Espacio auxiliar normado

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas, Alexander Grothendieck empleó sistemáticamente dos métodos para construir espacios normados a partir de discos para definir operadores nucleares y espacios nucleares . ^[1] Se utiliza un método si el disco está acotado: en este caso, el espacio normado auxiliar tiene norma. El otro método se utiliza si el disco es absorbente : en este caso, el espacio normado auxiliar es el espacio cociente. Si el disco está acotado y es absorbente, entonces los dos espacios normados auxiliares son canónicamente isomorfos (como espacios vectoriales topológicos y como espacios normados ). ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D}$ $${\displaystyle p_{D}(x):=\inf _{x\in rD,r>0}r.}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X/p_{D}^{-1}(0).}$

Inducida por un disco acotado – Discos de Banach

A lo largo de este artículo, será un espacio vectorial real o complejo (no necesariamente un TVS, todavía) y será un disco en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$

Espacio seminormado inducido por un disco

Sea un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto del funcional de Minkowski de definido por: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$

• Si entonces se define como el mapa trivial ^[2] y se asumirá que ^{[nota 1]} ${\displaystyle D=\varnothing }$ ${\displaystyle p_{\varnothing }(x):\{0\}\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle p_{\varnothing }=0}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \varnothing =\{0\}.}$
• Si y si es absorbente entonces denotamos la funcional de Minkowski de en por donde para todo esto se define por ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D}$ $${\displaystyle p_{D}:\operatorname {span} D\to [0,\infty )}$$ ${\displaystyle x\in \operatorname {span} D,}$ $${\displaystyle p_{D}(x):=\inf _{}\{r:x\in rD,r>0\}.}$$

Sea un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto de tal que el funcional de Minkowski sea una seminorma en sea denotado que se llama espacio seminormado inducido por donde si es una norma entonces se llama espacio normado inducido por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D,}$ ${\displaystyle X_{D}}$ $${\displaystyle X_{D}:=\left(\operatorname {span} D,p_{D}\right)}$$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle D.}$

Supuesto ( Topología ): está dotado de la topología seminorma inducida por la cual será denotada por o ${\displaystyle X_{D}=\operatorname {span} D}$ ${\displaystyle p_{D},}$ ${\displaystyle \tau _{D}}$ ${\displaystyle \tau _{p_{D}}}$

Es importante destacar que esta topología se deriva completamente de la estructura algebraica de conjuntos y de la topología usual de conjuntos (ya que se define utilizando únicamente el conjunto y la multiplicación escalar). Esto justifica el estudio de los discos de Banach y es parte de la razón por la que desempeñan un papel importante en la teoría de los operadores nucleares y los espacios nucleares . ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle D}$

El mapa de inclusión se llama mapa canónico . ^[1] ${\displaystyle \operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X}$

Supongamos que es un disco. Entonces, de modo que es absorbente en el espacio lineal de El conjunto de todos los múltiplos escalares positivos de forma una base de vecindades en el origen para una topología de espacio vectorial topológico localmente convexo en La funcional de Minkowski del disco en garantiza que está bien definida y forma una seminorma en ^[3] La topología localmente convexa inducida por esta seminorma es la topología que se definió antes. ${\displaystyle D}$ ${\textstyle \operatorname {span} D=\bigcup _{n=1}^{\infty }nD}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D,}$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle \{rD:r>0\}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \tau _{D}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D.}$ ${\displaystyle \tau _{D}}$

Definición de disco de Banach

Un disco acotado en un espacio vectorial topológico tal que es un espacio de Banach se denomina disco de Banach , infracompleto o completante acotado . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ ${\displaystyle X.}$

Si se muestra que es un espacio de Banach, entonces será un disco de Banach en cualquier TVS que lo contenga como un subconjunto acotado. ${\displaystyle \left(\operatorname {span} D,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

Esto se debe a que el funcional de Minkowski se define en términos puramente algebraicos. En consecuencia, la cuestión de si forma o no un espacio de Banach depende únicamente del disco y del funcional de Minkowski y no de ninguna topología de TVS particular que pueda llevar consigo. Por lo tanto, el requisito de que un disco de Banach en un TVS sea un subconjunto acotado de es la única propiedad que vincula la topología de un disco de Banach con la topología del TVS que lo contiene. ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p_{D},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Propiedades de los espacios seminormados inducidos por discos

Discos delimitados

El siguiente resultado explica por qué es necesario acotar los discos de Banach.

