Espiral de Ulam

Visualización de los números primos formados al disponer los números enteros en espiral

Espiral de Ulam de tamaño 201×201. Los puntos negros representan números primos. Se ven claramente líneas diagonales, verticales y horizontales con una alta densidad de números primos.

A modo de comparación, una espiral con números impares aleatorios coloreados en negro (con la misma densidad de primos en una espiral de 200x200).

La espiral de Ulam o espiral prima es una representación gráfica del conjunto de números primos , ideada por el matemático Stanisław Ulam en 1963 y popularizada en la columna Mathematical Games de Martin Gardner en Scientific American poco tiempo después. ^[1] Se construye escribiendo los números enteros positivos en una espiral cuadrada y marcando especialmente los números primos.

Ulam y Gardner enfatizaron la llamativa aparición en la espiral de prominentes líneas diagonales, horizontales y verticales que contienen grandes cantidades de primos. Tanto Ulam como Gardner notaron que la existencia de tales líneas prominentes no es inesperada, ya que las líneas en la espiral corresponden a polinomios cuadráticos , y se cree que ciertos polinomios de este tipo, como el polinomio generador de primos de Euler x ²  −  x  + 41, producen una alta densidad de números primos. ^{[2] [3]} Sin embargo, la espiral de Ulam está conectada con importantes problemas sin resolver en la teoría de números, como los problemas de Landau . En particular, nunca se ha demostrado que un polinomio cuadrático genere infinitos primos, y mucho menos que tenga una alta densidad asintótica de ellos, aunque existe una conjetura bien sustentada sobre cuál debería ser esa densidad asintótica.

En 1932, 31 años antes del descubrimiento de Ulam, el herpetólogo Laurence Klauber construyó una matriz triangular, no espiral, que contenía líneas verticales y diagonales que mostraban una concentración similar de números primos. Al igual que Ulam, Klauber observó la conexión con los polinomios generadores de números primos, como el de Euler. ^[4]

Construcción

La espiral de Ulam se construye escribiendo los números enteros positivos en una disposición espiral sobre una red cuadrada :

y luego marcando los números primos:

En la figura, los números primos parecen concentrarse a lo largo de ciertas líneas diagonales. En la espiral de Ulam de 201×201 que se muestra arriba, las líneas diagonales son claramente visibles, lo que confirma el patrón hasta ese punto. Las líneas horizontales y verticales con una alta densidad de números primos, aunque menos prominentes, también son evidentes. La mayoría de las veces, la espiral de números comienza con el número 1 en el centro, pero es posible comenzar con cualquier número y se observa la misma concentración de números primos a lo largo de las líneas diagonales, horizontales y verticales. Comenzando con 41 en el centro, se obtiene una diagonal que contiene una cadena ininterrumpida de 40 números primos (que comienza en 1523 al suroeste del origen, disminuye a 41 en el origen y aumenta a 1601 al noreste del origen), el ejemplo más largo de su tipo. ^[5]

Historia

Según Gardner, Ulam descubrió la espiral en 1963 mientras hacía garabatos durante la presentación de "un artículo largo y muy aburrido" en una reunión científica. ^[1] Estos cálculos manuales sumaron "unos pocos cientos de puntos". Poco después, Ulam, con sus colaboradores Myron Stein y Mark Wells, utilizó MANIAC II en el Laboratorio Científico de Los Álamos para ampliar el cálculo a unos 100.000 puntos. El grupo también calculó la densidad de primos entre números de hasta 10.000.000 a lo largo de algunas de las líneas ricas en primos, así como a lo largo de algunas de las líneas pobres en primos. Se mostraron imágenes de la espiral de hasta 65.000 puntos en "un endoscopio conectado a la máquina" y luego se fotografiaron. ^{[6] La espiral de Ulam fue descrita en la columna} Mathematical Games de Martin Gardner de marzo de 1964 en Scientific American y apareció en la portada de ese número. Algunas de las fotografías de Stein, Ulam y Wells se reprodujeron en la columna.

