Espacios de filas y columnas

En álgebra lineal , el espacio columna (también llamado rango o imagen ) de una matriz A es el espacio abarcado (conjunto de todas las combinaciones lineales posibles ) de sus vectores columna . El espacio columna de una matriz es la imagen o rango de la transformación matricial correspondiente .

Sea un cuerpo . El espacio columna de una matriz $m$ $\times$ $n$ con componentes de es un subespacio lineal del espacio m . La dimensión del espacio columna se denomina rango de la matriz y es como máximo $min($ $m$ $,$ $n$ $)$ . ^[1] También es posible una definición para matrices sobre un anillo . ${\estilo de visualización F}$ ${\estilo de visualización F}$ $Estilo de visualización F^{m}}$ ${\estilo de visualización R}$

El espacio de filas se define de manera similar.

El espacio de filas y el espacio de columnas de una matriz $A$ a veces se denotan como $C (A T)$ y $C (A)$ respectivamente. ^[2]

En este artículo se analizan las matrices de números reales . Los espacios fila y columna son subespacios de los espacios reales y respectivamente. ^[3] $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{m}$

Descripción general

Sea $A$ una matriz de $m por$ $n . Entonces$

$rango(A) = dim(filap(A)) = dim(colap(A))$ , ^[4]
$rango(A)$ = número de pivotes en cualquier forma escalonada de $A$ ,
$rango(A)$ = el número máximo de filas o columnas linealmente independientes de $A$ . ^[5]

Si la matriz representa una transformación lineal , el espacio columna de la matriz es igual a la imagen de esta transformación lineal.

El espacio columna de una matriz $A$ es el conjunto de todas las combinaciones lineales de las columnas en $A$ . Si $A = [a 1 \dots a n]$ , entonces $colsp(A) = span({a 1, ..., a n})$ .

Dada una matriz $A$ , la acción de la matriz $A$ sobre un vector $x$ devuelve una combinación lineal de las columnas de $A$ con las coordenadas de $x$ como coeficientes; es decir, las columnas de la matriz generan el espacio de columnas.

Ejemplo

Dada una matriz $J$ :

J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}

las filas son , , , . En consecuencia, el espacio fila de $J$ es el subespacio de generado por ${$ $r$ $1$ $,$ $r$ $2$ $,$ $r$ $3$ $,$ $r$ $4$ $}$ . Dado que estos cuatro vectores fila son linealmente independientes , el espacio fila es 4-dimensional. Además, en este caso se puede ver que todos son ortogonales al vector $n$ $= [6, -1, 4, -4, 0]$ ( $n$ es un elemento del núcleo de $J$ ), por lo que se puede deducir que el espacio fila consta de todos los vectores en que son ortogonales a $n$ . $\mathbf {r} _{1}={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\end{bmatrix}}$ $\mathbf {r} _{2}={\begin{bmatrix}-1&-2&1&0&5\end{bmatrix}}$ $\mathbf {r} _{3}={\begin{bmatrix}1&6&2&2&2\end{bmatrix}}$ $\mathbf {r} _{4}={\begin{bmatrix}3&6&2&5&1\end{bmatrix}}$ $\mathbb {R} ^{5}$ $\mathbb {R} ^{5}$

Espacio de columna

Definición

Sea $K$ un campo de escalares . Sea $A$ una matriz $m \times n , con vectores columna$ $v 1, v 2, ..., v n$ . Una combinación lineal de estos vectores es cualquier vector de la forma

c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},

donde $c 1, c 2, ..., c n$ son escalares. El conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de $v 1, ..., v n$ se denomina espacio columna de $A$ . Es decir, el espacio columna de $A$ es el espacio abarcado por los vectores $v 1, ..., v n$ .

Cualquier combinación lineal de los vectores columna de una matriz $A$ se puede escribir como el producto de $A$ con un vector columna:

{\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+\cdots +c_{n}a_{1n}\\\vdots \\c_{1}a_{m1}+\cdots +c_{n}a_{mn}\end{bmatrix}}=c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}\\&=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}

Por lo tanto, el espacio columna de $A$ consiste en todos los productos posibles $A x$ , para $x \in K n$ . Esto es lo mismo que la imagen (o rango ) de la transformación matricial correspondiente .

