Espectro (análisis funcional)

Conjunto de valores propios de una matriz.

En matemáticas , particularmente en análisis funcional , el espectro de un operador lineal acotado (o, más generalmente, un operador lineal ilimitado ) es una generalización del conjunto de valores propios de una matriz . Específicamente, se dice que un número complejo está en el espectro de un operador lineal acotado si ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

• tampoco tiene inverso de teoría de conjuntos ;
• o el inverso de la teoría de conjuntos es ilimitado o está definido en un subconjunto no denso. ^[1]

Aquí está el operador de identidad . ${\displaystyle I}$

Según el teorema del grafo cerrado , está en el espectro si y solo si el operador acotado no es biyectivo en . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T-\lambda I:V\to V}$ ${\displaystyle V}$

El estudio de los espectros y las propiedades relacionadas se conoce como teoría espectral , la cual tiene numerosas aplicaciones, entre las que destaca la formulación matemática de la mecánica cuántica .

El espectro de un operador en un espacio vectorial de dimensión finita es precisamente el conjunto de valores propios. Sin embargo, un operador en un espacio de dimensión infinita puede tener elementos adicionales en su espectro y puede no tener valores propios. Por ejemplo, considere el operador de desplazamiento a la derecha R en el espacio de Hilbert ℓ ​​2 ,

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots ).}$

Esto no tiene valores propios, ya que si Rx = λx entonces al expandir esta expresión vemos que x ₁ =0, x ₂ =0, etc. Por otro lado, 0 está en el espectro porque aunque el operador R  − 0 (es decir, R en sí) es invertible, la inversa se define en un conjunto que no es denso en ℓ 2 . De hecho, todo operador lineal acotado en un espacio de Banach complejo debe tener un espectro no vacío.

La noción de espectro se extiende a operadores ilimitados (es decir, no necesariamente limitados). Se dice que un número complejo λ está en el espectro de un operador ilimitado definido en el dominio si no hay un inverso acotado definido en el conjunto de Si T es cerrado (lo que incluye el caso en el que T es acotado), la acotación de se sigue automáticamente de su existencia. ${\displaystyle T:\,X\to X}$ ${\displaystyle D(T)\subseteq X}$ ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}:\,X\to D(T)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$

El espacio de operadores lineales acotados B ( X ) en un espacio de Banach X es un ejemplo de álgebra unital de Banach . Dado que la definición del espectro no menciona ninguna propiedad de B ( X ) excepto las que tiene dicho álgebra, la noción de espectro puede generalizarse a este contexto utilizando la misma definición palabra por palabra.

Espectro de un operador acotado

Definición

Sea un operador lineal acotado que actúa sobre un espacio de Banach sobre el campo escalar complejo y sea el operador identidad en . El espectro de es el conjunto de todos para los cuales el operador no tiene inverso que sea un operador lineal acotado. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

Como es un operador lineal, el inverso es lineal si existe; y, según el teorema de la inversa acotada , está acotado. Por tanto, el espectro está formado precisamente por aquellos escalares para los que no es biyectivo . ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

A menudo se denota el espectro de un operador determinado y su complemento, el conjunto resolutivo . ( a veces se utiliza para indicar el radio espectral de ) ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle \rho (T)=\mathbb {C} \setminus \sigma (T)}$ ${\displaystyle \rho (T)}$ ${\displaystyle T}$

Relación con valores propios

Si es un valor propio de , entonces el operador no es uno a uno y, por lo tanto, su inverso no está definido. Sin embargo, la afirmación inversa no es cierta: el operador puede no tener un inverso, incluso si no es un valor propio. Por tanto, el espectro de un operador siempre contiene todos sus valores propios, pero no se limita a ellos. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \lambda }$

Por ejemplo, considere el espacio de Hilbert , que consta de todas las secuencias bi-infinitas de números reales. ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle v=(\ldots ,v_{-2},v_{-1},v_{0},v_{1},v_{2},\ldots )}$

que tienen una suma finita de cuadrados . El operador de cambio bilateral simplemente desplaza cada elemento de la secuencia en una posición; es decir, si entonces para cada número entero . La ecuación de valores propios no tiene solución distinta de cero en este espacio, ya que implica que todos los valores tienen el mismo valor absoluto (si ) o son una progresión geométrica (si ); De cualquier manera, la suma de sus cuadrados no sería finita. Sin embargo, el operador no es invertible si . Por ejemplo, la secuencia tal que está en ; pero no hay secuencia en tal que (es decir, para todos ). ${\textstyle \sum _{i=-\infty }^{+\infty }v_{i}^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle u=T(v)}$ ${\displaystyle u_{i}=v_{i-1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle T(v)=\lambda v}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle \vert \lambda \vert =1}$ ${\displaystyle \vert \lambda \vert \neq 1}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle |\lambda |=1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{i}=1/(|i|+1)}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (T-I)v=u}$ ${\displaystyle v_{i-1}=u_{i}+v_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Propiedades básicas

