Ordenamiento estocástico

En teoría de probabilidad y estadística , un orden estocástico cuantifica el concepto de que una variable aleatoria es "mayor" que otra. Estos suelen ser órdenes parciales , de modo que una variable aleatoria puede no ser estocásticamente mayor, menor o igual que otra variable aleatoria . Existen muchos órdenes diferentes, que tienen diferentes aplicaciones. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Orden estocástica habitual

Una variable aleatoria real es menor que una variable aleatoria en el "orden estocástico habitual" si ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \Pr(A>x)\leq \Pr(B>x){\text{ for all }}x\in (-\infty ,\infty ),}$

donde denota la probabilidad de un evento. Esto a veces se denota o . ${\displaystyle \Pr(\cdot )}$ ${\displaystyle A\preceq B}$ ${\displaystyle A\leq _{st}B}$

Si además para algún , entonces es estocásticamente estrictamente menor que , a veces denotado . En la teoría de decisiones , bajo esta circunstancia, se dice que B es estocásticamente dominante de primer orden sobre A . ${\displaystyle \Pr(A>x)<\Pr(B>x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\prec B}$

Caracterizaciones

Las siguientes reglas describen situaciones en las que una variable aleatoria es estocásticamente menor o igual que otra. También existen versiones estrictas de algunas de estas reglas.

1. ${\displaystyle A\preceq B}$si y sólo si para todas las funciones no decrecientes , . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\rm {E}}[u(A)]\leq {\rm {E}}[u(B)]}$
2. Si no es decreciente y entonces ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A\preceq B}$ ${\displaystyle u(A)\preceq u(B)}$
3. Si es creciente en cada variable y y son conjuntos independientes de variables aleatorias con para cada , entonces y en particular Además, las estadísticas de orden º satisfacen . ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}\preceq B_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u(A_{1},\dots ,A_{n})\preceq u(B_{1},\dots ,B_{n})}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}A_{i}\preceq \sum _{i=1}^{n}B_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{(i)}\preceq B_{(i)}}$
4. Si dos secuencias de variables aleatorias y , con para todos cada una convergen en la distribución , entonces sus límites satisfacen . ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}\preceq B_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A\preceq B}$
5. Si , y son variables aleatorias tales que y para todos y tales que , entonces . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \sum _{c}\Pr(C=c)=1}$ ${\displaystyle \Pr(A>u|C=c)\leq \Pr(B>u|C=c)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \Pr(C=c)>0}$ ${\displaystyle A\preceq B}$

Otras propiedades

Si y entonces (las variables aleatorias son iguales en distribución). ${\displaystyle A\preceq B}$ ${\displaystyle {\rm {E}}[A]={\rm {E}}[B]}$ ${\displaystyle A\mathrel {\overset {d}{=}} B}$

Dominio estocástico

Las relaciones de dominancia estocástica son una familia de ordenamientos estocásticos utilizados en la teoría de decisiones : ^[1]

• Dominio estocástico de orden cero: si y solo si para todas las realizaciones de estas variables aleatorias y para al menos una realización. ${\displaystyle A\prec _{(0)}B}$ ${\displaystyle A\leq B}$ ${\displaystyle A<B}$
• Dominancia estocástica de primer orden: si y solo si para todo y existe tal que . ${\displaystyle A\prec _{(1)}B}$ ${\displaystyle \Pr(A>x)\leq \Pr(B>x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Pr(A>x)<\Pr(B>x)}$
• Dominancia estocástica de segundo orden: si y solo si para todos , con estricta desigualdad en algún . ${\displaystyle A\prec _{(2)}B}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}[\Pr(B>t)-\Pr(A>t)]\,dt\geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

También existen nociones de orden superior de dominancia estocástica. Con las definiciones anteriores, tenemos . ${\displaystyle A\prec _{(i)}B\implies A\prec _{(i+1)}B}$

Orden estocástico multivariante

Una variable aleatoria con valor es menor que una variable aleatoria con valor en el "orden estocástico habitual" si ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\rm {E}}[f(A)]\leq {\rm {E}}[f(B)]{\text{ for all bounded, increasing functions }}f\colon \mathbb {R} ^{d}\longrightarrow \mathbb {R} }$

