Frecuencia de excedencia

La frecuencia de excedencia , a veces llamada tasa anual de excedencia , es la frecuencia con la que un proceso aleatorio excede algún valor crítico. Normalmente, el valor crítico está lejos de la media. Suele definirse en términos de la cantidad de picos del proceso aleatorio que están fuera del límite. Tiene aplicaciones relacionadas con la predicción de eventos extremos, como grandes terremotos e inundaciones .

Definición

La frecuencia de excedencia es el número de veces que un proceso estocástico excede algún valor crítico, generalmente un valor crítico alejado de la media del proceso, por unidad de tiempo. ^[1] El conteo de la excedencia del valor crítico se puede lograr ya sea contando los picos del proceso que exceden el valor crítico ^[1] o contando los cruces ascendentes del valor crítico, donde un cruce ascendente es un evento donde el valor instantáneo del proceso cruza el valor crítico con pendiente positiva. ^[1]^[2] Este artículo asume que los dos métodos de conteo de excedencia son equivalentes y que el proceso tiene un cruce ascendente y un pico por excedencia. Sin embargo, los procesos, especialmente los procesos continuos con componentes de alta frecuencia en sus densidades espectrales de potencia, pueden tener múltiples cruces ascendentes o múltiples picos en rápida sucesión antes de que el proceso vuelva a su media. ^[3]

Frecuencia de excedencia para un proceso gaussiano

Consideremos un proceso gaussiano escalar de media cero $y (t)$ con varianza $σ y 2$ y densidad espectral de potencia $Φ y (f)$ , donde $f$ es una frecuencia. Con el tiempo, este proceso gaussiano tiene picos que exceden un valor crítico $y max > 0$ . Contando el número de cruces ascendentes de $y max$ , la frecuencia de excedencia de $y max$ está dada por ^[1]^[2]

N(y_{\max})=N_{0}e^{-{\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {y_{\max}}{\sigma _{y}}}\right)^{2}}.

$N 0$ es la frecuencia de cruces ascendentes de 0 y está relacionada con la densidad espectral de potencia como

N_{0}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{\infty }{f^{2}\Phi _{y}(f)\,df}}{\int _{0}^{\infty }{\Phi _{y}(f)\,df}}}}.

Para un proceso gaussiano, la aproximación de que el número de picos por encima del valor crítico y el número de cruces ascendentes del valor crítico son los mismos es buena para $y max /σ y > 2$ y para ruido de banda estrecha . ^[1]

Para densidades espectrales de potencia que decaen menos abruptamente que $f -3$ cuando $f \to\infty$ , la integral en el numerador de $N 0$ no converge. Hoblit proporciona métodos para aproximar $N 0$ en tales casos con aplicaciones dirigidas a ráfagas continuas . ^[4]

Tiempo y probabilidad de excedencia

A medida que el proceso aleatorio evoluciona con el tiempo, el número de picos que superan el valor crítico $y max$ crece y es en sí mismo un proceso de conteo . Para muchos tipos de distribuciones del proceso aleatorio subyacente, incluidos los procesos gaussianos, el número de picos por encima del valor crítico $y max$ converge a un proceso de Poisson a medida que el valor crítico se vuelve arbitrariamente grande. Los tiempos entre llegadas de este proceso de Poisson se distribuyen exponencialmente con una tasa de decaimiento igual a la frecuencia de excedencia $N (y max)$ . ^[5] Por lo tanto, el tiempo medio entre picos, incluido el tiempo de residencia o el tiempo medio antes del primer pico, es el inverso de la frecuencia de excedencia $N -1 (y max)$ .

Si el número de picos que exceden $y max$ crece como un proceso de Poisson, entonces la probabilidad de que en el tiempo $t$ aún no haya habido ningún pico que exceda $y max$ es $e - N (y max) t$ . ^[6] Su complemento,

p_{ex}(t)=1-e^{-N(y_{\max })t},

es la probabilidad de excedencia , la probabilidad de que $y max$ haya sido excedido al menos una vez en el tiempo $t$ . ^[7]^[8] Esta probabilidad puede ser útil para estimar si un evento extremo ocurrirá durante un período de tiempo específico, como la vida útil de una estructura o la duración de una operación.

Si $N (y max) t$ es pequeño, por ejemplo para la frecuencia de un evento raro que ocurre en un período de tiempo corto, entonces

p_{ex}(t)\approx N(y_{\max })t.

Bajo este supuesto, la frecuencia de excedencia es igual a la probabilidad de excedencia por unidad de tiempo , $p ex / t$ , y la probabilidad de excedencia se puede calcular simplemente multiplicando la frecuencia de excedencia por el período de tiempo especificado.

Aplicaciones

Probabilidad de grandes terremotos ^[9]
Pronóstico del tiempo ^[10]
Hidrología y cargas sobre estructuras hidráulicas ^[11]
Cargas de ráfagas en aeronaves ^[12]

Véase también

Notas

^ abcde Hoblit 1988, págs.
^Ab Rice 1945, págs. 54-55.
^ Richardson et al. 2014, págs. 2029–2030.
^ Hoblit 1988, págs. 229–235.
^ Leadbetter, Lindgren y Rootzén 1983, págs. 176, 238, 260.
^ Feller 1968, págs. 446–448.
^ Hoblit 1988, págs. 65-66.
^ Richardson y otros. 2014, pág. 2027.
^ Earthquake Hazards Program (2016). "Earthquake Hazards 101 – the Basics" (Peligros sísmicos 101: conceptos básicos). Servicio Geológico de Estados Unidos . Consultado el 26 de abril de 2016 .
^ Centro de Predicción Climática (2002). "Comprensión de los gráficos de pronóstico de "probabilidad de excedencia" para temperatura y precipitación". Servicio Meteorológico Nacional . Consultado el 26 de abril de 2016 .
^ García, René (2015). "Sección 2: Probabilidad de excedencia". Manual de diseño hidráulico . Departamento de Transporte de Texas . Consultado el 26 de abril de 2016 .
^ Hoblit 1988, cap. 4.

Referencias

Hoblit, Frederic M. (1988). Cargas de ráfagas en aeronaves: conceptos y aplicaciones . Washington, DC: Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica, Inc. ISBN 0930403452.
Feller, William (1968). Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . Vol. 1 (3.ª ed.). Nueva York: John Wiley and Sons. ISBN 9780471257080.
Leadbetter, MR; Lindgren, Georg; Rootzén, Holger (1983). Extremos y propiedades relacionadas de secuencias y procesos aleatorios . Nueva York: Springer–Verlag. ISBN 9781461254515.
Rice, SO (1945). "Análisis matemático del ruido aleatorio: Parte III Propiedades estadísticas de las corrientes de ruido aleatorio". Bell System Technical Journal . 24 (1): 46–156. doi :10.1002/(ISSN)1538-7305c.
Richardson, Johnhenri R.; Atkins, Ella M. ; Kabamba, Pierre T.; Girard, Anouck R. (2014). "Márgenes de seguridad para el vuelo a través de ráfagas estocásticas". Revista de orientación, control y dinámica . 37 (6). AIAA: 2026–2030. doi :10.2514/1.G000299. hdl : 2027.42/140648 .