El espectro de un operador acotado T es siempre un subconjunto cerrado , acotado y no vacío del plano complejo .

Si el espectro estuviera vacío, entonces la función resolutiva

${\displaystyle R(\lambda )=(T-\lambda I)^{-1},\qquad \lambda \in \mathbb {C} ,}$

estaría definido en todas partes del plano complejo y acotado. Pero se puede demostrar que la función resolutiva R es holomorfa en su dominio. Según la versión vectorial del teorema de Liouville , esta función es constante, por lo tanto cero en todas partes, ya que es cero en el infinito. Esto sería una contradicción.

La acotación del espectro se deriva de la expansión de la serie de Neumann en λ ; el espectro σ ( T ) está acotado por || T ||. Un resultado similar muestra lo cerrado del espectro.

El atado || T || en el espectro se puede refinar un poco. El radio espectral , r ( T ), de T es el radio del círculo más pequeño en el plano complejo que está centrado en el origen y contiene el espectro σ ( T ) dentro de él, es decir

${\displaystyle r(T)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (T)\}.}$

La fórmula del radio espectral dice ^[2] que para cualquier elemento de un álgebra de Banach , ${\displaystyle T}$

${\displaystyle r(T)=\lim _{n\to \infty }\left\|T^{n}\right\|^{1/n}.}$

Espectro de un operador ilimitado

Se puede ampliar la definición de espectro a operadores ilimitados en un espacio X de Banach . Estos operadores que ya no son elementos en el álgebra de Banach B ( X ).

Definición

Sea X un espacio de Banach y un operador lineal definido en el dominio . Se dice que un número complejo λ está en el conjunto resolutivo (también llamado conjunto regular ) de si el operador ${\displaystyle T:\,D(T)\to X}$ ${\displaystyle D(T)\subseteq X}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T-\lambda I:\,D(T)\to X}$

tiene un inverso acotado definido en todas partes, es decir, si existe un operador acotado

${\displaystyle S:\,X\rightarrow D(T)}$

tal que

${\displaystyle S(T-\lambda I)=I_{D(T)},\,(T-\lambda I)S=I_{X}.}$

Un número complejo λ está entonces en el espectro si λ no está en el conjunto resolutivo.

Para que λ esté en el resolutivo (es decir, no en el espectro), al igual que en el caso acotado, debe ser biyectivo, ya que debe tener una inversa de dos lados. Como antes, si existe una inversa, entonces su linealidad es inmediata, pero en general puede no estar acotada, por lo que esta condición debe verificarse por separado. ${\displaystyle T-\lambda I}$

Según el teorema del grafo cerrado , la acotación de se sigue directamente de su existencia cuando T es cerrado . Entonces, al igual que en el caso acotado, un número complejo λ se encuentra en el espectro de un operador cerrado T si y sólo si no es biyectivo. Tenga en cuenta que la clase de operadores cerrados incluye todos los operadores acotados. ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

Propiedades básicas

El espectro de un operador ilimitado es en general un subconjunto cerrado, posiblemente vacío, del plano complejo. Si el operador T no está cerrado , entonces . ${\displaystyle \sigma (T)=\mathbb {C} }$

Clasificación de puntos en el espectro.

