Estimador S

El objetivo de los estimadores S es tener un estimador de regresión simple de alto desglose , que comparta la flexibilidad y las buenas propiedades asintóticas de los estimadores M. Se eligió el nombre "estimadores S" porque se basan en estimadores de escala.

Consideraremos estimadores de escala definidos por una función , que satisfacen ${\displaystyle \rho }$

• R1 – es simétrico, continuamente diferenciable y . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho (0)=0}$
• R2 – existe algo que es estrictamente creciente en ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle [c,\infty ]}$

Para cualquier muestra de números reales, definimos la estimación de escala como la solución de ${\displaystyle \{r_{1},...,r_{n}\}}$ ${\displaystyle s(r_{1},...,r_{n})}$

${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\rho (r_{i}/s)=K}$,

¿Dónde está el valor esperado de para una distribución normal estándar ? (Si hay más soluciones para la ecuación anterior, entonces tomamos la que tiene la solución más pequeña para s; si no hay solución, entonces ponemos .) ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle s(r_{1},...,r_{n})=0}$

Definición:

Sea una muestra de datos de regresión con p-dimensional . Para cada vector , obtenemos residuos resolviendo la ecuación de escala anterior, donde se satisfacen R1 y R2. El estimador S está definido por ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s(r_{1}(\theta ),...,r_{n}(\theta ))}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}=\min _{\theta }\,s(r_{1}(\theta ),...,r_{n}(\theta ))}$

y el estimador de escala final es entonces ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}=s(r_{1}({\hat {\theta }}),...,r_{n}({\hat {\theta }}))}$. ^[1]

Referencias

1. P. Rousseeuw y V. Yohai, Regresión robusta mediante estimadores S, del libro: Análisis de series de tiempo robusto y no lineal, páginas 256-272, 1984