En un apéndice a la columna de Scientific American , Gardner mencionó el artículo anterior de Klauber. ^{[7] [8]} Klauber describe su construcción de la siguiente manera: "Los números enteros están dispuestos en orden triangular con el 1 en el vértice, la segunda línea contiene los números del 2 al 4, la tercera del 5 al 9, y así sucesivamente. Cuando se han indicado los primos, se descubre que hay concentraciones en ciertas líneas verticales y diagonales, y entre ellas se descubren las llamadas secuencias de Euler con altas concentraciones de primos". ^[4]

Explicación

Las líneas diagonales, horizontales y verticales en la espiral numérica corresponden a polinomios de la forma

${\displaystyle f(n)=4n^{2}+bn+c}$

donde b y c son constantes enteras. Cuando b es par, las líneas son diagonales y todos los números son impares o todos son pares, dependiendo del valor de c . Por lo tanto, no es sorprendente que todos los primos distintos de 2 se encuentren en diagonales alternas de la espiral de Ulam. Algunos polinomios, como , aunque producen solo valores impares, se factorizan sobre los enteros y, por lo tanto, nunca son primos, excepto posiblemente cuando uno de los factores es igual a 1. Tales ejemplos corresponden a diagonales que están desprovistas de primos o casi. ${\displaystyle 4n^{2}+8n+3}$ ${\displaystyle (4n^{2}+8n+3)=(2n+1)(2n+3)}$

Para comprender por qué algunas de las diagonales impares restantes pueden tener una mayor concentración de primos que otras, considere y . Calcule los residuos de la división por 3 cuando n toma valores sucesivos 0, 1, 2, .... Para el primero de estos polinomios, la secuencia de residuos es 1, 2, 2, 1, 2, 2, ..., mientras que para el segundo, es 2, 0, 0, 2, 0, 0, .... Esto implica que en la secuencia de valores tomados por el segundo polinomio, dos de cada tres son divisibles por 3 y, por lo tanto, ciertamente no primos, mientras que en la secuencia de valores tomados por el primer polinomio, ninguno es divisible por 3. Por lo tanto, parece plausible que el primer polinomio produzca valores con una mayor densidad de primos que el segundo. Como mínimo, esta observación da pocas razones para creer que las diagonales correspondientes serán igualmente densas con primos. Por supuesto, se debe considerar la divisibilidad por primos distintos de 3. Si examinamos también la divisibilidad por 5, los residuos de la división por 15 se repiten con el patrón 1, 11, 14, 10, 14, 11, 1, 14, 5, 4, 11, 11, 4, 5, 14 para el primer polinomio, y con el patrón 5, 0, 3, 14, 3, 0, 5, 3, 9, 8, 0, 0, 8, 9, 3 para el segundo, lo que implica que solo tres de los 15 valores de la segunda secuencia son potencialmente primos (no son divisibles ni por 3 ni por 5), mientras que 12 de los 15 valores de la primera secuencia son potencialmente primos (ya que solo tres son divisibles por 5 y ninguno es divisible por 3). ${\displaystyle 4n^{2}+6n+1}$ ${\displaystyle 4n^{2}+6n+5}$

Si bien los resultados rigurosamente probados sobre los números primos en secuencias cuadráticas son escasos, consideraciones como las anteriores dan lugar a una conjetura plausible sobre la densidad asintótica de los números primos en dichas secuencias, que se describe en la siguiente sección.

Conjetura F de Hardy y Littlewood

En su artículo de 1923 sobre la conjetura de Goldbach , Hardy y Littlewood enunciaron una serie de conjeturas, una de las cuales, de ser cierta, explicaría algunas de las características sorprendentes de la espiral de Ulam. Esta conjetura, que Hardy y Littlewood llamaron "Conjetura F", es un caso especial de la conjetura de Bateman-Horn y afirma una fórmula asintótica para el número de primos de la forma ax ²  +  bx  +  c . Los rayos que emanan de la región central de la espiral de Ulam formando ángulos de 45° con la horizontal y la vertical corresponden a números de la forma 4 x ²  +  bx  +  c con b par; los rayos horizontales y verticales corresponden a números de la misma forma con b impar. La conjetura F proporciona una fórmula que puede utilizarse para estimar la densidad de primos a lo largo de dichos rayos. Implica que habrá una variabilidad considerable en la densidad a lo largo de diferentes rayos. En particular, la densidad es muy sensible al discriminante del polinomio, b ²  − 16 c .

Los números primos de la forma 4 x ²  − 2 x  + 41 con x  = 0, 1, 2, ... se han resaltado en violeta. La línea paralela prominente en la mitad inferior de la figura corresponde a 4 x ²  + 2 x  + 41 o, equivalentemente, a valores negativos de x .