Un operador acotado T en un espacio de Banach es invertible, es decir, tiene un inverso acotado, si y sólo si T está acotado por debajo, es decir, para algunos y tiene un rango denso. En consecuencia, el espectro de T se puede dividir en las siguientes partes: ${\displaystyle \|Tx\|\geq c\|x\|,}$ ${\displaystyle c>0,}$

1. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$si no está limitado a continuación. En particular, este es el caso si no es inyectivo, es decir, λ es un valor propio. El conjunto de valores propios se denomina espectro puntual de T y se denota por σ _p ( T ). Alternativamente, podría ser uno a uno pero aún no limitado a continuación. Tal λ no es un valor propio, pero sigue siendo un valor propio aproximado de T (los valores propios en sí mismos también son valores propios aproximados). El conjunto de valores propios aproximados (que incluye el espectro puntual) se denomina espectro puntual aproximado de T , denotado por σ _ap ( T ). ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$
2. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$si no tiene un rango denso. El conjunto de tales λ se denomina espectro de compresión de T , denotado por . Si no tiene un rango denso pero es inyectivo, se dice que λ está en el espectro residual de T , denotado por . ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {res} }(T)}$

Tenga en cuenta que el espectro puntual aproximado y el espectro residual no son necesariamente disjuntos ^[3] (sin embargo, el espectro puntual y el espectro residual sí lo son).

Las siguientes subsecciones proporcionan más detalles sobre las tres partes de σ ( T ) esbozadas anteriormente.

Espectro de puntos

Si un operador no es inyectivo (por lo que hay algo de x distinto de cero con T ( x ) = 0), entonces claramente no es invertible. Entonces, si λ es un valor propio de T , necesariamente se tiene λ  ∈  σ ( T ). El conjunto de valores propios de T también se denomina espectro puntual de T , denotado por σ _p ( T ). Algunos autores se refieren al cierre del espectro puntual como espectro puntual puro mientras que otros simplemente lo consideran ^{[4] [5]} ${\displaystyle \sigma _{pp}(T)={\overline {\sigma _{p}(T)}}}$ ${\displaystyle \sigma _{pp}(T):=\sigma _{p}(T).}$

Espectro de puntos aproximado

De manera más general, según el teorema de la inversa acotada , T no es invertible si no está acotado por debajo; es decir, si no existe c  > 0 tal que || TX || ≥  c || x || para todo x ∈ X . Entonces el espectro incluye el conjunto de valores propios aproximados , que son aquellos λ tales que T - λI no está acotado por debajo; de manera equivalente, es el conjunto de λ para el cual existe una secuencia de vectores unitarios x ₁ , x ₂ , ... para el cual

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|=0}$.

El conjunto de valores propios aproximados se conoce como espectro de puntos aproximado , denotado por . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ap} }(T)}$

Es fácil ver que los valores propios se encuentran en el espectro de puntos aproximado.

Por ejemplo, considere el desplazamiento a la derecha R en definido por ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\quad j\in \mathbb {Z} ,}$

¿Dónde está la base ortonormal estándar en ? El cálculo directo muestra que R no tiene valores propios, pero cada λ con | λ | = 1 es un valor propio aproximado; siendo x _n el vector ${\displaystyle {\big (}e_{j}{\big )}_{j\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}(\dots ,0,1,\lambda ^{-1},\lambda ^{-2},\dots ,\lambda ^{1-n},0,\dots )}$

se puede ver eso || x _norte || = 1 para todo n , pero

${\displaystyle \|Rx_{n}-\lambda x_{n}\|={\sqrt {\frac {2}{n}}}\to 0.}$

Dado que R es un operador unitario, su espectro se encuentra en el círculo unitario. Por tanto, el espectro puntual aproximado de R es su espectro completo.

Esta conclusión también es válida para una clase más general de operadores. Un operador unitario es normal . Según el teorema espectral , un operador acotado en un espacio de Hilbert H es normal si y sólo si es equivalente (después de la identificación de H con un espacio) a un operador de multiplicación . Se puede demostrar que el espectro puntual aproximado de un operador de multiplicación acotado es igual a su espectro. ${\displaystyle L^{2}}$

Espectro discreto

El espectro discreto se define como el conjunto de valores propios normales o, de manera equivalente, como el conjunto de puntos aislados del espectro tales que el proyector Riesz correspondiente es de rango finito. Como tal, el espectro discreto es un subconjunto estricto del espectro puntual, es decir, ${\displaystyle \sigma _{d}(T)\subset \sigma _{p}(T).}$

Espectro continuo

El conjunto de todos los λ para los cuales es inyectivo y tiene rango denso, pero no es sobreyectivo, se llama espectro continuo de T , denotado por . Por lo tanto, el espectro continuo consta de aquellos valores propios aproximados que no son valores propios y no se encuentran en el espectro residual. Eso es, ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathbb {c} }(T)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {c} }(T)=\sigma _{\mathrm {ap} }(T)\setminus (\sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T))}$.

