En lógica y teoría de la probabilidad , dos eventos (o proposiciones) son mutuamente excluyentes o disjuntos si no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo. Un ejemplo claro es el conjunto de resultados de un solo lanzamiento de moneda, que puede resultar en cara o cruz, pero no en ambas.
En el ejemplo del lanzamiento de una moneda, ambos resultados son, en teoría, colectivamente exhaustivos , lo que significa que al menos uno de los resultados debe ocurrir, por lo que estas dos posibilidades juntas agotan todas las posibilidades. [1] Sin embargo, no todos los eventos mutuamente excluyentes son colectivamente exhaustivos. Por ejemplo, los resultados 1 y 4 de una sola tirada de un dado de seis caras son mutuamente excluyentes (ambos no pueden ocurrir al mismo tiempo) pero no son colectivamente exhaustivos (hay otros resultados posibles; 2,3,5,6).
En lógica , dos proposiciones mutuamente excluyentes son proposiciones que lógicamente no pueden ser verdaderas en el mismo sentido al mismo tiempo. Decir que más de dos proposiciones son mutuamente excluyentes, dependiendo del contexto, significa que una no puede ser verdadera si la otra lo es, o al menos una de ellas no puede ser verdadera. El término mutuamente excluyentes por pares siempre significa que dos de ellos no pueden ser verdaderos simultáneamente.
En teoría de la probabilidad , se dice que los eventos E 1 , E 2 , ..., En n son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de cualquiera de ellos implica la no ocurrencia de los n − 1 eventos restantes. Por lo tanto, dos eventos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismo tiempo. Dicho formalmente, la intersección de cada dos de ellos es vacía (el evento nulo): A ∩ B = ∅. En consecuencia, eventos mutuamente excluyentes tienen la propiedad: P( A ∩ B ) = 0. [2]
Por ejemplo, en una baraja estándar de 52 cartas con dos colores es imposible sacar una carta que sea roja y un trébol al mismo tiempo porque los tréboles siempre son negros. Si se extrae solo una carta de la baraja, se extraerá una carta roja (corazón o diamante) o una carta negra (trébol o espada). Cuando A y B son mutuamente excluyentes, P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) . [3] Para encontrar la probabilidad de sacar una tarjeta roja o un palo, por ejemplo, sume la probabilidad de sacar una tarjeta roja y la probabilidad de sacar un palo. En una baraja estándar de 52 cartas, hay veintiséis cartas rojas y trece palos: 26/52 + 13/52 = 39/52 o 3/4.
Habría que sacar al menos dos cartas para poder sacar tanto una tarjeta roja como un trébol. La probabilidad de hacerlo en dos sorteos depende de si la primera carta extraída fue reemplazada antes del segundo sorteo, ya que sin reemplazo hay una carta menos después de que se extrajo la primera. Las probabilidades de los eventos individuales (rojo y club) se multiplican en lugar de sumarse. La probabilidad de sacar una roja y un trébol en dos sorteos sin reemplazo es entonces 26/52 × 13/51 × 2 = 676/2652 , o 13/51. Con reemplazo, la probabilidad sería 26/52 × 13/52 × 2 = 676/2704 , o 13/52.
En la teoría de la probabilidad, la palabra o permite la posibilidad de que ocurran ambos eventos. La probabilidad de que ocurra uno o ambos eventos se denota P( A ∪ B ) y, en general, es igual a P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B ). [3] Por lo tanto, en el caso de sacar una carta roja o un rey, sacar cualquier rey rojo, un no rey rojo o un rey negro se considera un éxito. En una baraja estándar de 52 cartas, hay veintiséis cartas rojas y cuatro reyes, dos de los cuales son rojos, por lo que la probabilidad de sacar una roja o un rey es 26/52 + 4/52 – 2/52 = 28/ 52.
Los eventos son colectivamente exhaustivos si todas las posibilidades de resultados se agotan con esos posibles eventos, por lo que al menos uno de esos resultados debe ocurrir. La probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos es igual a uno. [4] Por ejemplo, en teoría sólo existen dos posibilidades para lanzar una moneda al aire. Voltear una cabeza y girar una cruz son eventos colectivamente exhaustivos, y existe la probabilidad de que uno de ellos dé la vuelta a una cara o a una cruz. Los eventos pueden ser mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. [4] En el caso de lanzar una moneda, lanzar una cara y una cruz también son eventos mutuamente excluyentes. Ambos resultados no pueden ocurrir en una sola prueba (es decir, cuando se lanza una moneda sólo una vez). La probabilidad de sacar cara y la probabilidad de sacar cruz se pueden sumar para obtener una probabilidad de 1: 1/2 + 1/2 = 1. [5]
En estadística y análisis de regresión , una variable independiente que puede tomar sólo dos valores posibles se llama variable ficticia . Por ejemplo, puede tomar el valor 0 si la observación es de un sujeto blanco o 1 si la observación es de un sujeto negro. Las dos categorías posibles asociadas con los dos valores posibles son mutuamente excluyentes, de modo que ninguna observación cae en más de una categoría, y las categorías son exhaustivas, de modo que cada observación cae en alguna categoría. A veces hay tres o más categorías posibles, que se excluyen mutuamente por pares y son colectivamente exhaustivas (por ejemplo, menores de 18 años, de 18 a 64 años y 65 años o más). En este caso, se construye un conjunto de variables ficticias, cada una de las cuales tiene dos categorías mutuamente excluyentes y conjuntamente exhaustivas; en este ejemplo, una variable ficticia (llamada D 1 ) sería igual a 1 si la edad es menor de 18 años, y sería igual a 0 en caso contrario. ; una segunda variable ficticia (llamada D 2 ) sería igual a 1 si la edad está en el rango de 18 a 64 años, y 0 en caso contrario. En esta configuración, los pares de variables ficticias (D 1 , D 2 ) pueden tener los valores (1,0) (menos de 18), (0,1) (entre 18 y 64) o (0,0) ( 65 años o más) (pero no (1,1), lo que implicaría sin sentido que un sujeto observado tiene menos de 18 años y entre 18 y 64 años). Luego, las variables ficticias pueden incluirse como variables independientes (explicativas) en una regresión. El número de variables ficticias es siempre uno menos que el número de categorías: con las dos categorías blanco y negro hay una única variable ficticia para distinguirlas, mientras que con las tres categorías de edad se necesitan dos variables ficticias para distinguirlas.
Estos datos cualitativos también pueden utilizarse para variables dependientes . Por ejemplo, un investigador podría querer predecir si alguien es arrestado o no, utilizando el ingreso familiar o la raza como variables explicativas. Aquí la variable a explicar es una variable ficticia que es igual a 0 si el sujeto observado no es arrestado y es igual a 1 si el sujeto es arrestado. En tal situación, los mínimos cuadrados ordinarios (la técnica básica de regresión) se consideran inadecuados; en su lugar, se utiliza la regresión probit o la regresión logística . Además, a veces hay tres o más categorías para la variable dependiente (por ejemplo, sin cargos, cargos y sentencias de muerte). En este caso se utiliza la técnica del probit multinomial o logit multinomial .
El espacio muestral es la colección o conjunto de "todos los posibles" resultados distintos (colectivamente exhaustivos y mutuamente excluyentes) de un experimento.