Posit euleriano

En matemáticas combinatorias , un conjunto poético euleriano es un conjunto poético graduado en el que cada intervalo no trivial tiene el mismo número de elementos de rango par que de rango impar. Un conjunto poético euleriano que es un retículo es un retículo euleriano . Estos objetos reciben su nombre de Leonhard Euler . Los retículos eulerianos generalizan los retículos de caras de politopos convexos y muchas investigaciones recientes se han dedicado a extender los resultados conocidos de la combinatoria poliédrica , como varias restricciones sobre los vectores f de politopos simpliciales convexos , a este contexto más general.

Ejemplos

• La red de caras de un politopo convexo , formada por sus caras, junto con el elemento más pequeño, la cara vacía, y el elemento más grande, el propio politopo, es una red euleriana. La condición de pares e impares se desprende de la fórmula de Euler .
• Cualquier esfera de homología generalizada simple es una red euleriana.
• Sea L un complejo de celdas regular tal que | L | es una variedad con la misma característica de Euler que la esfera de la misma dimensión (esta condición es nula si la dimensión es impar). Entonces el conjunto de celdas de L , ordenado por la inclusión de sus clausuras, es euleriano.
• Sea W un grupo de Coxeter con orden de Bruhat . Entonces ( W ,≤) es un conjunto parcial euleriano.

Propiedades

• La condición definitoria de un conjunto poseriano P se puede expresar de manera equivalente en términos de su función de Möbius :

${\displaystyle \mu _{P}(x,y)=(-1)^{|y|-|x|}{\text{ for all }}x\leq y.}$

• El dual de un poset euleriano con un elemento superior, obtenido invirtiendo el orden parcial, es euleriano.
• Richard Stanley definió el h -vector tórico de un conjunto ordenado , que generaliza el h -vector de un politopo simplicial. ^[1] Demostró que las ecuaciones de Dehn-Sommerville

${\displaystyle h_{k}=h_{d-k}\,}$

se cumple para un conjunto euleriano arbitrario de rango d  + 1. ^[2] Sin embargo, para un conjunto euleriano que surge de un complejo de celdas regular o un politopo convexo, el h -vector tórico no determina, ni es determinado por, el número de celdas o caras de diferente dimensión y el h -vector tórico no tiene una interpretación combinatoria directa.

Notas

1. Combinatoria enumerativa , 3.14, pág. 138; anteriormente llamado vector h generalizado .
2. Combinatoria enumerativa , Teorema 3.14.9

Referencias

• Richard P. Stanley , Combinatoria enumerativa, volumen 1. Cambridge University Press, 1997 ISBN  0-521-55309-1

Véase también

• Politopo abstracto
• Producto estrella , un método para combinar conjuntos parciales conservando la propiedad euleriana