La conjetura F se ocupa de polinomios de la forma ax ²  +  bx  +  c donde a , b y c son números enteros y a es positivo. Si los coeficientes contienen un factor común mayor que 1 o si el discriminante Δ =  b ²  − 4 ac es un cuadrado perfecto , el polinomio se factoriza y, por lo tanto, produce números compuestos cuando x toma los valores 0, 1, 2, ... (excepto posiblemente uno o dos valores de x donde uno de los factores es igual a 1). Además, si a  +  b y c son ambos pares, el polinomio produce solo valores pares y, por lo tanto, es compuesto, excepto posiblemente el valor 2. Hardy y Littlewood afirman que, aparte de estas situaciones, ax ²  +  bx  +  c toma valores primos infinitamente a menudo cuando x toma los valores 0, 1, 2, ... Esta afirmación es un caso especial de una conjetura anterior de Bunyakovsky y permanece abierta. Hardy y Littlewood afirman además que, asintóticamente, el número P ( n ) de primos de la forma ax ²  +  bx  +  c y menores que n está dado por

${\displaystyle P(n)\sim A{\frac {1}{\sqrt {a}}}{\frac {\sqrt {n}}{\log n}}}$

donde A depende de a , b y c pero no de n . Por el teorema de los números primos , esta fórmula con A igual a uno es el número asintótico de primos menores que n esperado en un conjunto aleatorio de números que tiene la misma densidad que el conjunto de números de la forma ax ²  +  bx  +  c . Pero como A puede tomar valores mayores o menores que 1, algunos polinomios, según la conjetura, serán especialmente ricos en primos, y otros especialmente pobres. Un polinomio inusualmente rico es 4 x ²  − 2 x  + 41 que forma una línea visible en la espiral de Ulam. La constante A para este polinomio es aproximadamente 6,6, lo que significa que los números que genera tienen casi siete veces más probabilidades de ser primos que los números aleatorios de tamaño comparable, según la conjetura. Este polinomio en particular está relacionado con el polinomio generador de primos de Euler x ²  −  x  + 41 al reemplazar x por 2 x , o equivalentemente, al restringir x a los números pares. La constante A está dada por un producto que recorre todos los números primos,

${\displaystyle A=\prod \limits _{p}{\frac {p-\omega (p)}{p-1}}~}$,

en el que es el número de ceros del polinomio cuadrático módulo p y por lo tanto toma uno de los valores 0, 1 o 2. Hardy y Littlewood descomponen el producto en tres factores como ${\displaystyle \omega (p)}$

${\displaystyle A=\varepsilon \prod _{p}{\biggl (}{\frac {p}{p-1}}{\biggr )}\,\prod _{\varpi }{\biggl (}1-{\frac {1}{\varpi -1}}{\Bigl (}{\frac {\Delta }{\varpi }}{\Bigr )}{\biggr )}}$.

Aquí el factor ε, correspondiente al primo 2, es 1 si a  +  b es impar y 2 si a  +  b es par. El primer índice de producto p se extiende sobre los primos impares finitos que dividen a a y b . Para estos primos, ya que p entonces no puede dividir a c . El segundo índice de producto se extiende sobre los primos impares infinitos que no dividen a a . Para estos primos es igual a 1, 2 o 0 dependiendo de si el discriminante es 0, un cuadrado distinto de cero o un módulo no cuadrado p . Esto se explica por el uso del símbolo de Legendre , . Cuando un primo p divide a a pero no b hay una raíz módulo p . En consecuencia, dichos primos no contribuyen al producto. ${\displaystyle \omega (p)=0}$ ${\displaystyle \varpi }$ ${\displaystyle \omega (p)}$ ${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{\varpi }}\right)}$

Jacobson y Williams descubrieron un polinomio cuadrático con A ≈ 11,3, actualmente el valor más alto conocido. ^{[9] [10]}

Variantes

El artículo de Klauber de 1932 describe un triángulo en el que la fila n contiene los números ( n   − 1) ²  + 1 a n ² . Al igual que en la espiral de Ulam, los polinomios cuadráticos generan números que se encuentran en líneas rectas. Las líneas verticales corresponden a números de la forma k ²  −  k  +  M . En la figura se observan líneas verticales y diagonales con una alta densidad de números primos.

