {Q} [\pi ],}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Un cuerpo algebraicamente cerrado F no tiene extensiones algebraicas propias, es decir, no tiene extensiones algebraicas E con F < E . ^[10] Un ejemplo es el cuerpo de números complejos. Todo cuerpo tiene una extensión algebraica que está algebraicamente cerrada (llamada su clausura algebraica ), pero demostrar esto en general requiere alguna forma del axioma de elección . ^[11]

Una extensión L / K es algebraica si y sólo si cada sub K - álgebra de L es un campo.

Propiedades

Se cumplen las tres propiedades siguientes: ^[12]

1. Si E es una extensión algebraica de F y F es una extensión algebraica de K , entonces E es una extensión algebraica de K.
2. Si E y F son extensiones algebraicas de K en un campo común C , entonces el compuesto EF es una extensión algebraica de K .
3. Si E es una extensión algebraica de F y E > K > F entonces E es una extensión algebraica de K.

Estos resultados finitos se pueden generalizar utilizando inducción transfinita:

4. La unión de cualquier cadena de extensiones algebraicas sobre un cuerpo base es en sí misma una extensión algebraica sobre el mismo cuerpo base.

Este hecho, junto con el lema de Zorn (aplicado a un poset apropiadamente elegido ), establece la existencia de cierres algebraicos .

Generalizaciones

La teoría de modelos generaliza la noción de extensión algebraica a teorías arbitrarias: una incrustación de M en N se denomina extensión algebraica si para cada x en N existe una fórmula p con parámetros en M , tal que p ( x ) es verdadera y el conjunto

${\displaystyle \left\{y\in N\mid p(y)\right\}}$

es finito. Resulta que al aplicar esta definición a la teoría de campos se obtiene la definición usual de extensión algebraica. El grupo de Galois de N sobre M puede definirse nuevamente como el grupo de automorfismos , y resulta que la mayor parte de la teoría de los grupos de Galois puede desarrollarse para el caso general.

Cierres algebraicos relativos

Dado un campo k y un campo K que contiene k , se define el cierre algebraico relativo de k en K como el subcampo de K que consiste en todos los elementos de K que son algebraicos sobre k , es decir, todos los elementos de K que son una raíz de algún polinomio distinto de cero con coeficientes en k .

Véase también

• Elemento integral
• Teorema de Lüroth
• Extensión de Galois
• Extensión separable
• Extensión normal

Notas

1. Fraleigh (2014), Definición 31.1, pág. 283.
2. Malik, Mordeson, Sen (1997), Definición 21.1.23, p. 453.
3. Fraleigh (2014), Definición 29.6, pág. 267.
4. Malik, Mordeson, Sen (1997), Teorema 21.1.8, p. 447.
5. Véase también Hazewinkel et al. (2004), pág. 3.
6. Fraleigh (2014), Teorema 31.18, pág. 288.
7. Fraleigh (2014), Corolario 31.13, p. 287.
8. Fraleigh (2014), Teorema 30.23, pág. 280.
9. Fraleigh (2014), ejemplo 29.8, p. 268.
10. Fraleigh (2014), Corolario 31.16, pág. 287.
11. Fraleigh (2014), Teorema 31.22, pág. 290.
12. Lang (2002) pág. 228

Referencias

• Fraleigh, John B. (2014), Un primer curso de álgebra abstracta , Pearson, ISBN 978-1-292-02496-7
• Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Álgebras, anillos y módulos, vol. 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0
• Lang, Serge (1993), "V.1: Extensiones algebraicas", Álgebra (tercera edición), Reading, Mass.: Addison-Wesley, págs. 223 y siguientes, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl0848.13001 ​
• Malik, DB; Mordeson, John N.; Sen, MK (1997), Fundamentos del álgebra abstracta , McGraw-Hill, ISBN 0-07-040035-0
• McCarthy, Paul J. (1991) [reimpresión corregida de la 2.ª edición, 1976], Extensiones algebraicas de campos, Nueva York: Dover Publications, ISBN 0-486-66651-4, Zbl  0768.12001
• Roman, Steven (1995), Teoría de campos, GTM 158, Springer-Verlag, ISBN 9780387944081
• Rotman, Joseph J. (2002), Álgebra moderna avanzada, Prentice Hall, ISBN 9780130878687