Proceso estacionario

Tipo de proceso estocástico

En matemáticas y estadística , un proceso estacionario (o un proceso estricto/estrictamente estacionario o un proceso fuerte/fuertemente estacionario ) es un proceso estocástico cuya distribución de probabilidad conjunta incondicional no cambia cuando se desplaza en el tiempo. ^[1] En consecuencia, parámetros como la media y la varianza tampoco cambian con el tiempo. Si dibuja una línea en medio de un proceso estacionario, entonces debería ser plana; puede tener ciclos "estacionales" alrededor de la línea de tendencia, pero en general no tiene una tendencia hacia arriba ni hacia abajo.

Dado que la estacionariedad es una suposición subyacente a muchos procedimientos estadísticos utilizados en el análisis de series de tiempo , los datos no estacionarios a menudo se transforman para volverse estacionarios. La causa más común de violación de la estacionariedad es una tendencia en la media, que puede deberse a la presencia de una raíz unitaria o a una tendencia determinista. En el primer caso de raíz unitaria, los shocks estocásticos tienen efectos permanentes y el proceso no es de reversión a la media . En el último caso de tendencia determinista, el proceso se denomina proceso de tendencia estacionaria , y los shocks estocásticos sólo tienen efectos transitorios, después de los cuales la variable tiende hacia una media que evoluciona deterministamente (no constante).

Un proceso de tendencia estacionaria no es estrictamente estacionario, pero puede transformarse fácilmente en un proceso estacionario eliminando la tendencia subyacente, que es únicamente una función del tiempo. De manera similar, los procesos con una o más raíces unitarias pueden volverse estacionarios mediante la diferenciación. Un tipo importante de proceso no estacionario que no incluye un comportamiento de tendencia es un proceso cicloestacionario , que es un proceso estocástico que varía cíclicamente con el tiempo.

Para muchas aplicaciones, la estacionariedad en sentido estricto es demasiado restrictiva. Luego se emplean otras formas de estacionariedad, como la estacionariedad de sentido amplio o la estacionariedad de orden N. Las definiciones de los diferentes tipos de estacionariedad no son consistentes entre los diferentes autores (ver Otra terminología).

Estacionariedad en sentido estricto

Definición

Formalmente, sea un proceso estocástico y represente la función de distribución acumulativa de la distribución conjunta incondicional (es decir, sin referencia a ningún valor inicial particular) de at times . Entonces, se dice que es estrictamente estacionario , fuertemente estacionario o estacionario en sentido estricto si ^{[2] : p. 155} ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle F_{X}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{n}+\tau })}$ ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle t_{1}+\tau ,\ldots ,t_{n}+\tau }$ ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$

Como no afecta , es independiente del tiempo. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle F_{X}(\cdot )}$ ${\displaystyle F_{X}}$

Ejemplos

Arriba se muestran dos procesos de series de tiempo simulados, uno estacionario y otro no estacionario. Para cada proceso se informa la estadística de prueba aumentada de Dickey-Fuller (ADF) ; La no estacionariedad no se puede rechazar para el segundo proceso a un nivel de significancia del 5% .

El ruido blanco es el ejemplo más simple de un proceso estacionario.

Un ejemplo de un proceso estacionario en tiempo discreto donde el espacio muestral también es discreto (de modo que la variable aleatoria puede tomar uno de N valores posibles) es un esquema de Bernoulli . Otros ejemplos de un proceso estacionario en tiempo discreto con espacio muestral continuo incluyen algunos procesos autorregresivos y de promedio móvil que son subconjuntos del modelo de promedio móvil autorregresivo . Los modelos con un componente autorregresivo no trivial pueden ser estacionarios o no estacionarios, dependiendo de los valores de los parámetros, y casos especiales no estacionarios importantes son aquellos en los que existen raíces unitarias en el modelo.

