Teorema de escisión

Teorema en topología algebraica

En topología algebraica , una rama de las matemáticas , el teorema de escisión es un teorema sobre homología relativa y uno de los axiomas de Eilenberg-Steenrod . Dado un espacio topológico y subespacios y tal que también es un subespacio de , el teorema dice que bajo ciertas circunstancias, podemos cortar ( escindir ) de ambos espacios de modo que las homologías relativas de los pares en sean isomorfas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X\setminus U,A\setminus U)}$ ${\displaystyle (X,A)}$

Esto ayuda en el cálculo de grupos de homología singulares , ya que a veces después de eliminar un subespacio elegido apropiadamente obtenemos algo más fácil de calcular.

Teorema

Declaración

Si son como los anteriores, decimos que se pueden escindir si el mapa de inclusión del par induce un isomorfismo en las homologías relativas: ${\displaystyle U\subseteq A\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X\setminus U,A\setminus U)}$ ${\displaystyle (X,A)}$

${\displaystyle H_{n}(X\setminus U,A\setminus U)\cong H_{n}(X,A)}$

El teorema establece que si el cierre de está contenido en el interior de , entonces puede ser escindido. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$

A menudo, los subespacios que no satisfacen este criterio de contención aún pueden ser extirpados: basta con poder encontrar una retracción de deformación de los subespacios sobre subespacios que sí lo satisfacen.

Boceto de prueba

La prueba del teorema de escisión es bastante intuitiva, aunque los detalles son bastante complejos. La idea es subdividir los símplices en un ciclo relativo en para obtener otra cadena que consiste en símplices "más pequeños" (esto se puede hacer usando subdivisión baricéntrica ^[1] ), y continuar el proceso hasta que cada símplice en la cadena se encuentre completamente en el interior de o el interior de . Dado que estos forman una cubierta abierta para y los símplices son compactos , eventualmente podemos hacer esto en un número finito de pasos. Este proceso deja la clase de homología original de la cadena sin cambios (esto dice que el operador de subdivisión es homotópico de cadena al mapa de identidad en homología). En la homología relativa , entonces, esto dice que todos los términos contenidos completamente en el interior de se pueden eliminar sin afectar la clase de homología del ciclo. Esto nos permite mostrar que el mapa de inclusión es un isomorfismo, ya que cada ciclo relativo es equivalente a uno que evita por completo. ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\setminus U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{n}(X,A)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Aplicaciones

Axiomas de Eilenberg-Steenrod

El teorema de escisión se considera uno de los axiomas de Eilenberg-Steenrod .

Secuencias de Mayer-Vietoris

La secuencia de Mayer-Vietoris se puede derivar con una combinación del teorema de escisión y la secuencia larga y exacta. ^[2]

Teorema de suspensión para homología

El teorema de escisión se puede utilizar para derivar el teorema de suspensión para homología, que dice que para todo , donde es la suspensión de . ^[3] ${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)\cong {\tilde {H}}_{n+1}(SX)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle SX}$ ${\displaystyle X}$

Invariancia de dimensión

Si los conjuntos abiertos no vacíos y son homeomorfos, entonces m = n . Esto se deduce del teorema de escisión, la larga secuencia exacta para el par , y el hecho de que la deformación se retrae sobre una esfera. En particular, no es homeomorfo a si . ^[4] ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}-x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle m\neq n}$

Véase también

• Teorema de escisión de homotopía

Referencias

1. Véase Hatcher 2002, pág. 119
2. Véase Hatcher 2002, p.149, por ejemplo.
3. Véase Hatcher 2002, p.132, por ejemplo.
4. Véase Hatcher 2002, pág. 135

Bibliografía

• Joseph J. Rotman , Introducción a la topología algebraica , Springer-Verlag, ISBN  0-387-96678-1
• Allen Hatcher , Topología algebraica. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.