Rango espectral libre

El rango espectral libre ( FSR ) es el espacio en frecuencia óptica o longitud de onda entre dos máximos o mínimos sucesivos de intensidad óptica reflejada o transmitida de un interferómetro o elemento óptico difractivo . ^[1]

El FSR no siempre está representado por o , sino que a veces está representado solo por las letras FSR. La razón es que estos términos diferentes a menudo se refieren al ancho de banda o al ancho de línea de una fuente emitida, respectivamente. ${\displaystyle \Delta \nu }$ ${\displaystyle \Delta \lambda }$

En general

El rango espectral libre (FSR) de una cavidad en general viene dado por ^[2]

${\displaystyle \left|\Delta \lambda _{\text{FSR}}\right|={\frac {2\pi }{L}}\left|\left({\frac {\partial \beta }{\partial \lambda }}\right)^{-1}\right|}$

o equivalente,

${\displaystyle \left|\Delta \nu _{\text{FSR}}\right|={\frac {2\pi }{L}}\left|\left({\frac {\partial \beta }{\partial \nu }}\right)^{-1}\right|}$

Estas expresiones se pueden derivar de la condición de resonancia expandiendo en series de Taylor. Aquí, es el vector de onda de la luz dentro de la cavidad, y son el vector de onda y la longitud de onda en el vacío, es el índice de refracción de la cavidad y es la longitud de ida y vuelta de la cavidad (obsérvese que para una cavidad de onda estacionaria, es igual a el doble de la longitud física de la cavidad). ${\displaystyle \Delta \beta L=2\pi }$ ${\displaystyle \Delta \beta }$ ${\displaystyle \beta =k_{0}n(\lambda )={\frac {2\pi }{\lambda }}n(\lambda )}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Dado que , la FSR (en longitud de onda) viene dada por ${\displaystyle \left|\left({\frac {\partial \beta }{\partial \lambda }}\right)\right|={\frac {2\pi }{\lambda ^{2}}}\left[n(\lambda )-\lambda {\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\right]={\frac {2\pi }{\lambda ^{2}}}n_{g}}$

${\displaystyle \Delta \lambda _{\text{FSR}}={\frac {\lambda ^{2}}{n_{\text{g}}L}},}$

El ser es el índice de grupo de los medios dentro de la cavidad. o equivalente, ${\displaystyle n_{\text{g}}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{\text{FSR}}={\frac {c}{n_{\text{g}}L}},}$

¿Dónde está la velocidad de la luz en el vacío? ${\displaystyle c}$

Si la dispersión del material es insignificante, es decir , entonces las dos expresiones anteriores se reducen a ${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\approx 0}$

${\displaystyle \Delta \lambda _{\text{FSR}}\approx {\frac {\lambda ^{2}}{n(\lambda )L}},}$

y

${\displaystyle \Delta \nu _{\text{FSR}}\approx {\frac {c}{n(\lambda )L}}.}$

Una interpretación intuitiva simple del FSR es que es el inverso del tiempo de ida y vuelta : ${\displaystyle T_{R}}$

${\displaystyle T_{R}={\frac {n_{\text{g}}L}{c}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\text{FSR}}}}.}$

En longitud de onda, la FSR viene dada por

${\displaystyle \Delta \lambda _{\text{FSR}}={\frac {\lambda ^{2}}{n_{\text{g}}L}},}$

¿Dónde está la longitud de onda de la luz en el vacío? Para una cavidad lineal, como el interferómetro de Fabry-Pérot ^[3] que se analiza a continuación, donde es la distancia recorrida por la luz en un viaje de ida y vuelta alrededor de la cavidad cerrada y es la longitud de la cavidad. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L=2l}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle l}$

Rejillas de difracción

El rango espectral libre de una rejilla de difracción es el rango de longitud de onda más grande para un orden dado que no se superpone al mismo rango en un orden adyacente. Si el  orden ( m + 1) de y el orden m de se encuentran en el mismo ángulo, entonces ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (\lambda +\Delta \lambda )}$

${\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {\lambda }{m}}.}$

Interferómetro Fabry-Pérot

En un interferómetro Fabry-Pérot ^[3] o etalon, la separación de longitudes de onda entre picos de transmisión adyacentes se denomina rango espectral libre del etalon y viene dada por

${\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {\lambda _{0}^{2}}{2nl\cos \theta +\lambda _{0}}}\approx {\frac {\lambda _{0}^{2}}{2nl\cos \theta }},}$

donde λ ₀ es la longitud de onda central del pico de transmisión más cercano, n es el índice de refracción del medio de la cavidad, es el ángulo de incidencia y es el espesor de la cavidad. Más a menudo, FSR se cita en unidades de frecuencia, en lugar de longitudes de onda: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle \Delta f\approx {\frac {c}{2nl\cos \theta }}.}$

La transmisión de un etalon en función de la longitud de onda. Un etalón de alta delicadeza (línea roja) muestra picos más agudos y mínimos de transmisión más bajos que un etalón de baja delicadeza (azul). El rango espectral libre es Δλ (que se muestra encima del gráfico).

El FSR está relacionado con la mitad del máximo de ancho completo δλ de cualquier banda de transmisión mediante una cantidad conocida como delicadeza :

${\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {\Delta \lambda }{\delta \lambda }}={\frac {\pi }{2\arcsin(1/{\sqrt {F}})}},}$

donde es el coeficiente de finura y R es la reflectividad de los espejos. ${\displaystyle F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}}$

Esto comúnmente se aproxima (para R > 0,5) por

${\displaystyle {\mathcal {F}}\approx {\frac {\pi {\sqrt {F}}}{2}}={\frac {\pi R^{1/2}}{(1-R)}}.}$

Referencias

1. Hecht, Eugenio (2017). Óptica (5ª ed.). págs. 431–433, 614. ISBN 9780133977226. OCLC  953709783.
2. Rabus, Dominik.G. (26 de abril de 2007). Resonadores de anillo integrados . ISBN 978-3-540-68788-7. OCLC  123893382.
3. Ismail, N.; Kores, CC; Geskus, D.; Pollnau, M. (2016). "Resonador Fabry-Pérot: formas de líneas espectrales, distribuciones de Airy genéricas y relacionadas, anchos de línea, finuras y rendimiento con reflectividad baja o dependiente de la frecuencia". Óptica Express . 24 (15): 16366–16389. Código Bib : 2016OExpr..2416366I. doi : 10.1364/OE.24.016366 . PMID  27464090.