Teorema ^{[4] [5] [1]}  —  Si es un disco en un espacio vectorial topológico (TVS) , entonces está acotado si y solo si el mapa de inclusión es continuo. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X}$

Prueba

Si el disco está acotado en el TVS entonces para todos los vecindarios del origen en existe alguno tal que Se deduce que en este caso la topología de es más fina que la topología del subespacio que hereda de lo que implica que la función de inclusión es continua. Por el contrario, si tiene una topología TVS tal que es continua, entonces para cada vecindario del origen en existe alguno tal que lo que demuestra que está acotado en ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rD\subseteq U\cap X_{D}.}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rD\subseteq U\cap X_{D},}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$

El estado de Hausdorff

El espacio es de Hausdorff si y solo si es una norma, lo que sucede si y solo si no contiene ningún subespacio vectorial no trivial. ^[6] En particular, si existe una topología TVS de Hausdorff en tal que está acotada en entonces es una norma. Un ejemplo donde no es de Hausdorff se obtiene dejando y dejando el eje . ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$

Convergencia de redes

Supóngase que es un disco en tal que es Hausdorff y sea una red en Entonces en si y sólo si existe una red de números reales tal que y para todos ; además, en este caso se supondrá sin pérdida de generalidad que para todos ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X_{D}.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle r_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle x_{i}\in r_{i}D}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r_{i}\geq 0}$ ${\displaystyle i.}$

Relación entre los espacios inducidos por el disco

Si entonces y así se define el siguiente mapa lineal continuo ^[5] : ${\displaystyle C\subseteq D\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {span} C\subseteq \operatorname {span} D}$ ${\displaystyle p_{D}\leq p_{C}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} C,}$

Si y son discos en con entonces llame al mapa de inclusión la inclusión canónica de en ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C\subseteq D}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{C}^{D}:X_{C}\to X_{D}}$ ${\displaystyle X_{C}}$ ${\displaystyle X_{D}.}$

En particular, la topología del subespacio que hereda de es más débil que la topología seminorma de . ^[5] ${\displaystyle \operatorname {span} C}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ ${\displaystyle \left(X_{C},p_{C}\right)}$

El disco como bola unitaria cerrada

El disco es un subconjunto cerrado de si y sólo si es la bola unitaria cerrada de la seminorma ; es decir, ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle D=\left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}.}$

Si es un disco en un espacio vectorial y si existe una topología TVS en tal que es un subconjunto cerrado y acotado de entonces es la bola unitaria cerrada de (es decir, ) (ver nota al pie para la prueba). ^{[nota 2]} ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \operatorname {span} D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {span} D,\tau \right),}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D=\left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}}$

Condiciones suficientes para un disco de Banach

El siguiente teorema puede utilizarse para establecer que es un espacio de Banach. Una vez establecido esto, será un disco de Banach cualquier TVS en el que esté acotado. ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

Teorema ^[7]  —  Sea un disco en un espacio vectorial Si existe una topología TVS de Hausdorff en tal que es un subconjunto secuencialmente completo y acotado de entonces es un espacio de Banach. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \operatorname {span} D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (\operatorname {span} D,\tau ),}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$

Prueba

Supongamos sin pérdida de generalidad que y sea la funcional de Minkowski de Dado que es un subconjunto acotado de un TVS de Hausdorff, no contiene ningún subespacio vectorial no trivial, lo que implica que es una norma. Sea la topología de la norma inducida por donde dado que es un subconjunto acotado de es más fino que ${\displaystyle X=\operatorname {span} D}$ ${\displaystyle p:=p_{D}}$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \tau _{D}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \tau _{D}}$ ${\displaystyle \tau .}$

Porque es convexo y equilibrado, para cualquier ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 0<m<n}$

$${\displaystyle 2^{-(n+1)}D+\cdots +2^{-(m+2)}D=2^{-(m+1)}\left(1-2^{m-n}\right)D\subseteq 2^{-(m+2)}D.}$$

