Espacio resistente

Concepto dentro del análisis complejo

En análisis complejo , los espacios de Hardy (o clases de Hardy ) H ^p son ciertos espacios de funciones holomorfas en el disco unidad o semiplano superior . Fueron introducidos por Frigyes Riesz (Riesz 1923), quien los nombró en honor a GH Hardy , debido al artículo (Hardy 1915). En análisis real, los espacios de Hardy son ciertos espacios de distribuciones en la línea real, que son (en el sentido de distribuciones) valores límite de las funciones holomorfas de los espacios de Hardy complejos , y están relacionados con los espacios L p del análisis funcional . Para 1 ≤  p  < ∞, estos espacios de Hardy reales H ^p son ciertos subconjuntos de L ^p , mientras que para p < 1, los espacios L ^p tienen algunas propiedades indeseables, y los espacios de Hardy se comportan mucho mejor.

También hay generalizaciones de dimensiones superiores, que consisten en ciertas funciones holomorfas en dominios de tubos en el caso complejo, o ciertos espacios de distribuciones en R ⁿ en el caso real.

Los espacios de Hardy tienen varias aplicaciones en el propio análisis matemático , así como en la teoría de control (como los métodos H ∞ ) y en la teoría de la dispersión .

Espacios resistentes para el disco de la unidad

Para espacios de funciones holomorfas en el disco unitario abierto , el espacio de Hardy H ² consiste en las funciones f cuyo valor cuadrático medio en el círculo de radio r permanece acotado cuando r → 1 desde abajo.

De manera más general, el espacio de Hardy H ^p para 0 < p < ∞ es la clase de funciones holomorfas f en el disco unitario abierto que satisface

${\displaystyle \sup _{0\leqslant r<1}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|^{p}\;\mathrm {d} \theta \right)^{\frac {1}{p}}<\infty .}$

Esta clase H ^p es un espacio vectorial. El número en el lado izquierdo de la desigualdad anterior es la p -norma del espacio Hardy para f , denotada por Es una norma cuando p ≥ 1, pero no cuando 0 < p  < 1. ${\displaystyle \|f\|_{H^{p}}.}$

El espacio H ^∞ se define como el espacio vectorial de funciones holomorfas acotadas en el disco, con la norma

${\displaystyle \|f\|_{H^{\infty }}=\sup _{|z|<1}\left|f(z)\right|.}$

Para 0 < p ≤ q ≤ ∞, la clase H ^q es un subconjunto de H ^p , y la norma H ^p aumenta con p (es una consecuencia de la desigualdad de Hölder que la norma L ^p aumenta para medidas de probabilidad , es decir, medidas con masa total 1).

Espacios resistentes en el círculo unitario

Los espacios de Hardy definidos en la sección anterior también pueden verse como ciertos subespacios vectoriales cerrados de los espacios complejos L p en el círculo unitario. Esta conexión la proporciona el siguiente teorema (Katznelson 1976, Teoría 3.8): Dado f ∈ H ^p , con p ≥ 1, el límite radial

${\displaystyle {\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)=\lim _{r\to 1}f\left(re^{i\theta }\right)}$

existe para casi cada θ. La función pertenece al espacio L ^p para el círculo unitario, ^{[ aclaración necesaria ]} y se tiene que ${\displaystyle {\tilde {f}}}$

${\displaystyle \|{\tilde {f}}\|_{L^{p}}=\|f\|_{H^{p}}.}$

Denotando por T el círculo unitario , y por H ^p ( T ) el subespacio vectorial de L ^p ( T ) que consiste en todas las funciones límite , cuando f varía en H ^p , se tiene entonces que para p  ≥ 1, (Katznelson 1976) ${\displaystyle {\tilde {f}}}$

${\displaystyle g\in H^{p}\left(\mathbf {T} \right){\text{ if and only if }}g\in L^{p}\left(\mathbf {T} \right){\text{ and }}{\hat {g}}(n)=0{\text{ for all }}n<0,}$

donde ĝ ( n ) son los coeficientes de Fourier de una función g integrable en el círculo unitario,

${\displaystyle \forall n\in \mathbf {Z} ,\ \ \ {\hat {g}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }g\left(e^{i\phi }\right)e^{-in\phi }\,\mathrm {d} \phi .}$

El espacio H ^p ( T ) es un subespacio cerrado de L ^p ( T ). Como L ^p ( T ) es un espacio de Banach (para 1 ≤ p ≤ ∞), también lo es H ^p ( T ).

