Espacio métrico orientado a su subespacio

Propiedad universal de los espacios métricos

En matemáticas , un espacio métrico orientado a su subespacio es una construcción categórica que tiene un significado geométrico directo. También es un paso útil hacia la construcción de la envolvente métrica , o espacio estrecho , que son objetos básicos (inyectivos) de la categoría de espacios métricos .

Siguiendo (Holsztyński 1966), se define una noción de un espacio métrico Y orientado hacia su subespacio X.

Introducción informal

De manera informal, imaginemos un terreno Y y su parte X , de modo que dondequiera que en Y coloquemos un tirador y una manzana en otro lugar en Y , y luego dejemos que el tirador dispare, la bala atravesará la manzana y siempre alcanzará un punto de X , o al menos volará arbitrariamente cerca de puntos de X – entonces decimos que Y apunta a X.

A priori, puede parecer plausible que para un X dado los superespacios Y que apuntan a X puedan ser arbitrariamente grandes o al menos enormes. Veremos que este no es el caso. Entre los espacios que apuntan a un subespacio isométrico a X , hay uno único ( hasta la isometría ) universal , Aim( X ), que en un sentido de incrustaciones isométricas canónicas contiene cualquier otro espacio que apunte a (una imagen isométrica de) X . Y en el caso especial de un espacio métrico compacto arbitrario X todo subespacio acotado de un espacio métrico arbitrario Y que apunte a X es totalmente acotado (es decir, su completitud métrica es compacta).

Definiciones

Sea un espacio métrico. Sea un subconjunto de , de modo que (el conjunto con la métrica de restringida a ) es un subespacio métrico de . Entonces ${\displaystyle (Y,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,d|_{X})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Y,d)}$

Definición . El espacio apunta a si y sólo si, para todos los puntos de , y para cada real , existe un punto de tal que ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y,z}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle |d(p,y)-d(p,z)|>d(y,z)-\epsilon .}$

Sea el espacio de todos los mapas métricos de valor real (no contractivos ) de . Definir ${\displaystyle {\text{Met}}(X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{Aim}}(X):=\{f\in \operatorname {Met} (X):f(p)+f(q)\geq d(p,q){\text{ for all }}p,q\in X\}.}$

Entonces

${\displaystyle d(f,g):=\sup _{x\in X}|f(x)-g(x)|<\infty }$

para cada es una métrica en . Además, , donde , es una incrustación isométrica de en ; esto es esencialmente una generalización de la incrustación de Kuratowski-Wojdysławski de espacios métricos acotados en , donde aquí consideramos espacios métricos arbitrarios (acotados o no acotados). Está claro que el espacio está destinado a . ${\displaystyle f,g\in {\text{Aim}}(X)}$ ${\displaystyle {\text{Aim}}(X)}$ ${\displaystyle \delta _{X}\colon x\mapsto d_{x}}$ ${\displaystyle d_{x}(p):=d(x,p)\,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Aim} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aim} (X)}$ ${\displaystyle \delta _{X}(X)}$

Propiedades

Sea una incrustación isométrica. Entonces existe una función métrica natural tal que : ${\displaystyle i\colon X\to Y}$ ${\displaystyle j\colon Y\to \operatorname {Aim} (X)}$ ${\displaystyle j\circ i=\delta _{X}}$

${\displaystyle (j(y))(x):=d(x,y)\,}$

para cada y . ${\displaystyle x\in X\,}$ ${\displaystyle y\in Y\,}$

Teorema El espacio Y anterior apunta al subespacio X si y sólo si la aplicación natural es una incrustación isométrica. ${\displaystyle j\colon Y\to \operatorname {Aim} (X)}$

De ello se deduce que cada espacio dirigido a X puede mapearse isométricamente en Aim(X), con algunos requisitos categóricos adicionales (esenciales) satisfechos.

El espacio Aim(X) es inyectivo (hiperconvexo en el sentido de Aronszajn -Panitchpakdi): dado un espacio métrico M, que contiene a Aim(X) como subespacio métrico, hay una retracción métrica canónica (y explícita) de M sobre Aim(X) (Holsztyński 1966).

Referencias

• Holsztyński, W. (1966), "Sobre los espacios métricos orientados a sus subespacios.", Prace Mat. , 10 : 95–100, MR  0196709