Sea una secuencia de Cauchy en Reemplazando con una subsecuencia, podemos suponer sin pérdida de generalidad ^† que para todo ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p\right).}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i,}$ $${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}\in {\frac {1}{2^{i+2}}}D.}$$

Esto implica que para cualquier tal que en particular, al tomar se sigue que está contenido en Puesto que es más fino que es una secuencia de Cauchy en Puesto que todo es un subconjunto secuencialmente completo de Hausdorff de En particular, esto es cierto para por lo que existe alguno tal que en ${\displaystyle 0<m<n,}$ $${\displaystyle x_{n}-x_{m}=\left(x_{n}-x_{n-1}\right)+\left(x_{m+1}-x_{m}\right)\in 2^{-(n+1)}D+\cdots +2^{-(m+2)}D\subseteq 2^{-(m+2)}D}$$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{1}+2^{-3}D.}$ ${\displaystyle \tau _{D}}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle m>0,}$ ${\displaystyle 2^{-(m+2)}D}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle x_{1}+2^{-3}D}$ ${\displaystyle x\in x_{1}+2^{-3}D}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Puesto que para todo fijando y tomando el límite (en ) como se sigue que para cada Esto implica que como lo que dice exactamente que en Esto demuestra que es completo. ${\displaystyle x_{n}-x_{m}\in 2^{-(m+2)}D}$ ${\displaystyle 0<m<n,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle n\to \infty ,}$ ${\displaystyle x-x_{m}\in 2^{-(m+2)}D}$ ${\displaystyle m>0.}$ ${\displaystyle p\left(x-x_{m}\right)\to 0}$ ${\displaystyle m\to \infty ,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p\right).}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p\right)}$

^† Esta suposición se permite porque es una secuencia de Cauchy en un espacio métrico (por lo que los límites de todas las subsecuencias son iguales) y una secuencia en un espacio métrico converge si y solo si cada subsecuencia tiene una subsubsecuencia que converge. ${\displaystyle x_{\bullet }}$

Nótese que incluso si no es un subconjunto acotado y secuencialmente completo de ningún TVS de Hausdorff, uno podría aún concluir que es un espacio de Banach aplicando este teorema a algún disco que satisfaga porque ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)<1\right\}\subseteq K\subseteq \left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle p_{D}=p_{K}.}$

Las siguientes son consecuencias del teorema anterior:

• Un disco acotado secuencialmente completo en un TVS de Hausdorff es un disco de Banach. ^[5]
• Cualquier disco en un TVS de Hausdorff que sea completo y acotado (por ejemplo, compacto) es un disco de Banach. ^[8]
• La bola unitaria cerrada en un espacio de Fréchet es secuencialmente completa y, por lo tanto, un disco de Banach. ^[5]

Supongamos que hay un disco acotado en un TVS ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$

• Si es un mapa lineal continuo y es un disco de Banach, entonces es un disco de Banach e induce un isomorfismo TVS isométrico ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle L(B)}$ ${\displaystyle L{\big \vert }_{X_{B}}:X_{B}\to L\left(X_{B}\right)}$ ${\displaystyle Y_{L(B)}\cong X_{B}/\left(X_{B}\cap \operatorname {ker} L\right).}$

Propiedades de los discos de Banach

Sea un TVS y sea un disco acotado en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$

Si es un disco de Banach acotado en un espacio localmente convexo de Hausdorff y si es un barril en entonces absorbe (es decir, hay un número tal que ^[4] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle D\subseteq rT.}$

Si es un entorno cerrado balanceado convexo del origen en entonces la colección de todos los entornos donde se extiende sobre los números reales positivos, induce una topología de espacio vectorial topológico en Cuando tiene esta topología, se denota por Dado que esta topología no es necesariamente de Hausdorff ni completa, la completitud del espacio de Hausdorff se denota por de modo que es un espacio de Hausdorff completo y es una norma en este espacio que se convierte en un espacio de Banach. El polar de es un disco equicontinuo acotado débilmente compacto en y por lo tanto es infracompleto. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle rU,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{U}.}$ ${\displaystyle X/p_{U}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$ ${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$ ${\displaystyle p_{U}(x):=\inf _{x\in rU,r>0}r}$ ${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle U^{\circ },}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Si es un TVS localmente convexo metrizable entonces para cada subconjunto acotado de existe un disco acotado en tal que y ambos e inducen la misma topología de subespacio en ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X_{D},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{D}}$ ${\displaystyle B.}$