Lo anterior se puede revertir. Dada una función , con p ≥ 1, se puede recuperar una función ( armónica ) f en el disco unitario mediante el núcleo de Poisson P _r : ${\displaystyle {\tilde {f}}\in L^{p}(\mathbf {T} )}$

${\displaystyle f\left(re^{i\theta }\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}(\theta -\phi ){\tilde {f}}\left(e^{i\phi }\right)\,\mathrm {d} \phi ,\quad r<1,}$

y f pertenece a H ^p exactamente cuando está en H ^p ( T ). Suponiendo que está en H ^p ( T ), es decir que tiene coeficientes de Fourier ( a _n ) _{n ∈ Z} con a _n = 0 para todo n < 0, entonces el elemento f del espacio de Hardy asociado a H ^p es la función holomorfa ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\ \ \ |z|<1.}$

En las aplicaciones, aquellas funciones con coeficientes de Fourier negativos que desaparecen se interpretan comúnmente como soluciones causales . ^{[ aclaración necesaria ]} Por lo tanto, se considera que el espacio H ² se ubica naturalmente dentro del espacio L ² y está representado por secuencias infinitas indexadas por N ; mientras que L ² consiste en secuencias bi-infinitas indexadas por Z .

Conexión con espacios reales de Hardy en el círculo

Cuando 1 ≤ p < ∞, los espacios de Hardy reales H ^p discutidos más adelante ^{[ aclaración necesaria ]} en este artículo son fáciles de describir en el presente contexto. Una función real f en el círculo unitario pertenece al espacio de Hardy real H ^p ( T ) si es la parte real de una función en H ^p ( T ), y una función compleja f pertenece al espacio de Hardy real si y solo si Re( f ) e Im( f ) pertenecen al espacio (ver la sección sobre espacios de Hardy reales a continuación). Por lo tanto, para 1 ≤ p < ∞, el espacio de Hardy real contiene al espacio de Hardy, pero es mucho más grande, ya que no se impone ninguna relación entre la parte real e imaginaria de la función.

Para 0 < p < 1, herramientas como los coeficientes de Fourier, la integral de Poisson y la función conjugada ya no son válidas. Por ejemplo, considere la función

${\displaystyle F(z)={\frac {1+z}{1-z}},\quad |z|<1.}$

Entonces F está en H ^p para cada 0 < p < 1, y el límite radial

${\displaystyle f(e^{i\theta }):=\lim _{r\to 1}F(re^{i\theta })=i\,\cot({\tfrac {\theta }{2}}).}$

existe para ae θ y está en H ^p ( T ), pero Re( f ) es 0 en casi todas partes, por lo que ya no es posible recuperar F de Re( f ). Como consecuencia de este ejemplo, se ve que para 0 < p < 1, no se puede caracterizar el H ^p ( T ) real (definido a continuación) de la manera simple dada anteriormente, ^{[ aclaración necesaria ]} sino que se debe usar la definición real usando funciones máximas, que se da más adelante en algún lugar más abajo.

Para la misma función F , sea f _r (e ^iθ ) = F ( re ^iθ ). El límite cuando r → 1 de Re( f _r ), en el sentido de distribuciones en el círculo, es un múltiplo distinto de cero de la distribución de Dirac en z = 1. La distribución de Dirac en un punto del círculo unitario pertenece a la distribución real- H ^p ( T ) para cada p  < 1 (ver más abajo).