Existen otros tipos de órdenes estocásticos multivariados. Por ejemplo, el orden ortante superior e inferior, que son similares al orden estocástico unidimensional habitual. Se dice que es menor que en el orden ortante superior si ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \Pr(A>\mathbf {x} )\leq \Pr(B>\mathbf {x} ){\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}}$

y es menor que en orden ortante inferior si ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \Pr(A\leq \mathbf {x} )\leq \Pr(B\leq \mathbf {x} ){\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}}$

Los tres tipos de orden también tienen representaciones integrales, es decir, para un orden particular es menor que si y solo si para todos en una clase de funciones . ^[3] se denomina entonces generador del orden respectivo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\rm {E}}[f(A)]\leq {\rm {E}}[f(B)]}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{d}\longrightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Otras órdenes de dominio

Los siguientes órdenes estocásticos son útiles en la teoría de la elección social aleatoria . Se utilizan para comparar los resultados de las funciones de elección social aleatoria, con el fin de comprobar su eficiencia u otros criterios deseables. ^[4] Los órdenes de dominancia que se indican a continuación están ordenados desde el más conservador al menos conservador. Se ejemplifican con variables aleatorias sobre el soporte finito {30,20,10}.

La dominancia determinista , denotada como , significa que cada resultado posible de es al menos tan bueno como cada resultado posible de : para todo x < y , . En otras palabras: . Por ejemplo, . ${\displaystyle A\succeq _{dd}B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Pr[A=x]\cdot \Pr[B=y]=0}$ ${\displaystyle \Pr[A\geq B]=1}$ ${\displaystyle 0.6*30+0.4*20\succeq _{dd}0.5*20+0.5*10}$

La dominancia bilineal , denotada por , significa que, para cada resultado posible, la probabilidad de que se obtenga el mejor y el peor es al menos tan grande como la probabilidad a la inversa: para todo x<y, por ejemplo, . ${\displaystyle A\succeq _{bd}B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Pr[A=x]\cdot \Pr[B=y]\leq \Pr[A=y]\cdot \Pr[B=x]}$ ${\displaystyle 0.5*30+0.5*20\succeq _{bd}0.33*30+0.33*20+0.34*10}$

La dominancia estocástica (ya mencionada anteriormente), denotada como , significa que, para cada resultado posible x , la probabilidad de que se obtenga al menos x es al menos tan grande como la probabilidad de que se obtenga al menos x : para todo x, . Por ejemplo, . ${\displaystyle A\succeq _{sd}B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Pr[A\geq x]\geq \Pr[B\geq x]}$ ${\displaystyle 0.5*30+0.5*10\succeq _{sd}0.5*20+0.5*10}$

El predominio de comparación por pares , denotado como , significa que la probabilidad de que eso produzca un mejor resultado que es mayor que a la inversa: . Por ejemplo, . ${\displaystyle A\succeq _{pc}B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Pr[A\geq B]\geq \Pr[B\geq A]}$ ${\displaystyle 0.67*30+0.33*10\succeq _{pc}1.0*20}$

La dominancia lexicográfica descendente, denotada como , significa que tiene una probabilidad mayor que de obtener el mejor resultado, o ambas , y tiene la misma probabilidad de obtener el mejor resultado, pero tiene una probabilidad mayor que de obtener el segundo mejor resultado, etc. La dominancia lexicográfica ascendente se define de manera análoga en función de la probabilidad de obtener los peores resultados. Véase dominancia lexicográfica . ${\displaystyle A\succeq _{dl}B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Otras órdenes estocásticas

Orden de tasa de riesgo

La tasa de riesgo de una variable aleatoria no negativa con función de distribución y función de densidad absolutamente continuas se define como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle r(t)={\frac {d}{dt}}(-\log(1-F(t)))={\frac {f(t)}{1-F(t)}}.}$

Dadas dos variables no negativas y con distribución absolutamente continua y , y con funciones de tasa de riesgo y , respectivamente, se dice que es menor que en el orden de tasa de riesgo (denotado como ) si ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\preceq _{hr}Y}$