En 1994, Robert Sacks ideó una variante de la espiral de Ulam. En la espiral de Sacks, los números enteros no negativos se representan en una espiral de Arquímedes en lugar de la espiral cuadrada utilizada por Ulam, y se espacian de modo que se produce un cuadrado perfecto en cada rotación completa. (En la espiral de Ulam, se producen dos cuadrados en cada rotación.) El polinomio generador de primos de Euler, x ²  −  x  + 41, aparece ahora como una única curva a medida que x toma los valores 0, 1, 2, ... Esta curva se aproxima asintóticamente a una línea horizontal en la mitad izquierda de la figura. (En la espiral de Ulam, el polinomio de Euler forma dos líneas diagonales, una en la mitad superior de la figura, que corresponde a los valores pares de x en la secuencia, y la otra en la mitad inferior de la figura, que corresponde a los valores impares de x en la secuencia.)

Se puede observar una estructura adicional cuando se incluyen también números compuestos en la espiral de Ulam. El número 1 tiene un único factor, él mismo; cada número primo tiene dos factores, él mismo y 1; los números compuestos son divisibles por al menos tres factores diferentes. Si se utiliza el tamaño del punto que representa un número entero para indicar el número de factores y se colorean los números primos de rojo y los números compuestos de azul, se obtiene la figura que se muestra.

Las espirales que siguen otras teselaciones del plano también generan líneas ricas en números primos, por ejemplo espirales hexagonales.

• 
  Triángulo de Klauber con números primos generados por el polinomio de Euler x ²   −   x   + 41 resaltado.
• 
  Sacos en espiral.
• 
  Espiral de Ulam de tamaño 150×150 que muestra números primos y compuestos.
• 
  Espiral de números hexagonal con números primos en verde y números más altamente compuestos en tonos más oscuros de azul.
• 
  Espiral numérica con 7503 primos visibles en un triángulo regular.
• 
  Espiral de Ulam con 10 millones de primos.

Véase también

• Reconocimiento de patrones
• K-tupla prima

Referencias

1. Gardner 1964, pág. 122.
2. Stein, Ulam y Wells 1964, pág. 517.
3. Gardner 1964, pág. 124.
4. Daus 1932, pág. 373.
5. Mollin 1996, pág. 21.
6. Stein, Ulam y Wells 1964, pág. 520.
7. Gardner 1971, pág. 88.
8. Hartwig, Daniel (2013), Guía de los documentos de Martin Gardner, The Online Archive of California, pág. 117.
9. Jacobson Jr., MJ; Williams, H. C (2003), "Nuevos polinomios cuadráticos con altas densidades de valores primos" (PDF) , Matemáticas de la computación , 72 (241): 499–519, Bibcode :2003MaCom..72..499J, doi : 10.1090/S0025-5718-02-01418-7
10. Guy, Richard K. (2004), Problemas sin resolver en teoría de números (3.ª ed.), Springer, pág. 8, ISBN 978-0-387-20860-2

Bibliografía

• Daus, PH (1932), "La reunión de marzo de la sección del sur de California", American Mathematical Monthly , 39 (7), Mathematical Association of America: 373–374, doi :10.1080/00029890.1932.11987331, JSTOR  2300380
• Gardner, M. (marzo de 1964), "Juegos matemáticos: la notable tradición de los números primos", Scientific American , 210 : 120–128, doi :10.1038/scientificamerican0364-120
• Gardner, M. (1971), Sexto libro de diversiones matemáticas de Martin Gardner de Scientific American , University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-28250-3
• Hardy, GH; Littlewood, JE (1923), "Algunos problemas de 'Partitio Numerorum'; III: Sobre la expresión de un número como suma de números primos", Acta Mathematica , 44 : 1–70, doi : 10.1007/BF02403921
• Hoffman, Paul (1988), La venganza de Arquímedes: los placeres y los peligros de las matemáticas , Nueva York: Fawcett Colombine, ISBN 978-0-84-3-334-0 0-449-00089-3
• Mollin, RA (1996), "Polinomios cuadráticos que producen primos consecutivos y distintos y grupos de clases de campos cuadráticos complejos" (PDF) , Acta Arithmetica , 74 : 17–30, doi : 10.4064/aa-74-1-17-30
• Pegg, Jr., Ed (17 de julio de 2006), "Polinomios generadores de primos", Math Games , Mathematical Association of America , consultado el 1 de enero de 2019
• Stein, ML; Ulam, SM; Wells, MB (1964), "Una presentación visual de algunas propiedades de la distribución de números primos", American Mathematical Monthly , 71 (5), Mathematical Association of America: 516–520, doi :10.2307/2312588, JSTOR  2312588
• Stein, M.; Ulam, SM (1967), "Una observación sobre la distribución de los números primos", American Mathematical Monthly , 74 (1), Mathematical Association of America: 43–44, doi :10.2307/2314055, JSTOR  2314055