Factorización en funciones internas y externas (Beurling)

Para 0 <  p ≤ ∞, cada función f  distinta de cero en H ^p puede escribirse como el producto f = Gh donde G es una función externa y h es una función interna , como se define a continuación (Rudin 1987, Teoría 17.17). Esta " factorización de Beurling " permite que el espacio de Hardy se caracterice completamente por los espacios de funciones internas y externas. ^{[1] [2]}

Se dice que G ( z ) ^{[ aclaración necesaria ]} es una función externa (externa) si toma la forma

${\displaystyle G(z)=c\,\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}\log \!\left(\varphi \!\left(e^{i\theta }\right)\right)\,\mathrm {d} \theta \right)}$

para algún número complejo c con | c | = 1, y alguna función medible positiva en el círculo unitario tal que sea integrable en el círculo. En particular, cuando es integrable en el círculo, G está en H ¹ porque lo anterior toma la forma del núcleo de Poisson (Rudin 1987, Teoría 17.16). Esto implica que ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \log(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}\left|G\left(re^{i\theta }\right)\right|=\varphi \left(e^{i\theta }\right)}$

para casi cada θ.

Se dice que h es una función interna (interior) si y sólo si | h | ≤ 1 en el disco unitario y el límite

${\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}h(re^{i\theta })}$

existe para casi todos los θ y su módulo es igual a 1 ae En particular, h está en H ^∞ . ^{[ aclaración necesaria ]} La función interna se puede factorizar aún más en una forma que involucra un producto de Blaschke .

La función f , descompuesta como f = Gh , ^{[ aclaración necesaria ]} está en H ^p si y sólo si φ pertenece a L ^p ( T ), donde φ es la función positiva en la representación de la función externa G .

Sea G una función externa representada como se ha indicado anteriormente a partir de una función φ en la circunferencia. Sustituyendo φ por φ ^α , α > 0, se obtiene una familia ( G _{α ) de funciones externas, con las propiedades:}

G ₁  = G , G _α+β = G _α  G _β   y | G _α | = | G | ^α casi en todas partes del círculo.

De ello se deduce que siempre que 0 < p , q , r < ∞ y 1/ r = 1/ p + 1/ q , toda función f en H ^r puede expresarse como el producto de una función en H ^p y una función en H ^q . Por ejemplo: toda función en H ¹ es el producto de dos funciones en H ² ; toda función en H ^p , p < 1, puede expresarse como el producto de varias funciones en algún H ^q , q  > 1.

Técnicas de variables reales en el círculo unitario

Las técnicas de variables reales, principalmente asociadas al estudio de espacios de Hardy reales definidos en R ⁿ (ver más abajo), también se utilizan en el marco más simple del círculo. Es una práctica común permitir funciones complejas (o distribuciones) en estos espacios "reales". La definición que sigue no distingue entre casos reales o complejos.

Sea P _r el núcleo de Poisson en el círculo unitario T . Para una distribución f en el círculo unitario, establezca

${\displaystyle (Mf)(e^{i\theta })=\sup _{0<r<1}\left|(f*P_{r})\left(e^{i\theta }\right)\right|,}$

donde la estrella indica la convolución entre la distribución f y la función e ^iθ → P _r (θ) en el círculo. Es decir, ( f ∗ P _r )(e ^iθ ) es el resultado de la acción de f sobre la función C ^∞ definida en el círculo unitario por

${\displaystyle e^{i\varphi }\rightarrow P_{r}(\theta -\varphi ).}$

Para 0 < p  < ∞, el espacio de Hardy real H ^p ( T ) consiste en distribuciones f tales que M f   está en L ^p ( T ).

La función F definida en el disco unitario por F ( re ^iθ ) = ( f ∗ P _r )(e ^iθ ) es armónica, y M f   es la función radial máxima de F . Cuando M f   pertenece a L ^p ( T ) y p  ≥ 1, la distribución f   " es " una función en L ^p ( T ), es decir, el valor límite de F . Para p  ≥ 1, el espacio de Hardy real H ^p ( T ) es un subconjunto de L ^p ( T ).

Función conjugada

A cada polinomio trigonométrico real u en el círculo unitario, se le asocia el polinomio conjugado real v tal que u + i v se extiende a una función holomorfa en el disco unitario,

${\displaystyle u(e^{i\theta })={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k\geqslant 1}a_{k}\cos(k\theta )+b_{k}\sin(k\theta )\longrightarrow v(e^{i\theta })=\sum _{k\geqslant 1}a_{k}\sin(k\theta )-b_{k}\cos(k\theta ).}$

Esta aplicación u → v se extiende a un operador lineal acotado H en L ^p ( T ), cuando 1 < p  < ∞ (hasta un múltiplo escalar, es la transformada de Hilbert en el círculo unitario), y H también asigna L ¹ ( T ) a L 1 ( T ) débil . Cuando 1 ≤ p  < ∞, los siguientes son equivalentes para una función integrable de valor real f en el círculo unitario:

• La función f es la parte real de alguna función g ∈ H ^p ( T )
• La función f y su conjugado H(f) pertenecen a L ^p ( T )
• La función radial máxima M f   pertenece a L ^p ( T ).