${\displaystyle r(t)\geq q(t)}$Para todos , ${\displaystyle t\geq 0}$

o equivalentemente si

${\displaystyle {\frac {1-F(t)}{1-G(t)}}}$está disminuyendo en . ${\displaystyle t}$

Orden de razón de verosimilitud

Sean y dos variables aleatorias continuas (o discretas) con densidades (o densidades discretas) y , respectivamente, de modo que aumenta en sobre la unión de los soportes de y ; en este caso, es menor que en el orden de razón de verosimilitud ( ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\left(t\right)}$ ${\displaystyle g\left(t\right)}$ ${\displaystyle {\frac {g\left(t\right)}{f\left(t\right)}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\preceq _{lr}Y}$

Órdenes de variabilidad

Si dos variables tienen la misma media, se pueden comparar en función de cuán "dispersas" son sus distribuciones. Esto se refleja en cierta medida en la varianza , pero de manera más completa en un rango de órdenes estocásticos. ^{[ cita requerida ]}

Orden convexo

El orden convexo es un tipo especial de orden de variabilidad. En el orden convexo, es menor que si y solo si para todos los convexos , . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\rm {E}}[u(A)]\leq {\rm {E}}[u(B)]}$

Orden de la transformada de Laplace

El orden de la transformada de Laplace compara tanto el tamaño como la variabilidad de dos variables aleatorias. De manera similar al orden convexo, el orden de la transformada de Laplace se establece comparando la esperanza de una función de la variable aleatoria donde la función pertenece a una clase especial: . Esto hace que el orden de la transformada de Laplace sea un orden estocástico integral con el conjunto generador dado por el conjunto de funciones definido anteriormente con un número real positivo. ${\displaystyle u(x)=-\exp(-\alpha x)}$ ${\displaystyle \alpha }$

Monotonía realizable

Considerando una familia de distribuciones de probabilidad en un espacio parcialmente ordenado indexado con (donde es otro espacio parcialmente ordenado, se puede definir el concepto de monotonía completa o realizable. Esto significa que existe una familia de variables aleatorias en el mismo espacio de probabilidad, tal que la distribución de es y casi seguramente siempre que . Significa la existencia de un acoplamiento monótono . Véase ^[5] ${\displaystyle ({P}_{\alpha })_{\alpha \in F}}$ ${\displaystyle (E,\preceq )}$ ${\displaystyle \alpha \in F}$ ${\displaystyle (F,\preceq )}$ ${\displaystyle (X_{\alpha })_{\alpha }}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle {P}_{\alpha }}$ ${\displaystyle X_{\alpha }\preceq X_{\beta }}$ ${\displaystyle \alpha \preceq \beta }$

Véase también

• Dominio estocástico
• Estocástico

Referencias

1. Perrakis, Stylianos (2019). Precio de opciones de dominancia estocástica . Palgrave Macmillan, Cham. doi :10.1007/978-3-030-11590-6_1. ISBN . 978-3-030-11589-0.
2. Definición 2.3 en Thibaut Lux, Antonin Papapantoleon: "Límites de Fréchet-Hoeffding mejorados para d-cópulas y aplicaciones en finanzas sin modelo". Annals of Applied Probability 27, 3633-3671, 2017
3. Alfred Müller, Dietrich Stoyan: Métodos de comparación para modelos estocásticos y riesgos. Wiley, Chichester 2002, ISBN 0-471-49446-1 , pág. 2. 
4. Felix Brandt (26 de octubre de 2017). "Tirando los dados: resultados recientes en la elección social probabilística". En Endriss, Ulle (ed.). Tendencias en la elección social computacional . Lulu.com. ISBN 978-1-326-91209-3.
5. Monotonía estocástica y monotonía realizable James Allen Fill y Motoya Machida, The Annals of Probability, vol. 29, n.º 2 (abril de 2001), págs. 938-978, publicado por: Institute of Mathematical Statistics, URL estable: https://www.jstor.org/stable/2691998

Bibliografía

• M. Shaked y JG Shanthikumar, Órdenes estocásticas y sus aplicaciones , Associated Press, 1994.
• EL Lehmann. Familias ordenadas de distribuciones. Annals of Mathematical Statistics , 26:399–419, 1955.