Esquema Johnson

En matemáticas, el esquema de Johnson , que lleva el nombre de Selmer M. Johnson , también se conoce como esquema de asociación triangular . Consiste en el conjunto de todos los vectores binarios X de longitud ℓ y peso  n , tales que . ^{[1] [2] [3]} Dos vectores  x ,  y  ∈  X se llaman i- ésimos asociados si dist( x ,  y ) = 2 i para i  = 0, 1, ...,  n . Los valores propios están dados por ${\displaystyle v=\left|X\right|={\binom {\ell }{n}}}$

${\displaystyle p_{i}\left(k\right)=E_{i}\left(k\right),}$

${\displaystyle q_{k}\left(i\right)={\frac {\mu _{k}}{v_{i}}}E_{i}\left(k\right),}$

dónde

${\displaystyle \mu _{i}={\frac {\ell -2i+1}{\ell -i+1}}{\binom {\ell }{i}},}$

y E _k ( x ) es un polinomio de Eberlein definido por

${\displaystyle E_{k}\left(x\right)=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {x}{j}}{\binom {n-x}{k-j}}{\binom {\ell -n-x}{k-j}},\qquad k=0,\ldots ,n.}$

Referencias

1. P. Delsarte y VI Levenshtein, “Esquemas de asociación y teoría de codificación”, IEEE Trans. inf. Teoría , vol. 44, núm. 6, págs. 2477–2504, 1998.
2. P. Camion, "Códigos y esquemas de asociación: propiedades básicas de los esquemas de asociación relevantes para la codificación", en Handbook of Coding Theory , VS Pless y WC Huffman, Eds., Elsevier, Países Bajos, 1998.
3. FJ MacWilliams y NJA Sloane, La teoría de los códigos de corrección de errores , Elsevier, Nueva York, 1978.