Ejemplo 1

Sea cualquier variable aleatoria escalar y defina una serie de tiempo , por ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$

${\displaystyle X_{t}=Y\qquad {\text{ for all }}t.}$

Entonces es una serie de tiempo estacionaria, en la que las realizaciones constan de una serie de valores constantes, con un valor constante diferente para cada realización. En este caso no se aplica una ley de números grandes , ya que el valor límite de un promedio de una única realización toma el valor aleatorio determinado por , en lugar de tomar el valor esperado de . ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

El tiempo promedio de no converge ya que el proceso no es ergódico . ${\displaystyle X_{t}}$

Ejemplo 2

Como ejemplo adicional de un proceso estacionario para el cual cualquier realización única tiene una estructura aparentemente libre de ruido, tengamos una distribución uniforme y definamos la serie de tiempo por ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$

${\displaystyle X_{t}=\cos(t+Y)\quad {\text{ for }}t\in \mathbb {R} .}$

Entonces es estrictamente estacionario ya que ( módulo ) sigue la misma distribución uniforme que para cualquiera . ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle (t+Y)}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle t}$

Ejemplo 3

Tenga en cuenta que un ruido blanco débil no es necesariamente estrictamente estacionario. Sea una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo y defina la serie de tiempo. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (0,2\pi )}$ ${\displaystyle \left\{z_{t}\right\}}$

${\displaystyle z_{t}=\cos(t\omega )\quad (t=1,2,...)}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} (z_{t})&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos(t\omega )\,d\omega =0,\\\operatorname {Var} (z_{t})&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos ^{2}(t\omega )\,d\omega =1/2,\\\operatorname {Cov} (z_{t},z_{j})&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos(t\omega )\cos(j\omega )\,d\omega =0\quad \forall t\neq j.\end{aligned}}}$

También lo es un ruido blanco en el sentido débil (la media y las covarianzas cruzadas son cero, y las varianzas son todas iguales), sin embargo, no es estrictamente estacionario. ${\displaystyle \{z_{t}\}}$

Estacionariedad de orden N

En la Ec.1 , la distribución de muestras del proceso estocástico debe ser igual a la distribución de las muestras desplazadas en el tiempo para todos . La estacionariedad de orden N es una forma más débil de estacionariedad en la que solo se solicita para todos hasta un cierto orden . Se dice que un proceso aleatorio es estacionario de orden N si: ^{[2] : p. 152} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$

Estacionariedad débil o de sentido amplio

Definición

Una forma más débil de estacionariedad comúnmente empleada en el procesamiento de señales se conoce como estacionariedad de sentido débil , estacionariedad de sentido amplio (WSS) o estacionariedad de covarianza . Los procesos aleatorios WSS solo requieren que el primer momento (es decir, la media) y la autocovarianza no varíen con respecto al tiempo y que el segundo momento sea finito para todos los tiempos. Cualquier proceso estrictamente estacionario que tenga una media finita y una covarianza también es WSS. ^{[3] : pág. 299}

Entonces, un proceso aleatorio de tiempo continuo que es WSS tiene las siguientes restricciones en su función media y función de autocovarianza : ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle m_{X}(t)\triangleq \operatorname {E} [X_{t}]}$ ${\displaystyle K_{XX}(t_{1},t_{2})\triangleq \operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]}$

La primera propiedad implica que la función media debe ser constante. La segunda propiedad implica que la función de autocovarianza depende solo de la diferencia entre y y solo necesita estar indexada por una variable en lugar de dos variables. ^{[2] : pág. 159} Así, en lugar de escribir, ${\displaystyle m_{X}(t)}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

${\displaystyle \,\!K_{XX}(t_{1}-t_{2},0)\,}$

la notación suele abreviarse con la sustitución : ${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$

${\displaystyle K_{XX}(\tau )\triangleq K_{XX}(t_{1}-t_{2},0)}$

Esto también implica que la autocorrelación depende sólo de , es decir ${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$

${\displaystyle \,\!R_{X}(t_{1},t_{2})=R_{X}(t_{1}-t_{2},0)\triangleq R_{X}(\tau ).}$

La tercera propiedad dice que los segundos momentos deben ser finitos para cualquier tiempo . ${\displaystyle t}$

