Eventos colectivamente exhaustivos

En teoría de la probabilidad y lógica, un conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo si al menos uno de los eventos debe ocurrir . Por ejemplo, al lanzar un dado de seis caras , los eventos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 de un único resultado son colectivamente exhaustivos, porque abarcan todo el rango de resultados posibles.

Otra forma de describir los eventos colectivamente exhaustivos es que su unión debe cubrir todos los eventos dentro del espacio muestral completo. Por ejemplo, se dice que los eventos A y B son colectivamente exhaustivos si

${\displaystyle A\cup B=S}$

donde S es el espacio muestral .

Comparemos esto con el concepto de un conjunto de eventos mutuamente excluyentes . En un conjunto de este tipo, no puede ocurrir más de un evento en un momento dado. (En algunas formas de exclusión mutua, solo puede ocurrir un evento). El conjunto de todas las tiradas de dados posibles es tanto mutuamente excluyente como colectivamente exhaustivo (es decir, " MECE "). Los eventos 1 y 6 son mutuamente excluyentes pero no colectivamente exhaustivos. Los eventos "par" (2, 4 o 6) y "no-6" (1, 2, 3, 4 o 5) también son colectivamente exhaustivos pero no mutuamente excluyentes. En algunas formas de exclusión mutua, solo puede ocurrir un evento, ya sea colectivamente exhaustivo o no. Por ejemplo, no se puede repetir el lanzamiento de una galleta en particular para un grupo de varios perros, sin importar cuál de ellos la agarre.

Un ejemplo de un evento que es a la vez colectivamente exhaustivo y mutuamente excluyente es lanzar una moneda. El resultado debe ser cara o cruz, o p (cara o cruz) = 1, por lo que los resultados son colectivamente exhaustivos. Cuando sale cara, no puede salir cruz, o p (cara y cruz) = 0, por lo que los resultados también son mutuamente excluyentes.

Otro ejemplo de eventos que son colectivamente exhaustivos y mutuamente excluyentes al mismo tiempo son el evento "par" (2, 4 o 6) y el evento "impar" (1, 3 o 5) en un experimento aleatorio de lanzamiento de un dado de seis caras . Ambos eventos son mutuamente excluyentes porque los resultados pares e impares nunca pueden ocurrir al mismo tiempo. La unión de los eventos "pares" e "impares" da un espacio muestral de lanzamiento del dado, por lo tanto son colectivamente exhaustivos.

Historia

El término "exhaustivo" se ha utilizado en la literatura al menos desde 1914. A continuación se ofrecen algunos ejemplos:

Lo siguiente aparece como nota a pie de página en la página 23 del texto de Couturat, El álgebra de la lógica (1914): ^[1]

"Como bien ha señalado la señora LADD-FRANKLIN (BALDWIN, Dictionary of Philosophy and Psychology, artículo "Laws of Thought" ^[2] ), el principio de contradicción no basta para definir los contradictorios; hay que añadir el principio del tercero excluido, que merece igualmente el nombre de principio de contradicción. Por eso la señora LADD-FRANKLIN propone llamarlos respectivamente principio de exclusión y principio de agotamiento , puesto que, según el primero, dos términos contradictorios son excluyentes (el uno del otro); y, según el segundo, son exhaustivos (del universo del discurso) ". (cursiva añadida para enfatizar)

En la discusión de Stephen Kleene sobre los números cardinales , en Introducción a la metamatemática (1952), utiliza el término "mutuamente excluyente" junto con "exhaustivo": ^[3]

"Por lo tanto, para dos cardinales cualesquiera M y N, las tres relaciones M < N, M = N y M > N son 'mutuamente excluyentes', es decir, no puede cumplirse más de una de ellas. ¶ No aparece hasta una etapa avanzada de la teoría... si son 'exhaustivas' , es decir, si al menos una de las tres debe cumplirse". (cursiva añadida para enfatizar, Kleene 1952:11; el original tiene barras dobles sobre los símbolos M y N).

Véase también

• Estructura del evento
• Principio MECE
• Teoría de la probabilidad
• Teoría de conjuntos

Referencias

1. Couturat, Louis (1914). El álgebra de la lógica . Traducido por Lydia Gillingham Robinson. Chicago y Londres: The Open Court Publishing Company.
2. Baldwin (1914). "Leyes del pensamiento". Diccionario de filosofía y psicología . pág. 23.
3. Kleene, Stephen C. (1952). Introducción a las metamatemáticas (sexta edición, 1971). Ámsterdam, Nueva York: North-Holland Publishing Company. ISBN 0-7204-2103-9.

Fuentes adicionales

• Kemeny, John G.; et al. (1959). Estructuras matemáticas finitas . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. ASIN  B0006AW17Y.Código de área local: 59-12841
• Tarski, Alfred (1941). Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas (reimpresión de la segunda edición de 1946 [edición de bolsillo]). Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-28462-X.