Ejemplo

Si , entonces los vectores columna son $v$ $1$ $= [1, 0, 2]$ $T$ y $v$ $2$ $= [0, 1, 0]$ $T$ . Una combinación lineal de v ₁ y v ₂ es cualquier vector de la forma El conjunto de todos esos vectores es el espacio columna de $A$ . En este caso, el espacio columna es precisamente el conjunto de vectores $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) \in$ $R$ $3$ que satisfacen la ecuación $z$ $= 2$ $x$ (usando coordenadas cartesianas , este conjunto es un plano que pasa por el origen en el espacio tridimensional ). $A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}$ $c_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\2c_{1}\end{bmatrix}}$

Base

Las columnas de $A$ abarcan el espacio de columnas, pero no pueden formar una base si los vectores de columna no son linealmente independientes . Afortunadamente, las operaciones elementales de fila no afectan las relaciones de dependencia entre los vectores de columna. Esto hace posible utilizar la reducción de fila para encontrar una base para el espacio de columnas.

Por ejemplo, considere la matriz

A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}.

Las columnas de esta matriz abarcan el espacio de columnas, pero pueden no ser linealmente independientes , en cuyo caso algún subconjunto de ellas formará una base. Para encontrar esta base, reducimos $A$ a la forma escalonada reducida por filas :

{\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\0&1&1&1\\0&2&2&-3\\0&-1&-1&4\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.

^[6]

En este punto, está claro que la primera, segunda y cuarta columnas son linealmente independientes, mientras que la tercera columna es una combinación lineal de las dos primeras. (Específicamente, $v 3 = -2 v 1 + v 2$ .) Por lo tanto, la primera, segunda y cuarta columnas de la matriz original son una base para el espacio de columnas:

{\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}.

Obsérvese que las columnas independientes de la forma escalonada reducida son precisamente las columnas con pivotes . Esto permite determinar qué columnas son linealmente independientes al reducir únicamente a la forma escalonada .

El algoritmo anterior se puede utilizar en general para encontrar las relaciones de dependencia entre cualquier conjunto de vectores y para elegir una base de cualquier conjunto generador. Además, encontrar una base para el espacio de columnas de $A$ es equivalente a encontrar una base para el espacio de filas de la matriz transpuesta $A T$ .

Para encontrar la base en un entorno práctico (por ejemplo, para matrices grandes), normalmente se utiliza la descomposición en valores singulares .

Dimensión

La dimensión del espacio de columnas se denomina rango de la matriz. El rango es igual al número de pivotes en la forma escalonada reducida por filas y es el número máximo de columnas linealmente independientes que se pueden elegir de la matriz. Por ejemplo, la matriz 4 × 4 del ejemplo anterior tiene rango tres.

Como el espacio de columnas es la imagen de la transformación matricial correspondiente , el rango de una matriz es el mismo que la dimensión de la imagen. Por ejemplo, la transformación descrita por la matriz anterior asigna todos los de a algún subespacio tridimensional . $\mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$

La nulidad de una matriz es la dimensión del espacio nulo y es igual al número de columnas en la forma escalonada reducida que no tienen pivotes. ^[7] El rango y la nulidad de una matriz $A$ con $n$ columnas están relacionados por la ecuación:

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.\,

Esto se conoce como el teorema de rango-nulidad .

Relación con el espacio nulo izquierdo

El espacio nulo izquierdo de $A$ es el conjunto de todos los vectores $x$ tales que $x T A = 0 T$ . Es lo mismo que el espacio nulo de la transpuesta de $A$ . El producto de la matriz $A T$ y el vector $x$ se puede escribir en términos del producto escalar de vectores:

A^{\mathsf {T}}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},

porque los vectores fila de $A T$ son transpuestas de los vectores columna $v k$ de $A$ . Por lo tanto, $A T x = 0$ si y solo si $x$ es ortogonal (perpendicular) a cada uno de los vectores columna de $A$ .

De ello se deduce que el espacio nulo izquierdo (el espacio nulo de $A T$ ) es el complemento ortogonal del espacio columna de $A$ .

Para una matriz $A$ , el espacio de columnas, el espacio de filas, el espacio nulo y el espacio nulo izquierdo a veces se denominan los cuatro subespacios fundamentales .