Por ejemplo, , , , es inyectivo y tiene un rango denso, todavía . De hecho, si con tal que , uno no necesariamente tiene , y entonces . ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j}/j}$ ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (A)\subsetneq l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\textstyle x=\sum _{j\in \mathbb {N} }c_{j}e_{j}\in l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle c_{j}\in \mathbb {C} }$ ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }|c_{j}|^{2}<\infty }$ ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }\left|jc_{j}\right|^{2}<\infty }$ ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }jc_{j}e_{j}\notin l^{2}(\mathbb {N} )}$

Espectro de compresión

El conjunto de para el cual no tiene un rango denso se conoce como espectro de compresión de T y se denota por . ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)}$

Espectro residual

El conjunto de para el cual es inyectivo pero no tiene un rango denso se conoce como espectro residual de T y se denota por : ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)=\sigma _{\mathrm {cp} }(T)\setminus \sigma _{\mathrm {p} }(T).}$

Un operador puede ser inyectivo, incluso limitado por debajo, pero aún así no invertible. El desplazamiento a la derecha en , , , es un ejemplo de ello. Este operador de desplazamiento es una isometría , por lo tanto está limitada por 1. Pero no es invertible ya que no es sobreyectiva ( ) y, además, no es densa en ( ). ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\,j\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle e_{1}\not \in \mathrm {Ran} (R)}$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (R)}$ ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle e_{1}\notin {\overline {\mathrm {Ran} (R)}}}$

Espectro periférico

El espectro periférico de un operador se define como el conjunto de puntos de su espectro que tienen un módulo igual a su radio espectral. ^[6]

Espectro esencial

Hay cinco definiciones similares del espectro esencial de operador lineal cerrado densamente definido que satisfacen ${\displaystyle A:\,X\to X}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)\subset \sigma (A).}$

Todos estos espectros coinciden en el caso de operadores autoadjuntos. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(A),\ 1\leq k\leq 5}$

1. El espectro esencial se define como el conjunto de puntos del espectro tal que no es semi-Fredholm . (El operador es semi-Fredholm si su rango es cerrado y su núcleo o conúcleo (o ambos) son de dimensión finita.) Ejemplo 1: para el operador , (porque el rango de este operador no está cerrado: el rango no incluye todo aunque su cierre sí lo hace). Ejemplo 2: for , for any (porque tanto el kernel como el cokernel de este operador son de dimensión infinita). ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle A:\,e_{j}\mapsto e_{j}/j,~j\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(N)}$ ${\displaystyle N:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle N:\,v\mapsto 0}$ ${\displaystyle v\in l^{2}(\mathbb {N} )}$
2. El espectro esencial se define como el conjunto de puntos del espectro tales que el operador tiene un núcleo de dimensión infinita o tiene un rango que no está cerrado. También se puede caracterizar en términos del criterio de Weyl : existe una secuencia en el espacio X tal que y tal que no contiene ninguna subsecuencia convergente . Tal secuencia se llama secuencia singular (o secuencia de Weyl singular ). Ejemplo: para el operador , si j es par y cuando j es impar (el núcleo es de dimensión infinita; el cokernel es de dimensión cero). Tenga en cuenta que . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$ ${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \Vert x_{j}\Vert =1}$ ${\textstyle \lim _{j\to \infty }\left\|(A-\lambda I)x_{j}\right\|=0,}$ ${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(B)}$ ${\displaystyle B:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle B:\,e_{j}\mapsto e_{j/2}}$ ${\displaystyle e_{j}\mapsto 0}$ ${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(B)}$
3. El espectro esencial se define como el conjunto de puntos del espectro tal que no es Fredholm . (El operador es Fredholm si su rango es cerrado y tanto su núcleo como su cokernel son de dimensión finita). Ejemplo: para el operador , (el núcleo es de dimensión cero, el cokernel es de dimensión infinita). Tenga en cuenta que . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(J)}$ ${\displaystyle J:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle J:\,e_{j}\mapsto e_{2j}}$ ${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(J)}$
4. El espectro esencial se define como el conjunto de puntos del espectro tal que no es Fredholm de índice cero. También podría caracterizarse como la parte más grande del espectro de A que se conserva mediante perturbaciones compactas . En otras palabras, ; aquí denota el conjunto de todos los operadores compactos en X. Ejemplo: dónde está el operador de desplazamiento a la derecha, , para (su núcleo es cero, su cokernel es unidimensional). Tenga en cuenta que . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$ ${\textstyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)=\bigcap _{K\in B_{0}(X)}\sigma (A+K)}$ ${\displaystyle B_{0}(X)}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(R)}$ ${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1}}$ ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(R)}$
5. El espectro esencial es la unión de todos los componentes que no se cruzan con el conjunto resolutivo . También se puede caracterizar como . Ejemplo: considere el operador , para , . Desde entonces uno tiene . Para cualquiera con , el rango de es denso pero no cerrado, por lo que el límite del disco unitario está en el primer tipo del espectro esencial: . Para cualquiera con , tiene un núcleo unidimensional de rango cerrado y un cokernel unidimensional, por lo que aunque para ; así, para . Hay dos componentes de : y . El componente no tiene intersección con el conjunto resolutivo; por definición, . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma (A)}$ ${\displaystyle \sigma (A)\setminus \sigma _{\mathrm {d} }(A)}$
   ${\displaystyle T:\,l^{2}(\mathbb {Z} )\to l^{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle T:\,e_{j}\mapsto e_{j-1}}$ ${\displaystyle j\neq 0}$ ${\displaystyle T:\,e_{0}\mapsto 0}$ ${\displaystyle \Vert T\Vert =1}$ ${\displaystyle \sigma (T)\subset {\overline {\mathbb {D} _{1}}}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle T-zI}$ ${\displaystyle \partial \mathbb {D} _{1}\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle T-zI}$ ${\displaystyle z\in \sigma (T)}$ ${\displaystyle z\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)=\partial \mathbb {D} _{1}}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$ ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\,|z|>1\}}$ ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\,|z|<1\}}$ ${\displaystyle \{|z|<1\}}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)=\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\cup \{z\in \mathbb {C} :\,|z|<1\}=\{z\in \mathbb {C} :\,|z|\leq 1\}}$