Motivación

La principal ventaja de la estacionariedad de sentido amplio es que coloca las series temporales en el contexto de los espacios de Hilbert . Sea H el espacio de Hilbert generado por { x ( t )} (es decir, el cierre del conjunto de todas las combinaciones lineales de estas variables aleatorias en el espacio de Hilbert de todas las variables aleatorias integrables al cuadrado en el espacio de probabilidad dado). Por la precisión positiva de la función de autocovarianza, del teorema de Bochner se deduce que existe una medida positiva en la recta real tal que H es isomorfa al subespacio de Hilbert de L ² ( μ ) generado por { e ^{−2 π iξ⋅t} } . Esto da entonces la siguiente descomposición de tipo Fourier para un proceso estocástico estacionario en el tiempo continuo: existe un proceso estocástico con incrementos ortogonales tales que, para todos ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \omega _{\xi }}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle X_{t}=\int e^{-2\pi i\lambda \cdot t}\,d\omega _{\lambda },}$

donde la integral del lado derecho se interpreta en un sentido adecuado (Riemann). El mismo resultado es válido para un proceso estacionario de tiempo discreto, con la medida espectral ahora definida en el círculo unitario.

Al procesar señales aleatorias WSS con filtros lineales invariantes en el tiempo ( LTI ) , resulta útil pensar en la función de correlación como un operador lineal . Dado que es un operador circulante (depende sólo de la diferencia entre los dos argumentos), sus funciones propias son las exponenciales complejas de Fourier . Además, dado que las funciones propias de los operadores LTI también son exponenciales complejas , el procesamiento LTI de señales aleatorias WSS es muy manejable: todos los cálculos se pueden realizar en el dominio de la frecuencia . Por tanto, el supuesto WSS se emplea ampliamente en algoritmos de procesamiento de señales .

Definición de proceso estocástico complejo

En el caso de un proceso estocástico complejo, la función de autocovarianza se define como y, además de los requisitos de la Ec.3 , se requiere que la función de pseudoautocovarianza dependa únicamente del desfase temporal. En fórmulas, es WSS, si ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]}$ ${\displaystyle J_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]}$ ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$

Estacionariedad conjunta

El concepto de estacionariedad puede extenderse a dos procesos estocásticos.

Estacionariedad conjunta en sentido estricto

Dos procesos estocásticos se denominan conjuntamente estacionarios en sentido estricto si su distribución acumulativa conjunta permanece sin cambios bajo cambios de tiempo, es decir, si ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$ ${\displaystyle F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})}$

Estacionariedad conjunta ( M + N ) de orden ésimo

Dos procesos aleatorios y se dice que son estacionarios conjuntamente ( M  +  N ) de orden ésimo si: ^{[2] : p. 159} ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$

Estacionariedad conjunta débil o de sentido amplio

Dos procesos estocásticos se denominan conjuntamente estacionarios en sentido amplio si ambos son estacionarios en sentido amplio y su función de covarianza cruzada depende únicamente de la diferencia temporal . Esto se puede resumir de la siguiente manera: ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$ ${\displaystyle K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]}$ ${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$

Relación entre tipos de estacionariedad

• Si un proceso estocástico es estacionario de orden N , entonces también es estacionario de orden M para todos . ${\displaystyle M\leq N}$
• Si un proceso estocástico es estacionario de segundo orden ( ) y tiene segundos momentos finitos, entonces también es estacionario en sentido amplio. ^{[2] : pág. 159} ${\displaystyle N=2}$
• Si un proceso estocástico es estacionario en sentido amplio, no es necesariamente estacionario de segundo orden. ^{[2] : pág. 159}
• Si un proceso estocástico es estacionario en sentido estricto y tiene segundos momentos finitos, es estacionario en sentido amplio. ^{[3] : pág. 299}
• Si dos procesos estocásticos son conjuntamente estacionarios de orden ( M  +  N ), esto no garantiza que los procesos individuales sean estacionarios de orden M respectivamente N. ^{[2] : pág. 159}

Otra terminología

La terminología utilizada para tipos de estacionariedad distintos de la estacionariedad estricta puede ser bastante confusa. A continuación se muestran algunos ejemplos.