Para matrices sobre un anillo

De manera similar, el espacio de columnas (a veces desambiguado como espacio de columnas de la derecha ) se puede definir para matrices sobre un anillo $K$ como

\sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}c_{k}

para cualquier $c 1, ..., c n$ , con reemplazo del espacio vectorial $m$ por " módulo libre derecho ", lo que cambia el orden de multiplicación escalar del vector $v$ $k$ por el escalar $c$ $k$ de modo que se escribe en un orden inusual vector – escalar . ^[8]

Espacio entre filas

Definición

Sea $K$ un campo de escalares . Sea $A$ una matriz $m \times n , con vectores fila$ $r 1, r 2, ..., r m$ . Una combinación lineal de estos vectores es cualquier vector de la forma

c_{1}\mathbf {r} _{1}+c_{2}\mathbf {r} _{2}+\cdots +c_{m}\mathbf {r} _{m},

donde $c 1, c 2, ..., c m$ son escalares. El conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de $r 1, ..., r m$ se denomina espacio fila de $A$ . Es decir, el espacio fila de $A$ es el espacio abarcado por los vectores $r 1, ..., r m$ .

Por ejemplo, si

A={\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\end{bmatrix}},

entonces los vectores fila son $r 1 = [1, 0, 2]$ y $r 2 = [0, 1, 0]$ . Una combinación lineal de $r 1$ y $r 2$ es cualquier vector de la forma

c_{1}{\begin{bmatrix}1&0&2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&2c_{1}\end{bmatrix}}.

El conjunto de todos estos vectores es el espacio fila de $A.$ En este caso, el espacio fila es precisamente el conjunto de vectores $(x, y, z) \in K 3$ que satisfacen la ecuación $z = 2 x$ (usando coordenadas cartesianas , este conjunto es un plano que pasa por el origen en el espacio tridimensional ).

Para una matriz que representa un sistema homogéneo de ecuaciones lineales , el espacio de filas consta de todas las ecuaciones lineales que se derivan de aquellas del sistema.

El espacio de columnas de $A$ es igual al espacio de filas de $A T$ .

Base

El espacio de filas no se ve afectado por las operaciones elementales de filas . Esto permite utilizar la reducción de filas para encontrar una base para el espacio de filas.

Por ejemplo, considere la matriz

A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}.

Las filas de esta matriz abarcan el espacio de filas, pero pueden no ser linealmente independientes , en cuyo caso las filas no serán una base. Para encontrar una base, reducimos $A$ a la forma escalonada de filas :

$r 1$ , $r 2$ , $r 3$ representa las filas.

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}&\xrightarrow {\mathbf {r} _{2}-2\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{2}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\1&5&2\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-\,\,\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&2&0\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-2\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{1}-3\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{1}} {\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

Una vez que la matriz está en forma escalonada, las filas distintas de cero son una base para el espacio de filas. En este caso, la base es ${ [1, 3, 2], [2, 7, 4] }$ . Otra base posible ${ [1, 0, 2], [0, 1, 0] }$ proviene de una reducción adicional. ^[9]

Este algoritmo se puede utilizar en general para encontrar una base para la amplitud de un conjunto de vectores. Si la matriz se simplifica aún más a la forma escalonada reducida por filas , entonces la base resultante está determinada de manera única por el espacio de filas.

A veces es conveniente encontrar una base para el espacio de filas entre las filas de la matriz original (por ejemplo, este resultado es útil para dar una prueba elemental de que el rango determinante de una matriz es igual a su rango). Dado que las operaciones de filas pueden afectar las relaciones de dependencia lineal de los vectores de filas, dicha base se encuentra indirectamente utilizando el hecho de que el espacio de columnas de $A T$ es igual al espacio de filas de $A$ . Utilizando la matriz $A$ de ejemplo anterior, encuentre $A T$ y redúzcala a la forma escalonada por filas:

A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&2&1\\3&7&5\\2&4&2\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&2\\0&0&0\end{bmatrix}}.

Los pivotes indican que las dos primeras columnas de $A T$ forman una base del espacio de columnas de $A T$ . Por lo tanto, las dos primeras filas de $A$ (antes de cualquier reducción de filas) también forman una base del espacio de filas de $A$ .

Dimensión

La dimensión del espacio de filas se denomina rango de la matriz. Es lo mismo que el número máximo de filas linealmente independientes que se pueden elegir de la matriz o, equivalentemente, el número de pivotes. Por ejemplo, la matriz 3 × 3 del ejemplo anterior tiene rango dos. ^[9]

El rango de una matriz también es igual a la dimensión del espacio de columnas . La dimensión del espacio nulo se denomina nulidad de la matriz y está relacionada con el rango mediante la siguiente ecuación:

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n,

donde $n$ es el número de columnas de la matriz $A.$ La ecuación anterior se conoce como teorema de rango-nulidad .