Cuando 1 < p < ∞, H(f) pertenece a L ^p ( T ) cuando f ∈ L ^p ( T ), por lo tanto, el espacio de Hardy real H ^p ( T ) coincide con L ^p ( T ) en este caso. Para p = 1, el espacio de Hardy real H ¹ ( T ) es un subespacio propio de L ¹ ( T ).

El caso de p = ∞ fue excluido de la definición de espacios reales de Hardy, porque la función máxima M f   de una función L ^∞ siempre está acotada, y porque no es deseable que H ^∞ real sea igual a L ^∞ . Sin embargo, las dos propiedades siguientes son equivalentes para una función de valor real f

• La función f   es la parte real de alguna función g ∈ H ^∞ ( T )
• La función f   y su conjugada H(f) pertenecen a L ^∞ ( T ).

Espacios realmente resistentes para 0

Cuando 0 < p < 1, una función F en H ^p no puede reconstruirse a partir de la parte real de su función límite de contorno en el círculo, debido a la falta de convexidad de L ^p en este caso. La convexidad falla pero permanece una especie de " convexidad compleja ", a saber, el hecho de que z → | z | ^q es subarmónico para cada q > 0. Como consecuencia, si

${\displaystyle F(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}z^{n},\quad |z|<1}$

está en H ^p , se puede demostrar que c _n = O( n ^{1/ p –1} ). De ello se deduce que la serie de Fourier

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}e^{in\theta }}$

converge en el sentido de distribuciones a una distribución f en el círculo unitario, y F ( re ^iθ ) =( f  ∗  P _r )(θ). La función F ∈ H ^p se puede reconstruir a partir de la distribución real Re( f ) en el círculo, porque los coeficientes de Taylor c _n de F se pueden calcular a partir de los coeficientes de Fourier de Re( f ).

Las distribuciones en el círculo son lo suficientemente generales para manejar espacios de Hardy cuando p  < 1. Existen distribuciones que no son funciones, como se ve con las funciones F ( z ) = (1− z ) ^{− N} (para | z | < 1), que pertenecen a H ^p cuando 0 < N  p  < 1 (y N un entero ≥ 1).

Una distribución real en el círculo pertenece a real- H ^p ( T ) si y solo si es el valor límite de la parte real de algún F ∈ H ^p . Una distribución de Dirac δ _x , en cualquier punto x del círculo unitario, pertenece a real- H ^p ( T ) para cada p < 1; las derivadas δ′ _x pertenecen cuando p < 1/2, las segundas derivadas δ′′ _x cuando p < 1/3, y así sucesivamente.

Espacios resistentes para el semiplano superior

Es posible definir espacios de Hardy en otros dominios que no sean el disco, y en muchas aplicaciones se utilizan espacios de Hardy en un semiplano complejo (normalmente el semiplano derecho o el semiplano superior).

El espacio de Hardy H ^p ( H ) en el semiplano superior H se define como el espacio de funciones holomorfas f en H con norma acotada, siendo la norma dada por

${\displaystyle \|f\|_{H^{p}}=\sup _{y>0}\left(\int _{-\infty }^{+\infty }|f(x+iy)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}.}$

La H ^∞ ( H ) correspondiente se define como funciones de norma acotada, con la norma dada por

${\displaystyle \|f\|_{H^{\infty }}=\sup _{z\in \mathbf {H} }|f(z)|.}$

Aunque el disco unitario D y el semiplano superior H se pueden mapear entre sí por medio de transformaciones de Möbius , no son intercambiables ^{[ aclaración necesaria ] como dominios para espacios de Hardy. Contribuye a esta diferencia el hecho de que el círculo unitario tiene} una medida de Lebesgue finita (unidimensional) mientras que la línea real no la tiene. Sin embargo, para H 2 , se tiene el siguiente teorema: si m  : D → H denota la transformación de Möbius

${\displaystyle m(z)=i\cdot {\frac {1+z}{1-z}}.}$

Entonces el operador lineal M  : H ² ( H ) → H ² ( D ) definido por

${\displaystyle (Mf)(z):={\frac {\sqrt {\pi }}{1-z}}f(m(z)).}$

es un isomorfismo isométrico de espacios de Hilbert.

