Espacio puntiagudo

Espacio topológico con un punto distinguido

En matemáticas , un espacio apuntado o espacio base es un espacio topológico con un punto distinguido, el punto base . El punto distinguido es simplemente un punto particular, elegido del espacio, y al que se le da un nombre, de modo que permanezca inalterado durante las discusiones posteriores y se mantenga un registro de él durante todas las operaciones. ${\displaystyle x_{0},}$

Los mapas de espacios apuntados ( mapas basados ) son mapas continuos que preservan puntos base, es decir, un mapa entre un espacio apuntado con punto base y un espacio apuntado con punto base es un mapa basado si es continuo con respecto a las topologías de y y si Esto generalmente se denota ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=y_{0}.}$

${\displaystyle f:\left(X,x_{0}\right)\to \left(Y,y_{0}\right).}$

Los espacios puntiagudos son importantes en la topología algebraica , particularmente en la teoría de homotopía , donde muchas construcciones, como el grupo fundamental , dependen de la elección del punto base.

El concepto de conjunto puntiagudo es menos importante; de ​​todos modos es el caso de un espacio discreto puntiagudo .

Los espacios puntiagudos se suelen considerar un caso especial de la topología relativa , donde el subconjunto es un único punto. Por ello, gran parte de la teoría de la homotopía suele desarrollarse en espacios puntiagudos y luego se traslada a las topologías relativas en la topología algebraica .

Categoría de espacios apuntados

La clase de todos los espacios puntiagudos forma una categoría Top con morfismos continuos que preservan el punto base . Otra forma de pensar en esta categoría es como la categoría de coma , ( Top ) donde es cualquier espacio de un punto y Top es la categoría de espacios topológicos . (Esto también se llama categoría de coslice denotada Top ). Los objetos en esta categoría son morfismos continuos. Se puede pensar que estos morfismos seleccionan un punto base en Los morfismos en ( Top ) son morfismos en Top para los cuales el siguiente diagrama conmuta : _{${\displaystyle \bullet }$} ${\displaystyle \{\bullet \}\downarrow }$ ${\displaystyle \{\bullet \}}$ ${\displaystyle \{\bullet \}/}$ ${\displaystyle \{\bullet \}\to X.}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \{\bullet \}\downarrow }$

Es fácil ver que la conmutatividad del diagrama es equivalente a la condición que preserva los puntos base. ${\displaystyle f}$

Como espacio puntiagudo, es un objeto cero en Top , mientras que es solo un objeto terminal en Top . ${\displaystyle \{\bullet \}}$ _{${\displaystyle \{\bullet \}}$}

Existe un funtor olvidadizo Top Top que "olvida" qué punto es el punto base. Este funtor tiene un adjunto izquierdo que asigna a cada espacio topológico la unión disjunta de y un espacio de un punto cuyo único elemento se toma como el punto base. _{${\displaystyle \{\bullet \}}$} ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\bullet \}}$

Operaciones en espacios puntuales

• Un subespacio de un espacio puntiagudo es un subespacio topológico que comparte su punto base con, de modo que el mapa de inclusión preserva el punto base. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$
• Se puede formar el cociente de un espacio apuntado bajo cualquier relación de equivalencia . El punto base del cociente es la imagen del punto base en bajo la función del cociente. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Se puede formar el producto de dos espacios puntiagudos como el producto topológico con sirviendo como punto base. ${\displaystyle \left(X,x_{0}\right),}$ ${\displaystyle \left(Y,y_{0}\right)}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$
• El coproducto en la categoría de espacios puntiagudos es la suma de cuña , que puede considerarse como la "unión de un punto" de espacios.
• El producto de aplastamiento de dos espacios puntiagudos es esencialmente el cociente del producto directo y la suma de cuñas. Nos gustaría decir que el producto de aplastamiento convierte la categoría de espacios puntiagudos en una categoría monoidal simétrica con la esfera 0 puntiaguda como objeto unitario, pero esto es falso para espacios generales: la condición de asociatividad podría fallar. Pero es cierto para algunas categorías de espacios más restringidas, como los espacios débiles de Hausdorff generados de forma compacta .
• La suspensión reducida de un espacio apuntado es (hasta un homeomorfismo ) el producto de ruptura de y el círculo apuntado ${\displaystyle \Sigma X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{1}.}$
• La suspensión reducida es un funtor de la categoría de espacios apuntados a sí mismo. Este funtor es adjunto por la izquierda del funtor que lleva un espacio apuntado a su espacio de bucles . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega X}$

Véase también

• Categoría de grupos  – categoría de grupos y homomorfismos de gruposPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Categoría de espacios métricos  : categoría matemática con espacios métricos como sus objetos y mapas no crecientes en distancia como sus morfismosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Categoría de conjuntos  – Categoría en matemáticas donde los objetos son conjuntos
• Categoría de espacios topológicos  – categoría cuyos objetos son espacios topológicos y cuyos morfismos son mapas continuosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Categoría de espacios vectoriales topológicos  – Categoría topológica

Referencias

• Gamelin, Theodore W.; Greene, Robert Everist (1999) [1983]. Introducción a la topología (segunda edición). Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-40680-6.
• Mac Lane, Saunders (septiembre de 1998). Categorías para el matemático en activo (segunda edición). Springer. ISBN 0-387-98403-8.

• Discusión en mathoverflow sobre varios puntos base y grupoides