Ejemplo: átomo de hidrógeno

El átomo de hidrógeno proporciona un ejemplo de diferentes tipos de espectros. El operador hamiltoniano del átomo de hidrógeno , con dominio tiene un conjunto discreto de valores propios (el espectro discreto , que en este caso coincide con el espectro puntual ya que no hay valores propios incluidos en el espectro continuo) que se puede calcular mediante la fórmula de Rydberg . Sus funciones propias correspondientes se denominan estados propios o estados ligados . El resultado del proceso de ionización se describe por la parte continua del espectro (la energía de la colisión/ionización no está "cuantizada"), representada por (también coincide con el espectro esencial, ). ^{[ cita necesaria ] [ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle H=-\Delta -{\frac {Z}{|x|}}}$ ${\displaystyle Z>0}$ ${\displaystyle D(H)=H^{1}(\mathbb {R} ^{3})}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(H)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(H)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cont} }(H)=[0,+\infty )}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(H)=[0,+\infty )}$

Espectro del operador adjunto

Sea X un espacio de Banach y un operador lineal cerrado con dominio denso . Si X* es el espacio dual de X y es el adjunto hermitiano de T , entonces ${\displaystyle T:\,X\to X}$ ${\displaystyle D(T)\subset X}$ ${\displaystyle T^{*}:\,X^{*}\to X^{*}}$

${\displaystyle \sigma (T^{*})={\overline {\sigma (T)}}:=\{z\in \mathbb {C} :{\bar {z}}\in \sigma (T)\}.}$

Teorema  :  para un operador T acotado (o, más generalmente, cerrado y densamente definido) ,

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)={\overline {\sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}}$.

En particular, . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)\subset {\overline {\sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}\subset \sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T)}$

Prueba

Supongamos que eso no es denso en X . Según el teorema de Hahn-Banach , existe un valor distinto de cero que desaparece en . Para todo x ∈ X , ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T-\lambda I)}$ ${\displaystyle \varphi \in X^{*}}$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T-\lambda I)}$

${\displaystyle \langle \varphi ,(T-\lambda I)x\rangle =\langle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi ,x\rangle =0.}$

Por lo tanto, y es un valor propio de T* . ${\displaystyle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi =0\in X^{*}}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$

Por el contrario, supongamos que es un valor propio de T* . Entonces existe un valor distinto de cero tal que , es decir ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$ ${\displaystyle \varphi \in X^{*}}$ ${\displaystyle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi =0}$