Inducida por un disco radial – cociente

Supóngase que es un espacio vectorial topológico y es un conjunto radial y equilibrado convexo . Entonces es una base de vecindad en el origen para alguna topología localmente convexa en Esta topología TVS está dada por la funcional de Minkowski formada por que es una seminorma en definida por La topología es de Hausdorff si y solo si es una norma, o equivalentemente, si y solo si o equivalentemente, para lo cual basta que esté acotada en La topología no necesita ser de Hausdorff sino que es de Hausdorff. Una norma en está dada por donde este valor es de hecho independiente del representante de la clase de equivalencia elegida. El espacio normado se denota por y su completitud se denota por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{n}}V:n=1,2,\ldots \right\}}$ ${\displaystyle \tau _{V}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau _{V}}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle p_{V}:X\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{V}(x):=\inf _{x\in rV,r>0}r.}$ ${\displaystyle \tau _{V}}$ ${\displaystyle p_{V}}$ ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)=\{0\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau _{V}}$ ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \left\|x+X/p_{V}^{-1}(0)\right\|:=p_{V}(x),}$ ${\displaystyle x+X/p_{V}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \left(X/p_{V}^{-1}(0),\|\cdot \|\right)}$ ${\displaystyle X_{V}}$ ${\displaystyle {\overline {X_{V}}}.}$

Si además está acotado en entonces la seminorma es una norma por lo que en particular, En este caso, tomamos como el espacio vectorial en lugar de para que la notación sea inequívoca (ya sea que denote el espacio inducido por un disco radial o el espacio inducido por un disco acotado). ^[1] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{V}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p_{V}^{-1}(0)=\{0\}.}$ ${\displaystyle X_{V}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/\{0\}}$ ${\displaystyle X_{V}}$ ${\displaystyle X_{V}}$

La topología cociente de (heredada de la topología original de ) es más fina (en general, estrictamente más fina) que la topología norma. ${\displaystyle \tau _{Q}}$ ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle X}$

Mapas canónicos

La función canónica es la función cociente que es continua cuando tiene topología norma o topología cociente. ^[1] ${\displaystyle q_{V}:X\to X_{V}=X/p_{V}^{-1}(0),}$ ${\displaystyle X_{V}}$

Si y son discos radiales tales que entonces entonces existe una función canónica sobreyectiva lineal continua definida enviando a la clase de equivalencia donde se puede verificar que la definición no depende del representante de la clase de equivalencia que se elija. ^[1] Esta función canónica tiene norma ^[1] y tiene una única extensión canónica lineal continua que se denota por ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U\subseteq V}$ ${\displaystyle p_{U}^{-1}(0)\subseteq p_{V}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle q_{V,U}:X/p_{U}^{-1}(0)\to X/p_{V}^{-1}(0)=X_{V}}$ ${\displaystyle x+p_{U}^{-1}(0)\in X_{U}=X/p_{U}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle x+p_{V}^{-1}(0),}$ ${\displaystyle x+p_{U}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \,\leq 1}$ ${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$ ${\displaystyle {\overline {g_{V,U}}}:{\overline {X_{U}}}\to {\overline {X_{V}}}.}$

Supóngase que además y son discos acotados en con de modo que y la inclusión es una función lineal continua. Sean y las funciones canónicas. Entonces y ^[1] ${\displaystyle B\neq \varnothing }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq C}$ ${\displaystyle X_{B}\subseteq X_{C}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{B}^{C}:X_{B}\to X_{C}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{B}:X_{B}\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{C}:X_{C}\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{B}^{C}:X_{B}\to X_{C}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{C}=\operatorname {In} _{B}^{C}\circ \operatorname {In} _{C}:X_{B}\to X_{C}}$ ${\displaystyle q_{V}=q_{V,U}\circ q_{U}.}$