Espacios realmente resistentes paraRnorte

En el análisis del espacio vectorial real R ⁿ , el espacio de Hardy H ^p (para 0 <  p  ≤ ∞) consiste en distribuciones templadas f tales que para alguna función de Schwartz Φ con ∫Φ = 1, la función máxima

${\displaystyle (M_{\Phi }f)(x)=\sup _{t>0}|(f*\Phi _{t})(x)|}$

está en L ^p ( R ⁿ ), donde ∗ es convolución y Φ _t ( x ) = t ^{− n} Φ( x  /  t ) . La H ^p - cuasinorma || f  || _Hp de una distribución f de H ^p se define como la norma L ^p de M _Φ f (esto depende de la elección de Φ, pero diferentes elecciones de funciones de Schwartz Φ dan normas equivalentes). La H ^p - cuasinorma es una norma cuando p ≥ 1, pero no cuando p  < 1.

Si 1 < p  < ∞, el espacio de Hardy H ^p es el mismo espacio vectorial que L ^p , con norma equivalente. Cuando p  = 1, el espacio de Hardy H ¹ es un subespacio propio de L ¹ . Se pueden encontrar sucesiones en H ¹ que estén acotadas en L ¹ pero no acotadas en H ¹ , por ejemplo en la línea

${\displaystyle f_{k}(x)=\mathbf {1} _{[0,1]}(x-k)-\mathbf {1} _{[0,1]}(x+k),\ \ \ k>0.}$

Las normas L ¹ y H ^{1 no son equivalentes en} H ¹ , y H ¹ no es cerrado en L ¹ . El dual de H ¹ es el espacio BMO de funciones de oscilación media acotada . El espacio BMO contiene funciones no acotadas (lo que demuestra nuevamente que H ¹ no es cerrado en L ¹ ).

Si p  < 1 entonces el espacio de Hardy H ^p tiene elementos que no son funciones, y su dual es el espacio Lipschitz homogéneo de orden n (1/ p  − 1). Cuando p < 1, la cuasinorma H ^p no es una norma, ya que no es subaditiva. La potencia p || f  || _Hp ^p es subaditiva para p  < 1 y por lo tanto define una métrica en el espacio de Hardy H ^p , que define la topología y convierte a H ^p en un espacio métrico completo.

Descomposición atómica

Cuando 0 < p ≤ 1, una función medible acotada f de soporte compacto está en el espacio de Hardy H ^p si y solo si todos sus momentos

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x)x_{1}^{i_{1}}\ldots x_{n}^{i_{n}}\,\mathrm {d} x,}$

cuyo orden i ₁ + ... + i _n es como máximo n (1/ p  − 1), se anulan. Por ejemplo, la integral de f debe anularse para que f ∈ H ^p , 0 < p ≤ 1, y siempre que p  > n  / ( n +1) esto también es suficiente.

Si además f tiene apoyo en alguna bola B y está acotado por | B | ^{−1/ p} entonces f se llama un H ^p -átomo (aquí | B | denota el volumen euclidiano de B en R ⁿ ). La H ^p -cuasinorma de un H ^p -átomo arbitrario está acotada por una constante que depende únicamente de p y de la función de Schwartz Φ.

Cuando 0 < p ≤ 1, cualquier elemento f de H ^p tiene una descomposición atómica como una combinación infinita convergente de átomos de H ^p ,

${\displaystyle f=\sum c_{j}a_{j},\ \ \ \sum |c_{j}|^{p}<\infty }$

donde los a _j son átomos de H ^p y los c _j son escalares.

En la línea, por ejemplo, la diferencia de distribuciones de Dirac f  = δ ₁ −δ ₀ se puede representar como una serie de funciones de Haar , convergentes en H ^p -cuasinorma cuando 1/2 < p  < 1 (en el círculo, la representación correspondiente es válida para 0 < p  < 1, pero en la línea, las funciones de Haar no pertenecen a H ^p cuando p ≤ 1/2 porque su función máxima es equivalente en el infinito a a  x ⁻² para algún a  ≠ 0).

