Espectro de una teoría

Concepto de teoría de modelos

En la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática , el espectro de una teoría está dado por el número de clases de isomorfismo de modelos en varias cardinalidades . Más precisamente, para cualquier teoría completa T en un lenguaje escribimos I ( T , κ ) para el número de modelos de T (hasta el isomorfismo) de cardinalidad κ . El problema del espectro es describir los posibles comportamientos de I ( T , κ ) como una función de κ . Ha sido casi completamente resuelto para el caso de una teoría contable T .

Primeros resultados

En esta sección T es una teoría completa contable y κ ​​es un cardinal.

El teorema de Löwenheim-Skolem muestra que si I ( T , κ ) es distinto de cero para un cardinal infinito, entonces es distinto de cero para todos ellos.

El teorema de categoricidad de Morley fue el primer paso importante para resolver el problema del espectro: establece que si I ( T , κ ) es 1 para algunos κ incontables , entonces es 1 para todos los κ incontables .

Robert Vaught demostró que I ( T ,ℵ ₀ ) no puede ser 2. Es fácil encontrar ejemplos en los que es cualquier entero no negativo distinto de 2. Morley demostró que si I ( T ,ℵ ₀ ) es infinito, entonces debe ser ℵ ₀ o ℵ ₁ o 2 ^{ℵ ₀} . No se sabe si puede ser ℵ ₁ si la hipótesis del continuo es falsa: esto se llama la conjetura de Vaught y es el principal problema abierto restante (en 2005) en la teoría del espectro.

El problema de Morley fue una conjetura (ahora un teorema) propuesta por primera vez por Michael D. Morley de que I ( T , κ ) es no decreciente en κ para κ incontables . Esto fue demostrado por Saharon Shelah . Para ello, demostró un teorema de dicotomía muy profundo.

Saharon Shelah dio una solución casi completa al problema del espectro. Para una teoría completa dada T , o bien I ( T , κ ) = 2 ^κ para todos los cardinales incontables κ , o bien para todos los ordinales ξ (véase el número Aleph y el número Beth para una explicación de la notación), que suele ser mucho menor que el límite en el primer caso. En términos generales, esto significa que o bien existe el número máximo posible de modelos en todas las cardinalidades incontables, o bien hay sólo "pocos" modelos en todas las cardinalidades incontables. Shelah también dio una descripción de los espectros posibles en el caso en el que hay pocos modelos. ${\displaystyle \textstyle I(T,\aleph _{\xi })<\beth _{\omega _{1}}(|\xi |+\aleph _{0})}$

Lista de posibles espectros de una teoría contable

Al ampliar el trabajo de Shelah, Bradd Hart, Ehud Hrushovski y Michael C. Laskowski dieron la siguiente solución completa al problema del espectro para teorías numerables en cardinalidades incontables. Si T es una teoría numerable completa, entonces el número I( T , ℵ _α ) de clases de isomorfismo de modelos está dado para ordinales α>0 por el mínimo de 2 ^{ℵ _α} y una de las siguientes aplicaciones:

1. 2 ^{ℵ _α} . Ejemplos: hay muchos ejemplos, en particular cualquier teoría inclasificable o profunda, como la teoría del grafo de Rado .
2. ${\displaystyle \beth _{d+1}(|\alpha +\omega |)}$para algún ordinal infinito contable d . (Para d finito véase el caso 8.) Ejemplos: La teoría con relaciones de equivalencia E _β para todo β con β+1< d , tal que cada clase E _γ es una unión de infinitas clases E _β , y cada clase E ₀ es infinita.
3. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{2^{\aleph _{0}}})}$para algún ordinal positivo finito d . Ejemplo (para d = 1): la teoría de un número contable de predicados unarios independientes.
4. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}}+\beth _{2})}$para algún ordinal positivo finito d .
5. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{2})}$para algún ordinal positivo finito d ;
6. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}})}$para algún ordinal positivo finito d . Ejemplo (para d = 1): la teoría de muchos predicados unarios disjuntos numerables.
7. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{1})}$para algún ordinal finito d ≥2;
8. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |)}$para algún ordinal positivo finito d ;
9. ${\displaystyle \beth _{d-2}(|\alpha +\omega |^{|\alpha +1|})}$para algún ordinal finito d ≥2; Ejemplos: similar al caso 2.
10. ${\displaystyle \beth _{2}}$. Ejemplo: la teoría de los números enteros vista como un grupo abeliano.
11. ${\displaystyle |(\alpha +1)^{n}/G|-|\alpha ^{n}/G|}$para α finito, y |α| para α infinito, donde G es algún subgrupo del grupo simétrico en n ≥ 2 elementos. Aquí, identificamos α ⁿ con el conjunto de secuencias de longitud n de elementos de un conjunto de tamaño α. G actúa sobre α ⁿ permutando los elementos de la secuencia, y |α ⁿ / G | denota el número de órbitas de esta acción. Ejemplos: la teoría del conjunto ω× n sobre el que actúa el producto corona de G con todas las permutaciones de ω.
12. ${\displaystyle 1}$. Ejemplos: teorías que son categóricas en cardinales incontables, como la teoría de campos algebraicamente cerrados en una característica dada.
13. ${\displaystyle 0}$. Ejemplos: teorías con un modelo finito y la teoría inconsistente.

Además, todas las posibilidades anteriores ocurren como el espectro de alguna teoría completa contable.

El número d en la lista anterior es la profundidad de la teoría. Si T es una teoría, definimos una nueva teoría 2 ^T como la teoría con una relación de equivalencia tal que hay infinitas clases de equivalencia, cada una de las cuales es un modelo de T. También definimos teorías por , . Entonces . Esto se puede utilizar para construir ejemplos de teorías con espectros en la lista anterior para valores no mínimos de d a partir de ejemplos para el valor mínimo de d . ${\displaystyle \beth _{n}(T)}$ ${\displaystyle \beth _{0}(T)=T}$ ${\displaystyle \beth _{n+1}(T)=2^{\beth _{n}(T)}}$ ${\displaystyle I(\beth _{n}(T),\lambda )=\min(\beth _{n}(I(T,\lambda )),2^{\lambda })}$

Véase también

• Espectro de una oración

Referencias

• CC Chang , HJ Keisler , Teoría de modelos . ISBN  0-7204-0692-7
• Saharon Shelah , "Teoría de la clasificación y el número de modelos no isomorfos", Estudios en lógica y fundamentos de las matemáticas , vol. 92, IX, 1.19, pág. 49 (Holanda del Norte, 1990).
• Hart, Bradd; Hrushovski, Ehud; Laskowski, Michael C. (2000). "Los espectros incontables de las teorías contables". Anales de matemáticas . 152 (1): 207–257. arXiv : math/0007199 . Bibcode :2000math......7199H. doi :10.2307/2661382. JSTOR  2661382.
• Bradd Hart, Michael C. Laskowski, "Un estudio de los espectros incontables de las teorías contables", Algebraic Model Theory , editado por Hart, Lachlan, Valeriote (Springer, 1997). ISBN 0-7923-4666-1