Inducida por un disco radial delimitado

Supóngase que es un disco radial acotado. Puesto que es un disco acotado, si entonces podemos crear el espacio normado auxiliar con norma ; puesto que es radial, Puesto que es un disco radial, si entonces podemos crear el espacio seminormado auxiliar con la seminorma ; puesto que es acotado, esta seminorma es una norma y por tanto Por lo tanto, en este caso los dos espacios normados auxiliares producidos por estos dos métodos diferentes dan como resultado el mismo espacio normado. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D:=S}$ ${\displaystyle X_{D}=\operatorname {span} D}$ ${\displaystyle p_{D}(x):=\inf _{x\in rD,r>0}r}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X_{S}=X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V:=S}$ ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)}$ ${\displaystyle p_{V}(x):=\inf _{x\in rV,r>0}r}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p_{V}^{-1}(0)=\{0\}}$ ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)=X/\{0\}=X.}$

Dualidad

Supóngase que es un disco equicontinuo débilmente cerrado en (esto implica que es débilmente compacto) y sea la polar de Porque por el teorema bipolar , se deduce que un funcional lineal continuo pertenece a si y solo si pertenece al espacio dual continuo de donde es el funcional de Minkowski de definido por ^[9] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle U:=H^{\circ }=\{x\in X:|h(x)|\leq 1{\text{ for all }}h\in H\}}$$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle U^{\circ }=H^{\circ \circ }=H}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X_{H}^{\prime }=\operatorname {span} H}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(X,p_{U}\right),}$ ${\displaystyle p_{U}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p_{U}(x):=\inf _{x\in rU,r>0}r.}$

Conceptos relacionados

Un disco en un TVS se llama infrabornívoro ^[5] si absorbe todos los discos de Banach.

Un mapa lineal entre dos TVS se denomina infralimitado ^[5] si asigna discos de Banach a discos delimitados.

Convergencia rápida

Se dice que una secuencia en un TVS es convergente rápida ^[5] a un punto si existe un disco de Banach tal que tanto y la secuencia está (eventualmente) contenida en y en ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right).}$

Toda secuencia convergente rápida es convergente de Mackey . ^[5]

Véase también

• Espacio bornológico  : espacio donde los operadores acotados son continuos
• Producto tensorial inyectivo
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Operador nuclear  – Operador lineal relacionado con los espacios vectoriales topológicos
• Espacio nuclear  : una generalización de los espacios euclidianos de dimensión finita diferentes de los espacios de Hilbert
• Topología inicial  : topología más burda que hace que ciertas funciones sean continuas
• Producto tensorial proyectivo  : producto tensorial definido en dos espacios vectoriales topológicosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio vectorial topológico de Schwartz  : espacio vectorial topológico cuyos vecindarios del origen tienen una propiedad similar a la definición de subconjuntos totalmente acotadosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Producto tensorial de espacios de Hilbert  – Espacio de producto tensorial dotado de un producto interno especial
• Producto tensorial topológico  – Construcciones de productos tensoriales para espacios vectoriales topológicos
• Espacio ultrabornológico

Notas

1. Este es el espacio vectorial más pequeño que contiene Alternativamente, si entonces puede reemplazarse con ${\displaystyle \varnothing .}$ ${\displaystyle D=\varnothing }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \{0\}.}$
2. Supongamos que WLOG es cerrado en él también es cerrado en y dado que la seminorma es la funcional de Minkowski de la cual es continua en él se deduce que Narici y Beckenstein (2011, pp. 119-120) es la bola unitaria cerrada en ${\displaystyle X=\operatorname {span} D.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right),}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \left(X_{D},p\right).}$

Referencias

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2. Schaefer y Wolff 1999, pág. 169.
3. Trèves 2006, pág. 370.
4. Trèves 2006, págs. 370–373.
5. Narici y Beckenstein 2011, págs. 441–457.
6. Narici y Beckenstein 2011, págs. 115–154.
7. Narici y Beckenstein 2011, págs. 441–442.
8. Trèves 2006, págs. 370–371.
9. Trèves 2006, pág. 477.

Bibliografía

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Enlaces externos

• El espacio nuclear en el NCATLAB