${\displaystyle \forall x\in X,\;\langle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi ,x\rangle =\langle \varphi ,(T-\lambda I)x\rangle =0.}$

Si es denso en X , entonces φ debe ser el funcional cero, una contradicción. La afirmación está probada. ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T-\lambda I)}$

También nos valemos del siguiente argumento: X se incrusta isométricamente en X** . Por lo tanto, por cada elemento distinto de cero en el núcleo de existe un elemento distinto de cero en X** que desaparece en . Por tanto, no puede ser denso. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(T)\subset {\overline {\sigma _{\mathrm {r} }(T^{*})\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)}$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)}$

Además, si X es reflexivo, tenemos . ${\displaystyle {\overline {\sigma _{\mathrm {r} }(T^{*})}}\subset \sigma _{\mathrm {p} }(T)}$

Espectros de clases particulares de operadores.

Operadores compactos

Si T es un operador compacto o, más generalmente, un operador no esencial , entonces se puede demostrar que el espectro es contable, que cero es el único punto de acumulación posible y que cualquier λ distinto de cero en el espectro es un valor propio.

Operadores cuasinilpotentes

Un operador acotado es cuasipotente si as (en otras palabras, si el radio espectral de A es igual a cero). Dichos operadores podrían caracterizarse de manera equivalente por la condición ${\displaystyle A:\,X\to X}$ ${\displaystyle \lVert A^{n}\rVert ^{1/n}\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle \sigma (A)=\{0\}.}$

Un ejemplo de tal operador es , por . ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j+1}/2^{j}}$ ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$

Operadores autoadjuntos

Si X es un espacio de Hilbert y T es un operador autoadjunto (o, más generalmente, un operador normal ), entonces un resultado notable conocido como teorema espectral proporciona un análogo del teorema de diagonalización para operadores normales de dimensión finita (matrices hermitianas). , Por ejemplo).

Para los operadores autoadjuntos, se pueden utilizar medidas espectrales para definir una descomposición del espectro en partes absolutamente continuas, puntuales y singulares.

Espectro de un operador real

Las definiciones de resolutivo y espectro se pueden extender a cualquier operador lineal continuo que actúe en un espacio de Banach sobre el campo real (en lugar del campo complejo ) mediante su complejización . En este caso definimos el conjunto resolutivo como el conjunto de todos los que son invertibles como operador que actúa sobre el espacio complejizado ; luego definimos . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \rho (T)}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T_{\mathbb {C} }-\lambda I}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \sigma (T)=\mathbb {C} \setminus \rho (T)}$

Espectro real

El espectro real de un operador lineal continuo que actúa sobre un espacio real de Banach , denotado , se define como el conjunto de todos los que no son invertibles en el álgebra real de operadores lineales acotados que actúan sobre . En este caso tenemos . Tenga en cuenta que el espectro real puede coincidir o no con el espectro complejo. En particular, el espectro real podría estar vacío. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathbb {R} }(T)}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (T)\cap \mathbb {R} =\sigma _{\mathbb {R} }(T)}$

Espectro de un álgebra unital de Banach

Sea B un álgebra de Banach compleja que contenga una unidad e . Luego definimos el espectro σ ( x ) (o más explícitamente σ _B ( x )) de un elemento x de B como el conjunto de aquellos números complejos λ para los cuales λe  −  x no es invertible en B . Esto amplía la definición de operadores lineales acotados B ( X ) en un espacio de Banach X , ya que B ( X ) es un álgebra unital de Banach.

Ver también

• Espectro esencial
• Espectro discreto (matemáticas)
• Operador autoadjunto
• Pseudoespectro
• conjunto solvente

Notas

1. Kreyszig, Erwin. Análisis funcional introductorio con aplicaciones .
2. Teorema 3.3.3 de Kadison & Ringrose, 1983, Fundamentos de la teoría de álgebras de operadores, vol. I: Teoría elemental , Nueva York: Academic Press, Inc.
3. "Intersección no vacía entre el espectro puntual aproximado y el espectro residual".
4. Teschl 2014, pag. 115.
5. Simón 2005, pag. 44.
6. Zaanen, Adriaan C. (2012). Introducción a la teoría del operador en espacios de Riesz. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 304.ISBN​ 9783642606373. Consultado el 8 de septiembre de 2017 .

Referencias

• Dales et al., Introducción a las álgebras, operadores y análisis armónicos de Banach , ISBN 0-521-53584-0 
• "Espectro de un operador", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
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