• Priestley usa estacionario hasta el orden m si se aplican condiciones similares a las dadas aquí para la estacionariedad de sentido amplio en relación con momentos hasta el orden m . ^{[4] [5]} Por lo tanto, la estacionariedad en sentido amplio sería equivalente a "estacionaria de orden 2", que es diferente de la definición de estacionariedad de segundo orden que se da aquí.
• Honarkhah y Caers también utilizan el supuesto de estacionariedad en el contexto de la geoestadística de puntos múltiples, donde se supone que las estadísticas de n puntos más altas son estacionarias en el dominio espacial. ^[6]
• Tahmasebi y Sahimi han presentado una metodología adaptativa basada en Shannon que puede utilizarse para modelar cualquier sistema no estacionario. ^[7]

diferenciación

Una forma de hacer que algunas series de tiempo sean estacionarias es calcular las diferencias entre observaciones consecutivas. Esto se conoce como diferenciación . La diferenciación puede ayudar a estabilizar la media de una serie de tiempo al eliminar los cambios en el nivel de una serie de tiempo y, por lo tanto, eliminar las tendencias. Esto también puede eliminar la estacionalidad, si las diferencias se toman adecuadamente (por ejemplo, diferenciar las observaciones con un año de diferencia para eliminar el año 1).

Transformaciones como los logaritmos pueden ayudar a estabilizar la varianza de una serie de tiempo.

Una de las formas de identificar series temporales no estacionarias es el gráfico ACF . A veces, los patrones serán más visibles en el gráfico ACF que en la serie temporal original; Sin embargo, este no es siempre el caso. ^[8]

Otro método para identificar la no estacionariedad es observar la transformada de Laplace de una serie, que identificará tanto las tendencias exponenciales como la estacionalidad sinusoidal (tendencias exponenciales complejas). También pueden resultar útiles técnicas relacionadas del análisis de señales , como la transformada wavelet y la transformada de Fourier .

Ver también

• proceso de levy
• Proceso ergódico estacionario
• Teorema de Wiener-Khinchin
• Ergodicidad
• Regularidad estadística
• Autocorrelación
• Probabilidad menor

Referencias

1. Gagniuc, Paul A. (2017). Cadenas de Markov: de la teoría a la implementación y la experimentación . Estados Unidos, Nueva Jersey: John Wiley & Sons. págs. 1–256. ISBN 978-1-119-38755-8.
2. Parque abcdefg, Kun Il (2018). Fundamentos de Probabilidad y Procesos Estocásticos con Aplicaciones a las Comunicaciones . Saltador. ISBN 978-3-319-68074-3.
3. Ionut Florescu (7 de noviembre de 2014). Probabilidad y Procesos Estocásticos . John Wiley e hijos. ISBN 978-1-118-59320-2.
4. Priestley, MB (1981). Análisis espectral y series temporales . Prensa académica. ISBN 0-12-564922-3.
5. Priestley, MB (1988). Análisis de series temporales no lineales y no estacionarias . Prensa académica. ISBN 0-12-564911-8.
6. Honarkhah, M.; Caers, J. (2010). "Simulación estocástica de patrones mediante modelado de patrones basado en distancias". Geociencias Matemáticas . 42 (5): 487–517. doi :10.1007/s11004-010-9276-7.
7. Tahmasebi, P.; Sahimi, M. (2015). "Reconstrucción de materiales y medios desordenados no estacionarios: función de correlación cruzada y transformación de cuencas" (PDF) . Revisión física E. 91 (3): 032401. doi : 10.1103/PhysRevE.91.032401 . PMID  25871117.
8. "8.1 Estacionariedad y diferenciación | OTexts". www.otexts.org . Consultado el 18 de mayo de 2016 .

Otras lecturas

• Enders, Walter (2010). Series temporales econométricas aplicadas (Tercera ed.). Nueva York: Wiley. págs. 53–57. ISBN 978-0-470-50539-7.
• Jestrovic, I.; Coyle, JL; Sejdic, E (2015). "Los efectos del aumento de la viscosidad del líquido sobre las características estacionarias de la señal EEG en adultos sanos". Investigación del cerebro . 1589 : 45–53. doi :10.1016/j.brainres.2014.09.035. PMC  4253861 . PMID  25245522.
• Hyndman, Athanasopoulos (2013). Previsión: principios y práctica. Otextos. https://www.otexts.org/fpp/8/1

enlaces externos

• Descomposición espectral de una función aleatoria (Springer)