MartingalaH p

Sea ( M _n ) _{n ≥0} una martingala en algún espacio de probabilidad (Ω, Σ,  P ), con respecto a una secuencia creciente de σ-campos (Σ _n ) _{n ≥0} . Supongamos, para simplificar, que Σ es igual al σ-campo generado por la secuencia (Σ _n ) _{n ≥0} . La función máxima de la martingala se define por

${\displaystyle M^{*}=\sup _{n\geq 0}\,|M_{n}|.}$

Sea 1 ≤ p < ∞. La martingala ( M _n ) _{n ≥0} pertenece a la martingala - H ^p cuando M* ∈ L ^p .

Si M* ∈ L ^p , la martingala ( M _n ) _{n ≥0} está acotada en L ^p ; por lo tanto, converge casi con seguridad a alguna función f por el teorema de convergencia de la martingala . Además, M _n converge a f en L ^p -norma por el teorema de convergencia dominada ; por lo tanto, M _n puede expresarse como esperanza condicional de f en Σ _n . Por lo tanto, es posible identificar la martingala- H ^p con el subespacio de L ^p (Ω, Σ,  P ) que consiste en aquellas f tales que la martingala

${\displaystyle M_{n}=\operatorname {E} {\bigl (}f|\Sigma _{n}{\bigr )}}$

pertenece a martingala- H ^p .

La desigualdad máxima de Doob implica que martingala- H ^p coincide con L ^p (Ω, Σ,  P ) cuando 1 < p < ∞. El espacio interesante es martingala- H ¹ , cuyo dual es martingala-BMO (Garsia 1973).

Las desigualdades de Burkholder-Gundy (cuando p  > 1) y la desigualdad de Burgess Davis (cuando p = 1) relacionan la L ^p -norma de la función máxima con la de la función cuadrada de la martingala.

${\displaystyle S(f)=\left(|M_{0}|^{2}+\sum _{n=0}^{\infty }|M_{n+1}-M_{n}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.}$

Martingala- H ^p se puede definir diciendo que S ( f )∈ L ^p (Garsia 1973).

También se pueden considerar martingalas con parámetro de tiempo continuo. Se obtiene un vínculo directo con la teoría clásica a través del movimiento browniano complejo ( B _t ) en el plano complejo, comenzando desde el punto z = 0 en el tiempo t = 0. Sea τ el tiempo de impacto del círculo unitario. Para cada función holomorfa F en el disco unitario,

${\displaystyle M_{t}=F(B_{t\wedge \tau })}$

es una martingala, que pertenece a la martingala- H ^p sólo si F  ∈  H ^p (Burkholder, Gundy y Silverstein 1971).

Ejemplo: martingala diádica-yo1

En este ejemplo, Ω = [0, 1] y Σ _n es el campo finito generado por la partición diádica de [0, 1] en 2 ⁿ intervalos de longitud 2 ^{− n} , para cada n ≥ 0. Si una función f en [0, 1] está representada por su expansión en el sistema de Haar ( h _k )

${\displaystyle f=\sum c_{k}h_{k},}$

entonces la norma martingala- H ^{1 de} f puede definirse por la norma L ¹ de la función cuadrada

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\Bigl (}\sum |c_{k}h_{k}(x)|^{2}{\Bigr )}^{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} x.}$

Este espacio, a veces denotado por H ¹ (δ), es isomorfo al espacio real clásico H ¹ en el círculo (Müller 2005). El sistema de Haar es una base incondicional para H ¹ (δ).

Notas

1. Beurling, Arne (1948). "Sobre dos problemas relativos a las transformaciones lineales en el espacio de Hilbert". Acta Mathematica . 81 : 239–255. doi : 10.1007/BF02395019 .
2. Voichick, Michael; Zalcman, Lawrence (1965). "Funciones internas y externas en superficies de Riemann". Actas de la American Mathematical Society . 16 (6): 1200–1204. doi : 10.1090/S0002-9939-1965-0183883-1 .

Referencias

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