En lógica y teoría de la probabilidad , dos eventos (o proposiciones) son mutuamente excluyentes o disjuntos si no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo. Un claro ejemplo es el conjunto de resultados de un lanzamiento de moneda, que puede resultar en cara o cruz, pero no en ambas.
En el ejemplo del lanzamiento de una moneda, ambos resultados son, en teoría, colectivamente exhaustivos , lo que significa que al menos uno de los resultados debe suceder, por lo que estas dos posibilidades juntas agotan todas las posibilidades. [1] Sin embargo, no todos los eventos mutuamente excluyentes son colectivamente exhaustivos. Por ejemplo, los resultados 1 y 4 de una sola tirada de un dado de seis caras son mutuamente excluyentes (ambos no pueden suceder al mismo tiempo) pero no colectivamente exhaustivos (hay otros resultados posibles; 2, 3, 5, 6).
En lógica , dos proposiciones y son mutuamente excluyentes si y solo si no es lógicamente posible que sean verdaderas al mismo tiempo; es decir, es una tautología. Decir que más de dos proposiciones son mutuamente excluyentes, dependiendo del contexto, significa o bien 1. " es una tautología" (no es lógicamente posible que más de una proposición sea verdadera) o bien 2. " es una tautología" (no es lógicamente posible que todas las proposiciones sean verdaderas al mismo tiempo). El término mutuamente excluyentes por pares siempre significa lo primero.
En teoría de probabilidad , se dice que los eventos E 1 , E 2 , ..., E n son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de cualquiera de ellos implica la no ocurrencia de los n − 1 eventos restantes. Por lo tanto, dos eventos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir ambos. Dicho formalmente, es un conjunto de eventos mutuamente excluyentes si y solo si dado cualquier , si entonces . Como consecuencia, los eventos mutuamente excluyentes tienen la propiedad: . [2]
Por ejemplo, en una baraja estándar de 52 cartas con dos colores es imposible sacar una carta que sea roja y un trébol porque los tréboles son siempre negros. Si se saca una sola carta de la baraja, se sacará una carta roja (corazón o diamante) o una carta negra (trébol o pica). Cuando A y B son mutuamente excluyentes, P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) . [3] Para hallar la probabilidad de sacar una carta roja o un trébol, por ejemplo, se suman la probabilidad de sacar una carta roja y la probabilidad de sacar un trébol. En una baraja estándar de 52 cartas, hay veintiséis cartas rojas y trece tréboles: 26/52 + 13/52 = 39/52 o 3/4.
Para obtener una carta roja y una de tréboles, habría que sacar al menos dos cartas. La probabilidad de hacerlo en dos sorteos depende de si la primera carta extraída se reemplazó antes del segundo sorteo, ya que sin reemplazo hay una carta menos después de que se extrajo la primera carta. Las probabilidades de los eventos individuales (roja y trébol) se multiplican en lugar de sumarse. La probabilidad de sacar una roja y una de tréboles en dos sorteos sin reemplazo es entonces 26/52 × 13/51 × 2 = 676/2652 , o 13/51. Con reemplazo, la probabilidad sería 26/52 × 13/52 × 2 = 676/2704 , o 13/52.
En teoría de la probabilidad, la palabra o permite la posibilidad de que ocurran ambos eventos. La probabilidad de que ocurran uno o ambos eventos se denota P( A ∪ B ) y, en general, es igual a P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B ). [3] Por lo tanto, en el caso de sacar una carta roja o un rey, sacar un rey rojo, un no-rey rojo o un rey negro se considera un éxito. En una baraja estándar de 52 cartas, hay veintiséis cartas rojas y cuatro reyes, dos de los cuales son rojos, por lo que la probabilidad de sacar un rojo o un rey es 26/52 + 4/52 – 2/52 = 28/52.
Los eventos son colectivamente exhaustivos si todas las posibilidades de resultados se agotan con esos eventos posibles, por lo que al menos uno de esos resultados debe ocurrir. La probabilidad de que al menos uno de los eventos ocurra es igual a uno. [4] Por ejemplo, teóricamente solo hay dos posibilidades para lanzar una moneda. Lanzar cara y lanzar cruz son eventos colectivamente exhaustivos, y existe una probabilidad de que salga cara o cruz. Los eventos pueden ser tanto mutuamente excluyentes como colectivamente exhaustivos. [4] En el caso de lanzar una moneda, lanzar cara y lanzar cruz también son eventos mutuamente excluyentes. Ambos resultados no pueden ocurrir en un solo ensayo (es decir, cuando una moneda se lanza solo una vez). La probabilidad de lanzar cara y la probabilidad de lanzar cruz se pueden sumar para obtener una probabilidad de 1: 1/2 + 1/2 = 1. [5]
En estadística y análisis de regresión , una variable independiente que puede tomar solo dos valores posibles se llama variable ficticia . Por ejemplo, puede tomar el valor 0 si una observación es de un sujeto blanco o 1 si la observación es de un sujeto negro. Las dos categorías posibles asociadas con los dos valores posibles son mutuamente excluyentes, de modo que ninguna observación cae en más de una categoría, y las categorías son exhaustivas, de modo que cada observación cae en alguna categoría. A veces hay tres o más categorías posibles, que son mutuamente excluyentes por pares y son colectivamente exhaustivas; por ejemplo, menores de 18 años, de 18 a 64 años y de 65 años o más. En este caso, se construye un conjunto de variables ficticias, cada variable ficticia tiene dos categorías mutuamente excluyentes y conjuntamente exhaustivas; en este ejemplo, una variable ficticia (llamada D 1 ) sería igual a 1 si la edad es menor de 18, y sería igual a 0 en caso contrario ; una segunda variable ficticia (llamada D 2 ) sería igual a 1 si la edad está en el rango de 18 a 64, y 0 en caso contrario. En esta configuración, los pares de variables ficticias (D 1 , D 2 ) pueden tener los valores (1,0) (menores de 18), (0,1) (entre 18 y 64), o (0,0) (65 o más) (pero no (1,1), lo que implicaría sin sentido que un sujeto observado es menor de 18 y entre 18 y 64). Luego, las variables ficticias se pueden incluir como variables independientes (explicativas) en una regresión. El número de variables ficticias es siempre uno menos que el número de categorías: con las dos categorías negro y blanco hay una sola variable ficticia para distinguirlas, mientras que con las tres categorías de edad se necesitan dos variables ficticias para distinguirlas.
Estos datos cualitativos también se pueden utilizar para variables dependientes . Por ejemplo, un investigador podría querer predecir si alguien será arrestado o no, utilizando el ingreso familiar o la raza, como variables explicativas. Aquí la variable a explicar es una variable ficticia que es igual a 0 si el sujeto observado no es arrestado y es igual a 1 si el sujeto es arrestado. En tal situación, los mínimos cuadrados ordinarios (la técnica básica de regresión) se consideran inadecuados; en su lugar se utiliza la regresión probit o la regresión logística . Además, a veces hay tres o más categorías para la variable dependiente, por ejemplo, sin cargos, cargos y sentencias de muerte. En este caso, se utiliza la técnica probit multinomial o logit multinomial .
El espacio muestral es la colección o conjunto de 'todos los posibles' resultados distintos (colectivamente exhaustivos y mutuamente excluyentes) de un experimento.