Relación con el espacio nulo

El espacio nulo de la matriz $A$ es el conjunto de todos los vectores $x$ para los cuales $A x = 0.$ El producto de la matriz $A$ y el vector $x$ se puede escribir en términos del producto escalar de vectores:

A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {r} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},

donde $r 1, ..., r m$ son los vectores fila de $A$ . Por lo tanto, $A x = 0$ si y solo si $x$ es ortogonal (perpendicular) a cada uno de los vectores fila de $A$ .

De ello se deduce que el espacio nulo de $A$ es el complemento ortogonal del espacio fila. Por ejemplo, si el espacio fila es un plano que pasa por el origen en tres dimensiones, entonces el espacio nulo será la línea perpendicular que pasa por el origen. Esto proporciona una prueba del teorema de rango-nulidad (véase la dimensión anterior).

El espacio de filas y el espacio nulo son dos de los cuatro subespacios fundamentales asociados con una matriz $A$ (los otros dos son el espacio de columnas y el espacio nulo izquierdo ).

Relación con la coimagen

Si $V$ y $W$ son espacios vectoriales , entonces el núcleo de una transformación lineal $T : V \to W$ es el conjunto de vectores $v \in V$ para los cuales $T (v) = 0.$ El núcleo de una transformación lineal es análogo al espacio nulo de una matriz.

Si $V$ es un espacio de producto interno , entonces el complemento ortogonal al núcleo puede considerarse como una generalización del espacio de filas. Esto a veces se denomina coimagen de T. $La$ transformación $T$ es biunívoca en su coimagen, y la coimagen se asigna isomórficamente a la imagen de $T.$

Cuando $V$ no es un espacio de producto interno, la coimagen de $T$ se puede definir como el espacio cociente $V / ker(T)$ .

Véase también

Subespacio euclidiano

Referencias y notas

^ El álgebra lineal, como se analiza en este artículo, es una disciplina matemática muy bien establecida para la que existen muchas fuentes. Casi todo el material de este artículo se puede encontrar en Lay 2005, Meyer 2001 y Strang 2005.
^ Strang, Gilbert (2016). Introducción al álgebra lineal (quinta edición). Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press. pp. 128, 168. ISBN 978-0-9802327-7-6.OCLC 956503593 .
^ Antón (1987, pág. 179)
^ Antón (1987, pág. 183)
^ Beauregard y Fraleigh (1973, pág.254)
^ Este cálculo utiliza el algoritmo de reducción de filas de Gauss-Jordan . Cada uno de los pasos que se muestran implica múltiples operaciones elementales de filas.
^ Las columnas sin pivotes representan variables libres en el sistema homogéneo asociado de ecuaciones lineales .
^ Importante solo si $K$ no es conmutativa . En realidad, esta forma es simplemente un producto $A c$ de la matriz $A$ por el vector columna $c$ de $K n$ donde se conserva el orden de los factores , a diferencia de la fórmula anterior.
^ ab El ejemplo es válido para los números reales , los números racionales y otros cuerpos numéricos . No es necesariamente correcto para cuerpos y anillos con característica distinta de cero .

Lectura adicional

Anton, Howard (1987), Álgebra lineal elemental (5.ª ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
Axler, Sheldon Jay (1997), Álgebra lineal bien hecha (2.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (6 de junio de 2014), Álgebra lineal y análisis matricial para estadística (1.ª ed.), CRC Press, ISBN 978-1-42-009538-8
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos , Boston: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
Lay, David C. (22 de agosto de 2005), Álgebra lineal y sus aplicaciones (3.ª ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
Leon, Steven J. (2006), Álgebra lineal con aplicaciones (7.ª ed.), Pearson Prentice Hall
Meyer, Carl D. (15 de febrero de 2001), Análisis matricial y álgebra lineal aplicada, Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archivado desde el original el 1 de marzo de 2001
Poole, David (2006), Álgebra lineal: una introducción moderna (2.ª ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
Strang, Gilbert (19 de julio de 2005), Álgebra lineal y sus aplicaciones (4.ª ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8

Enlaces externos

Wikilibros tiene un libro sobre el tema: Álgebra lineal/Espacios de columnas y filas

Weisstein, Eric W. "Espacio en filas". MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Espacio de columnas". MathWorld .
Gilbert Strang , conferencia sobre Álgebra lineal del MIT sobre los cuatro subespacios fundamentales en Google Video, de MIT OpenCourseWare
Videotutorial de Khan Academy
Conferencia sobre el espacio de columnas y el espacio nulo a cargo de Gilbert Strang del MIT
Espacio de fila y espacio de columna