Discretización temporal

Técnica matemática

En física aplicada e ingeniería , la discretización temporal es una técnica matemática para resolver problemas transitorios , como los problemas de flujo .

Los problemas transitorios suelen resolverse mediante simulaciones de ingeniería asistida por computadora (CAE), que requieren discretizar las ecuaciones que las rigen tanto en el espacio como en el tiempo. La discretización temporal implica la integración de cada término en varias ecuaciones a lo largo de un intervalo de tiempo ( ). ${\displaystyle \Delta t}$

El dominio espacial se puede discretizar para producir una forma semidiscreta: ^[1] $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}(x,t)=F(\varphi ).~}$$

La discretización temporal de primer orden que utiliza diferencias hacia atrás es ^[2] $${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=F(\varphi ),}$$

Y la discretización de segundo orden es donde $${\displaystyle {\frac {3\varphi ^{n+1}-4\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}}{2\Delta t}}=F(\varphi ),}$$

• ${\displaystyle \varphi }$es un escalar
• ${\displaystyle n+1}$¿Cuál es el valor en la próxima ocasión? ${\displaystyle t+\Delta t}$
• ${\displaystyle n}$es el valor en el momento actual, ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle n-1}$es el valor en el tiempo anterior, ${\displaystyle t-\Delta t}$

La función se evalúa utilizando integración de tiempo implícito y explícito. ^[3] ${\displaystyle F(\varphi )}$

Descripción

La discretización temporal se realiza integrando la ecuación general discretizada a lo largo del tiempo. Primero, se suponen los valores en un volumen de control dado en un intervalo de tiempo y luego se encuentra el valor en el intervalo de tiempo. Este método establece que la integral temporal de una variable dada es un promedio ponderado entre los valores actuales y futuros. La forma integral de la ecuación se puede escribir como: donde es un peso entre 0 y 1. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+\Delta t}$ $${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=f\cdot F(\varphi ^{n+1})+(1-f)\cdot F(\varphi ^{n}),}$$ ${\displaystyle f}$

• ${\displaystyle f=0.0}$produce el esquema completamente explícito .
• ${\displaystyle f=1.0}$produce el esquema completamente implícito .
• ${\displaystyle f=0.5}$produce el esquema Crank-Nicolson .

Esta integración es válida para cualquier volumen de control y cualquier variable discretizada. La siguiente ecuación se obtiene cuando se aplica a la ecuación de gobierno, incluidos los términos de difusión , convección y fuente completamente discretizados . ^[4] $${\displaystyle \int _{t}^{t+\Delta t}F(\varphi )\,dt=[f\cdot F_{\varphi }^{t+\Delta t}+(1-f)\cdot F_{\varphi }^{t}]\,\Delta t}$$

Métodos para evaluar la funciónF(φ)

Después de discretizar la derivada temporal, queda por evaluar la función. Ahora se evalúa la función mediante integración temporal implícita y explícita. ^[5] ${\displaystyle F(\varphi )}$

Integración en tiempo implícito

Este método evalúa la función en un momento futuro. ${\displaystyle F(\varphi )}$

Formulación

La evaluación mediante integración de tiempo implícito se da como: $${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=F(\varphi ^{n+1}),}$$

Esto se llama integración implícita ya que una celda dada se relaciona con las celdas vecinas a través de : ${\displaystyle \varphi ^{n+1}}$ ${\displaystyle \varphi ^{n}}$ ${\displaystyle F(\varphi ^{n+1})}$ $${\displaystyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\Delta tF(\varphi ^{n+1}),}$$

En el caso del método implícito, la configuración es incondicionalmente estable y puede manejar grandes intervalos de tiempo ( ). Sin embargo, estabilidad no significa precisión. Por lo tanto, un intervalo grande afecta la precisión y define la resolución temporal. Sin embargo, el comportamiento puede involucrar una escala de tiempo física que necesita ser resuelta. ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$

Integración en tiempo explícito

Este método evalúa la función en un momento actual. ${\displaystyle F(\varphi )}$

Formulación

La evaluación mediante integración en tiempo explícito se da como: $${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=F(\varphi ^{n}),}$$

Y se denomina integración explícita ya que puede expresarse explícitamente en los valores de la solución existentes : ${\displaystyle \varphi ^{n+1}}$ ${\displaystyle \varphi ^{n}}$ $${\displaystyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\Delta t\,F(\varphi ^{n}),}$$

Aquí, el paso de tiempo ( ) está restringido por el límite de estabilidad del solucionador (es decir, el paso de tiempo está limitado por la condición de Courant–Friedrichs–Lewy ). Para ser preciso con respecto al tiempo, se debe utilizar el mismo paso de tiempo en todo el dominio, y para que sea estable, el paso de tiempo debe ser el mínimo de todos los pasos de tiempo locales en el dominio. Este método también se conoce como "paso de tiempo global". ${\displaystyle \Delta t}$

Ejemplos

Muchos esquemas utilizan la integración en tiempo explícito. Algunos de ellos son los siguientes:

• Método Lax-Wendroff
• Método Runge-Kutta

Véase también

• Condición de Courant-Friedrichs-Lewy .
• Análisis de estabilidad de von Neumann .
• Método de elementos finitos
• Métodos explícitos e implícitos
• Chi Wang Shu

Referencias

1. "Discretización espacial y temporal". Archivado desde el original el 5 de marzo de 2016.
2. Selección de discretización espacial y temporal
3. "Discretización del término transitorio".
4. "Ejemplos de discretización temporal".
5. Jirka Simunek